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現実的な圧縮付全文索引
東京大学大学院情報理工学系
コンピュータ科学専攻修士1年 (辻井研)
岡野原 大輔
[email protected]
発表の流れ
 背景
 既存技術
 転置ファイル
 Suffix Arrays / Suffix Trees
 Static Dictionary
 圧縮付全文索引技術
 CSA
 CST
 IIWT
発表の流れ
 背景
 既存技術
 転置ファイル
 Suffix Arrays / Suffix Trees
 Static Dictionary
 圧縮付全文索引技術
 CSA
 CST
 IIWT
背景
 膨大な量のテキスト情報を解析したい！




Webデータ 80億ページ
>1PB
MEDLINE（医学系論文集） >50GB
解析済ゲノム情報
>800G base
特許文書/対訳コーパス/チャット・掲示板ログ ・・
 これらのデータから有用な情報を抽出したい！
 自然言語処理/機械学習を適用したい
 単語やパタンがどこに出現しているか索引付けが必要
 G@ogleのように大量の計算クラスタは使えない.
膨大な情報を現実的なリソースで
処理可能な索引が必要
圧縮付全文索引とは
 全文索引
 検索対象テキストT[1…N]に前もって索引付けを
行うことで、単語の出現位置をo(N)で求める
 例 転置ファイル・Suffix Arrays
 圧縮付全文索引
 処理速度を少し犠牲にし(e.g. O(log2N)) 、索引
のサイズを1/5から1/20に小さくしたもの
 現在のPC (Mem 4GB)で20GB程度まで索引
付可能。計算サーバー(Mem 16GB)で80GBぐ
らいまでは実証済み
発表の流れ
 背景
 既存技術
 転置ファイル
 Suffix Arrays / Suffix Trees
 Static Dictionary
 圧縮付全文索引技術
 CSA
 CST
 IIWT
転置ファイル
 各単語やパタン毎に出現位置を記録する
 本の索引と同じ
 文書番号を保存する場合もある
 「book」 <102,187,298,…>
「boot」 <609,1029>
…
 転置ファイルを効率良く保存する方法として
整数符号法が使われている
転置ファイルの保存
 出現位置の差分リストを作り、それを整数符号で保存
 「book」 <102, 187-102 ,298-187 ,…>
=<102,85,111,…>
 整数符号化の例





σ、γ符号
[Elias 1975]
golomb符号
[Golomb 1969]
rice 符号
[Rice 1979]
Interpolative符号
[Moffat 2000]
Recursive Integer Code [Moffat 2005]
Suffix Arrays [Manber 1989]
 長さNの文字列T[1…N] が与えられた時、
Si= T[i…N] をTのsuffix（接尾辞)と呼ぶ。
 Siを辞書式順序でソートした時のSuffix番号配列を
Suffix Arraysと呼ぶ。
 任意の部分列P[1…M]をO(MlogN)で検索できる
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
abraca$
braca$
raca$
aca$ ソート
ca$
a$
$
S7
S6
S4
S1
S2
S5
S3
$
a$
aca$
abraca$
braca$
ca$
raca$
7641253
Suffix Arrays
Suffix Arraysによる検索例
T=abracadabra$ P=bra
11 $
10 a$
7 abra$
0 abracadabra$
3 acadabra$
5 adabra$
8 bra$
1 bracadabra$
4 cadabra$
6 dabra$
9 ra$
2 racadabra$
bra > adabra$
bra = bra$
bra < cadabra$
計算量は
クエリー長M
テキスト長Nの時
O(MlogN)
Hgt配列を一緒に
使うことで
O(M+logN)
Suffix Arraysの構築，その他
 線形時間構築アルゴリズムがいくつか存在
 [Ko 03] [Karkkainen 03] [Kim 03]
 実際のデータで一番速いのはO(logN)のもの
[Mamada 2003] [Mori 2005]
[Maniscalco 2005]
 近似マッチングも可能。制約付き正規表現を
処理できる [Huynh 05]
 テキスト先頭への追加、削除も可能
 ただしデータ構造は複雑になる
Suffix Trees [Weiner 1973]
 Suffixから構成されるTrie木を全ての節点が
二つ以上の子を持つように枝を縮退させた木
 葉がSuffix Arraysに対応する
 各節点は頭1文字を削った節点へのLink
(Suffix Link)を持つ。
$
bra
$
$ c
a
bra
c d
ra
c d
d
c
元データ abracadabra
$
c
11 10 7 0 3 5 8 1 4 6 9 2
suffix arrays
Static Dictionary
[Munro 1996] [Pagh 2001]
 bit配列 B[1…N]が与えられた時、o(N)領域
の補助データを使って、次の操作を定数時間
でサポートするデータ構造
 rank1(B,i)
 B[1…i]中の1の数を返す
 select1(B,i)
 B[1…i]中のi番目の1の位置を返す
 rank0(B,i) select0(B,i)も同様に定義
 圧縮索引の様々な場面で使われる
Static Dictionary の例
 B = {0,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0}







rank1(B,1) = 0
rank1(B,2) = 0
rank1(B,3) = 1
rank1(B,8) = 4
select1(B,1) = 3
select1(B,3) = 7
rank0(B,2) = 2
Static Dictionaryの実装
 実は、論文に書かれている方法では領域量、
計算量ともにオーバーヘッドが大きすぎて不
可能
 現実的な実装方法[Gonzalez 2005]
 rank(i) はi/64単位でテーブルでもっておき、i
mod 64の1の数はpopCountで求める
(add 6回 shift, & 12回)
 selectはrankを用いて二分探索して求める
 rank0(B,i) = i- rank1(B,i)
64bit中の1の数を数える (C)
 unsigned long
x = ((x &
( x &
x = ((x &
( x &
x = ((x &
( x &
x = ((x &
( x &
x = ((x &
( x &
x = ((x &
( x &
return x;
}
long popCount(unsinged long long x){
0xAAAAAAAAAAAAAAAA) >>1 ) +
0x5555555555555555
);
0xCCCCCCCCCCCCCCCC) >>2 ) +
0x3333333333333333
);
0xF0F0F0F0F0F0F0F0) >>4 ) +
0x0F0F0F0F0F0F0F0F
);
0xFF00FF00FF00FF00) >>8 ) +
0x00FF00FF00FF00FF
);
0xFFFF0000FFFF0000) >>16) +
0x0000FFFF0000FFFF
);
0xFFFFFFFF00000000) >>32) +
0x00000000FFFFFFFF
);
発表の流れ
 背景
 既存技術
 転置ファイル
 Suffix Arrays / Suffix Trees
 Static Dictionary
 圧縮付全文索引技術
 CSA
 CST
 IIWT
圧縮全文索引
 圧縮付全文索引を紹介する。
 Compressed Suffix Arrays (CSA)
 Vertical Code
 Compressed Suffix Trees (CST)
 Parenthesis Tree (括弧木)
 Inverted file Indexing with Wavelet
Tree (IIWT)
 Wavelet Tree
Compressed Suffix Arrays (CSA)
[Grossi 2001,2003][Sadakane 2003]
 CSAはO(NH0)bitで索引を保存可能。




H0はテキストの0次エントロピー
英文ではH0=2.5～4bit
従来のSAではNlogN bit必要 (4N Byte)
1GBのデータをSAを使って解析するには4GB必
要なのに対しCSAは200MB～500MB
 検索時に元テキストは必要無い
 任意の部分列を復元することもできる
CSAの概要
 SAはそのまま保存すると4N(8N)byte
 SAは1からNまでのPermutationなので圧縮も難しい
 SAの代わりにΨを保存する。
Ψ[i] = SA-1 [SA[i] + 1] ただしΨ[0]=SA-1[0]
SA[j]=i の時 SA-1[i] = j
 SAは一定間隔おきに保存。SA[i]を求める時はΨを
使って、SAが保存されているところまで移動。
SA[i]= SA[Ψ[i]]-1 = SA[Ψ2[i]]-2 ..
= SA[Ψn[i]]-n
もし、 SA[Ψn[i]] = p なら SA[i] = p-n
Ψの性質
-1
 Ψ[i] = SA [SA[i] + 1]
 「現在i番目にあるSuffixの次の文字から始まるSuffixの
順位」
 定理 T[SA[i]] = T[SA[j]], i<j ならばΨ[i] < Ψ[j]
 SAではSuffixが辞書式順序に並んでいる。もし、二つの
Suffix Si、Sjの1文字目が同じなら、2文字目以降で順位
が決定しているはず。
 この時、Si+1< Sj+1 。つまり
SA-1[SA[i]+1] < SA-1[SA[j]+1] (Ψ[i] < Ψ[j])
 先頭文字が同じSuffixの間ではΨ[i]は単調増加
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
SA
11
10
7
0
3
5
8
1
4
6
9
2
Ψ
3
0
6
7
8
9
10
11
5
2
1
4
Suffix
$
a$
abra$
abracadabra$ ΨはSuffixの先頭
文字が同じなら単調
acadabra$
増加。
adabra$
一文字目が同じ時、
bra$
二文字目で比較し
bracadabra$ ているから。
cadabra$
dabra$
ra$
racadabra$
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
SA
11
10
7
0
3
5
8
1
4
6
9
2
Ψ
3
0
6
7
8
9
10
11
5
2
1
4
SA[i] mod 4 = 0
のものだけ保存
SA[7]= SA[Ψ[7]]-1
= SA[11]-1
= SA[Ψ[11]]-2
= SA[4]-2
= SA[Ψ[4]]-3
= SA[8]-3
= 4-3
=1
SA[i]=SA[Ψ[i]]-1を使う
Ψをどのように保存するか
 単調増加列なので、転置ファイルの時と同様
に差分列を作り整数符号化を行う。
 d[i] = Ψ[i+1]-Ψ[i]
 d[i]をγ符号を用いた場合、O(NH0)で保存可能
なことが示されている[Sadakane 2003].
 一定間隔置きに、Ψをサンプリングしておき、任意
のΨを求める場合はd[i]を足し合わせて求める
Ψ[i] = Ψ[k]+d[k]+d[k+1]+…+d[i-1]
Vertical Code
[Okanohara 2005] (to appear)
 一回ずつγ符号を復元し、それを足し合わせる操作は
計算コストが大きい
 Σi=1..Nd[i]を高速に求められる符号法
 基になったアイディアはRecursive Integer Code
[Moffat 2005]
 Vertical Codeは全てByte単位で処理が可能
 (c.f. Range Coderは算術圧縮符号をByte単位の処理
で行うことで算術圧縮符号より数十倍高速に処理可能)
Vertical Codeの概要
1. d[1…N]をM個ずつBlockに分ける
d[1…M],d[M+1…2M],d[2M+1…3M],..
2. それぞれのBlock中の最大値の最上位bitの位置を
Maxbit[i]とする。
MaxBit[1] = log2(Max(d[1],…,d[M]))+1
MaxBit[2] = log2(Max(d[M+1],…,d[2M]))+1
3. i番目のBlockの要素のk bit目をつなげたbit列を
V[i][k]とする
V[1][1] = d[1]&1,d[2]&1,
V[1][2] = (d[1]>>1)&1,(d[2]>>1)&1
Vertical Codeの概要(続)
4. MaxBit[], V[i][1…Maxbit[i]],Ψ[iM]を
保存する
(M=8の時、これらが全てByte単位で表現さ
れることに注意)
Ψ[t] = Σi=1…td[i] を求めるには，
j=i/M
k = i mod M
x = Ψ[jM]
for (i = 1; i <= Maxbit[j]; i++)
x += popCount(V[j][i] & ((1 << k) – 1))<< i
Vertical Codeの例
 Ψ[1…8]={3,6,12,15,18,21,28,31}
d [1…8]={3,3,6,3,3,3,7,3}
33633373
1 1 0 1 1 1 1 1 1bit目 V[1][1]
1 1 1 1 1 1 1 1 2bit目 V[1][2]
0 0 1 0 0 0 1 0 3bit目 V[1][3]
3 = 0112
Vertical Codeの例
 Ψ[1…8]={3,6,12,15,18,21,28,31}
d [1…8]={3,3,6,3,3,3,7,3}
33633373
1 1 0 1 1 1 1 1 V[1][1]
Ψ[6]を求める
1 1 1 1 1 1 1 1 V[1][2]
0 0 1 0 0 0 1 0 V[1][3]
Ψ[6]= d[1]+d[2]+…d[6]
= popCount(V[1][1] & ((1<<6)-1))
+ popCount(V[1][2] & ((1<<6)-1)) << 1
+ popCount(V[1][3] & ((1<<6)-1)) << 2
Compressed Suffix Trees (CST)
[Sadakane 2005]
 T[1…N]のSuffix Treesを|CSA|+6N bitで表現
 英文テキストで2Byte / 文字
[Okanohara 2005]
 普通に保存すると100N bit 程度
 Suffix Treeの全機能をシミュレート可能
 肝となるのは木構造の圧縮表現
 Suffix TreeではT[1…N]のテキストの場合，木の節点個
数はN+1個以上2N-1個以下
 木構造をそのままポインタで表現すると12 NByte以上
括弧木
[Jacobson 1989] [Raman 2001][Geary 2004]
 木を深さ優先探索で辿った時、
入った時’(‘、出た時’)’を出力した時の括弧列
(()(()()))
 findclose(i)
iの位置の括弧に対応する閉じ括弧の位置を返す
 findopen(i)
iの位置の括弧に対応する開き括弧の位置を返す
 enclose(i)
iの位置をもっともきつく囲む括弧対の開き括弧の位置を返す
括弧木を用いた木の操作の実現
 parent(i) = enclose(i)
 child(i) = i+1
 sibling(i) = findclose(i)+1
(()(()()))
括弧木の実装
 括弧列をM個ずつブロックに分ける
 括弧を3種類に分ける
 near 対応する括弧対が同一ブロック内に存在
 far
nearではない
 pioneer farであり、かつ直前のfarとは違うブ
ロックに対応する括弧対が存在する
（（）（（（
））（）（）
）（））
（
(
pioneer
far
括弧木の実装（続）
 対応する括弧がpioneerならば、その括弧も
pioneerとする。
 括弧対を結んだ線が交差しないことからブロック
数がBの時、pioneerである括弧の個数は4B-6
で抑えられる。
 pioneerである括弧のみからなる括弧列を再帰的
に構築してく
（（）（（（
））（）（）（
(()())
））（））
括弧木の使用例
 findclose(i)
 iの括弧の種類で場合わけ
 near
→ 前もって求めておいた結果表を参照
 pioneer → pioneer括弧列の答えを使う
 far
→ 直前のpioneerを求め、対応する括弧対
が存在するブロックを求める。
直前のpioneerまでの開き括弧の個数と
閉じ括弧の個数の差を求めて表参照
 全て定数時間で実現
Inverted file Indexing with Wavelet
Tree (IIWT) [Okanohara 2005] (to appear)
 転置ファイルの索引を圧縮
 登録パターン種類数を|Σ|，総回数をMとした時
O(Mlog|Σ|)で保存可能 （正確には登録パターン
の0次エントロピーをH0としたときMH0bit)
 以下の操作をO(H0)の計算量で実現
 パターンのi回目の出現位置
 パターンの指定した区間内での出現回数
 N=10GB M=1G |Σ| = 1024の時
1GBで保存可能
Wavelet Tree [Grossi 2003]
 元々CSA, FM-indexに使われていたデータ
構造
 アルファベット集合Σからなるテキスト列
T[1…N]が与えられた時、任意の文字a∈Σの
rank, selectをO(log|Σ|)で求めることがで
きるデータ構造
 Static Dictionaryは|Σ|=2の時
 必要な領域量はO(NH0)
Wavelet Treeの例
 Σ={a,b,c}
a = 02 b = 102 c = 112
 T= abbccbaacbab
a
abbccbaacbab
011111001101 1
bbccbcbb
0
00110100
0
1
b
c
1
0
a
0
1
b
c
Wavelet Treeの例
 Σ={a,b,c}
a = 02 b = 102 c = 112
 T= abbccbaacbab
a
1
0
a
0
1
b
c
rankb(8)=3
abbccbaacbab
rank1(8)=5
011111001101
bbccbcbb
rank0(5)=3
00110100
b
c
IIWT
 パターンの先頭位置では1、そうでない場合は0であ
るbit配列T’を考える
this book is interesting.
1000010000100100000000000
 出現パターンを順に並べたパターン列T’’[1…M]を
作ってWavelet Treeを構築
 任意の範囲内[a…b]でのパタンpの出現回数は定
数時間で求められる
rankp(b)- rankp(a)
 パタンpでのi番目の出現位置はselectp(T’,i)で求め
られる
IIWTの長所/短所
 長所
 構築に必要なメモリ量はパタン種類数O(log|Σ|)
(CSAは構築に必要なメモリがO(N)) )
 データの順序情報を失わず、任意パタンの出現回
数、位置を圧縮表現できる
(転置ファイルは順序情報の復元は難しい)
 短所
 任意部分列の検索は難しい
まとめと今後
 大規模なデータに対しての索引技術を「現実的」に実
現した。
 通常のPC(メモリ4GB)で20GB
計算クラスタ(メモリメモリ16GB)で80GB
 1TB, 1PBといった情報の索引は、まだ少し工夫が必
要だがそう遠くは無い。
 現在800GBのゲノム、426GBのTREK Dataを実験予定
 大量データを利用した自然言語処理、機械学習
 Example Based Learningの復活
 非教師学習で教師付き学習に匹敵する精度を出したい