アルゴリズム（点集合マッチング）
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Transcript アルゴリズム（点集合マッチング）
k 個のミスマッチを許した点集合
マッチング・アルゴリズム
阿久津達也
京都大学 化学研究所
バイオインフォマティクスセンター
点集合合同性判定
P
Q
最大共通部分点集合
P
Q
LCP
k=7
研究の背景 （1）
合同性判定
O(n log n) （３次元以下） [Atkinson, 1987]
O(nd-2 log n) [Alt et al. 1988]
O(n(d-1)/2 log n) (randomized) [Akutsu, 1998]
O(nd/4+O(1) log n) (randomized) [Matousek, 1998]
最大共通部分点集合 [Akutsu,Tamaki,Tokuyama, 1998]
２次元で O(n3.2 log n)
３次元で O(n4.69 log n)
⇒ 二つの問題の時間計算量の間に大きな差
(両者ともパターン認識などにおける基本的問題）
研究の背景 （2）
文字列マッチング
Exact マッチング： O(m+n)
近似マッチング： O(mn)
k 個の誤りのみを許した場合： O(kn)
⇒ 点集合で誤りの個数を制限した場合は？
Exact Matching
AC GT
AAA C G T C G
Approximate Matching
k=3
AG - CAT
Q AA C T C - T G
P
本研究の結果
最大共通部分点集合問題においてマッチしない点の個
数を k 以下とした場合の効率的アルゴリズム
数値列に対する近似マッチング
1次元
determ 本研究
k3 n
2次元
3
1.34
k n
3次元
4 1.8
2 2.5
k
n
k
n
kn
2
inistic 既存研究
n3
n3.2
n4.69
rando 本研究
k n
k n1.34 n2
k n1.8 n2.5
mized 既存研究
2
n
2
n
2.2
n
2.69
近似文字列マッチング
近似文字列マッチング
編集距離(edit distance)が最小のマッチを求める
距離＝置換(substitution)＋挿入(insertion)＋削除(deletion)
動的計画法により O(mn)時間（|P|=m, |Q|=n)
距離がk以下の時、 O(kn)時間 [Landau & Vishkin 1989]
動的計画法＋suffix tree
Exact Matching
AC GT
AAA C G T C G
Approximate Matching
k=3
AG - CAT
Q AA C T C - T G
P
動的計画法による近似文字列マッチ
D[i 1, j ] 1
D[i, j] min
D[i, j 1] 1
D[i 1, j 1] (1 ( p , q ))
i
j
C
A
A
T
G C C A T A
0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 1 1 1
2 2 1 1 0 1 1
3 3 2 2 1 1 1
4 4 3 3 2 1 2
A
1
0
A 0 1
21 1
C AA T
GCC A - T A
距離がk以下の場合の近似文字列マッチ
L[d,e]： D[i,j]=e かつ j-i=d となる最大の行 i
for e 0 to k do
for d e to n do
L[d , e 1] 1
row max L[d 1, e 1]
L[d 1, e 1] 1
while ( prow1 trow1d ) do
row row 1
L[d , e] row
Suffix tree を用いて
定数時間で実行可能
⇒ O(kn) 時間
C
A
A
T
G C C A T A
0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 1 1 1
2 2 1 1 0 1 1
3 3 2 2 1 1 1
4 4 3 3 2 1 2
L[2,0]=2
L[2,1]=3
L[2,2]=4
d=2
点集合マッチング問題: LCP-kDIFF
入力
d-次元空間上の点集合
P , Q (|P|=m, |Q|=n, m≦n)
非負整数 k
P
出力: 以下の等長変換 T
（無い場合は No）
Q
LCP
| Τ ( P) Q | は最大、かつ、
(m n k ) / 2 以上
（i.e., 共通部分に含まれない点
の個数が高々 k 個）
k=7
1次元の場合（1）： mmsp(pi,qj)
mmsp(pi,qj)
pi,qjから始まる合同な部分列組で最大長のもの
補題: O(n log n) 時間の前処理により、
|mmsp(pi,qj)|は O(1) 時間で計算可能
証明：Σ={ |pi+1 – pi|, |qj+1 – qj| }として suffix treeを構成
P
p1 p2
p7
k=5
Q
q1 q2
q7 q8
mmsp(p2, q1)
1次元の場合（2）： アルゴリズム
for all (i0 , j0 ) such thati0 j0 k do
k ' i0 j0 2; i i0 ; j j0 ;
Let T be a rigid motion such thatT ( pi0 ) q j0 ;
while k ' k do
h | mmsp( pi , q j ) |;
find the minimumi such thati' i h and (j' )(T ( pi ' ) q j ' );
k ' k '(i'i h) ( j' j h); i i' ;
P
p1 p2
j j' ;
p7
k=5
Q
q1 q2
q8
1次元の場合（3）： 計算量
定理1: 1次元 LCP-kDiff ⇒ O(k3 + n log n)時間
各(pi0,qj0)あたり O(k)時間、
全部で O(k2)個のペア ⇒ O(k3)時間
mmsp の前処理 ⇒ O(n log n)時間
ランダムサンプリングの利用
Pからランダムにサンプルすれば、その点は高確率
でLCPに所属 ⇒ O(k)時間を節約可能
系1: 1次元 LCP-kDiff ⇒
高確率で O((k2 + n) log n) 時間
2次元の場合（1）： 点の順序づけ
点に適切な順序 ⇒ suffix tree が利用可能
pi ≺ pi’ ⇔ θ(pi) < θ(pi’) or
( θ(pi) =θ(pi’) and | pi – p0| < | pi’ – p0| )
p5
p6
p4
p3
q1
q8
q3 q2 q0
q7
p2
θ
p1
p0
p7
q4
q5
q6
2次元の場合（2）： 計算量
定理2: 2次元LCP-kDiff ⇒
O(k3n4/3+ kn2 log n)時間
ランダムサンプリングの利用
Pから O(k2) ペア ⇒ 一つのペアは LCP に所属
(p0,p1) と合同な Q のペア (q0,q1) の個数: O(n4/3)
各 ((p0,p1), (q0,q1)) あたり、O(k) 時間
Pからペアをランダムにサンプルすれば、そのペアは高確率で
LCPに所属 ⇒ O(k2)時間を節約可能
系3: 2次元 LCP-kDiff ⇒
高確率で O(kn4/3 log n + n2log2n) 時間
3次元の場合（1）： 点の順序づけ
以下の情報を用いて順序づけ
平面 pi1, pi2, pi と、平面 pi1, pi2, pi3 のなす角度
pi - pi1 と pi2 - pi1 の内積
pi と直線 pi1 pi2 の距離
p i3
pi
q j3
p i2
p i1
q j2
q j1
3次元の場合（2）： 計算量
定理3: 3次元LCP-kDiff ⇒
O(k4n1.8log n + k2n5/2 log2n) 時間
ランダムサンプリングの利用
Pから O(k3) 個の三つ組 ⇒ 一つは LCP に所属
(pi1, pi2 , pi3) と合同な Q の三つ組の個数: O(n1.8 log n)
(pi1, pi2)と合同な Q のペアの個数: O(n3/2 log n)
各ペアについて suffix tree を構成: O(n log n)
Pから三つ組をランダムにサンプル ⇒ O(k3)時間を節約可能
系4: 3次元 LCP-kDiff ⇒
高確率で O(k n1.8 log2n + n5/2 log3n) 時間
1次元数値列の近似マッチング (1)
入力： 数値列 P, Q 最大誤差 ε
出力： P との編集距離が k 以下の Q の位置
ただし、pi と qｊ がマッチ ⇔ |pi-qj|<ε
q2
p1
q1
q3
q4
q5
p2
q6
q7
p4
p3
1次元数値列の近似マッチング (2)
誤差としてミスマッチのみを許した場合
O(m1/2n log m)時間 [Amir, Farach, 1995]
Convolution を利用
q2
p1
q1
q3
q4
p4
q5
p2 p3
q6
q7
1次元数値列の近似マッチング (3)
Don’t careつき近似マッチング [Akutsu, 1995]
Suffix tree が利用できないので、テーブルを利用
[Amir, Farach, 1995]との組合せで、以下が成立
定理４： 数値列の近似マッチング ⇒
O(k1/3m2/3 n log m) 時間
pi
P
Q
qj
結論
1次元
determ 本研究
k3 n
2次元
3次元
k 3 n1.34 k n2 k 4 n1.8 k 2 n2.5
inistic 既存研究
n3
n3.2
n4.69
rando 本研究
k2 n
k n1.34 n2
k n1.8 n2.5
n2
n2.2
n2.69
mized 既存研究
課題
高次元の場合の検討
相似マッチの場合の検討
誤差を許した場合の検討