Transcript 磁気光学効果の電子論
大学院理工学研究科 2004年度
物性物理学特論第6回
-磁気光学効果の電子論(2):量子論-
非常勤講師:佐藤勝昭
(東京農工大学工学系大学院教授)
復習コーナー
古典電子論
d 2u
du
du
m 2 m
m02u q E B
dt
dt
dt
B (0,0, B)
E E0 exp i t
u u0 exp(it )
m2u imu m02u qE iu B
m 2 i 02 x iqBy qEx
iqBx m 2 i 02 y qEy
m 2 i 02 z qEz
復習コーナー
電気分極Pを求める
P=nquにより分極Pを求める
nq2
2 i 02
nq2
ic
Px
E
Ey
x
2
2
m 2 i 2 2 2
m 2 i 2 2 2
0
c
0
c
nq2
ic
nq2
2 i 02
Py
Ex
Ey
2
2
m 2 i 2 2 2
m 2 i 2 2 2
0
c
0
c
nq2
1
Pz
Ez
2
2
m i 0
c qB m
サイクロトロン角振動数
復習コーナー
電気感受率を求める
P=0Eにより電気感受率を求める。
Py 0 xyEx xxEy
Px 0 xxEx xyEy
Pz 0 zz Ez
nq2
2 i 02
xx
m0 2 i 2 2 2 2
0
c
nq2
ic
xy
m0 2 i 2 2 2 2
0
c
nq2
1
zz
2
m0 i 02
c qB m
より、非対角成分は磁界に比例
復習コーナー
誘電率に変換する
ij=ij+ijを用いて、誘電率テンソルに変換
nq2
2 i 02
xx 1
m0 2 i 2 2 2 2
0
c
nq2
ic
xy
m0 2 i 2 2 2 2
0
c
nq2
1
zz 1
2
m0 i 02
c qB m
より、非対角成分は
磁界に比例
復習コーナー
ローレンツの式
B=0なのでc=0を代入:Lorentzの分散式
nq2
1
xx zz 1
2
m0 i 02
xy 0
2 02
nq2
xx ( ) 1
2
m 0 ( 02 ) 2 2 2
nq2
( )
xx
2
m 0 ( 02 ) 2 2 2
質問コーナー電子が束縛されていてω0≠0の場合にγが
生じる具体的イメージがつかめない(H君)
バネにつながった荷電粒子が振動するとき、熱
振動による散乱を受けたり、不純物と衝突した
りによって、さまざまなダンピング項が働きます
がそれをまとめてγで表したと考えてください。
復習コーナー
ドルーデの式
c=0, 0=0とおく:Drude formula
nq2
1
xx zz 1
m 0 ( i )
xy 0
nq2
1
xx ( ) 1
2
m 0 2
nq2
( )
xx
m 0 ( 2 2 )
負の誘電率
復習コーナー
プラズマ振動数
Drudeの式で、ダンピング項を0としたとき、εの実数
部が0となる振動数を自由電子プラズマ振動数pとよ
び下の式で求められる。
nq2 1
xx() 1
2 0
m0 p
ダンピングのある場合のDrudeの式
をpを使って書き直すと
2p
xx( ) 1 2 2
( )
xx
2p
( )
2
2
nq2
p
m
p 2p 2
においてゼロを横切る
質問コーナー金属中の電子が自由電子と見なせること
がぴんと来ない(N君)
金属では、構成している原子が外殻電子を放出して
結晶全体に広がる電子の海を作っています。
この電子の海による遮蔽効果で、原子核の正電荷か
らのクーロンポテンシャルは非常に弱められています。
このため、電子はあたかも自由電子のように振る舞う
のです。実際、有効質量もほとんど自由電子質量と
一致すると言われています。
復習コーナー
金属結合
金属においては、原子同士が接近していて、外殻のs電子は互
いに重なり合い、各軌道は2個の電子しか収容できないので膨
大な数の分子軌道を形成する。
電子は、それらの分子軌道を自由に行き来し、もとの電子軌道
から離れて結晶全体に広がる。これを非局在化するという。
正の原子核と負の非局在電子の間には強い引力が働き、金属
の凝集が起きる。
この状態を指して、電子
の海に正の原子核が浮
かんでいると表現される。
http://www.chemguide.co.uk/atoms/bonding/metallic.html
質問コーナー
自由電子とプラズマとの関係が分からない(A君)
金属は電子がたくさんありますが、全体としては中性
です。これは、電子による負電荷の分布の中心と原
子核の正電荷の中心が一致しているからです。
光の電界を受けて電子が+側に移動すると、-側に
は正電荷が残されます。この結果電気分極が生じる
のですが、このように正電荷と負電荷が空間的に分
離した状態をプラズマというのです。
電子の移動
+ -
+
-
+
質問コーナー
貴金属の選択反射の原因
光は電磁波の一種である。つまりテレビやラジオの電波
と同じように電界と磁界が振動しながら伝わっていく。
金属中に光がはいると金属中に振動電界ができる。この
電界を受けて自由電子が加速され集団的に動く。
電子はマイナスの電荷を持っているので、電位の高い方
に引き寄せられる。その結果電位の高い方にマイナスの
電荷がたまり、電位の低い側にプラスの電荷がたまって、
電気分極が起きる。
外から金属に光の電界が進入しようとすると、逆向きの
電気分極が生じて電界を遮蔽してしまって光は金属中に
入れないことを示す。光が入れないということは、いいか
えれば、光が全部反射されてしまうということを意味する。
質問コーナー
PtMnSb以外にもプラズマ振動による効果は見られるか(A君)
Drudeの式の適用
出来る例としては、
金、銀、銅の反射ス
ペクトルが挙げられ
ます。
金によるプラズマエ
ンハンス効果につい
ては、Fe/Au,
Fe/Cuの人工格子
の例があります。
これについては、第
12回の授業で触れ
ます。
Kerr rotation (min)
実験結果
Fe/Cu=0.62
Experiment
(a)
Fe single
layer
Fe/Cu=
150/245
Fe surface
106/171
70/113
70/113
106/171
150/245
Cu
surface
Wavelength (nm)
Fe/Cu=0.62
Experiment
Cu
surface
Fe
surface
Reflectivity (%)
Cu single layer
Fe single layer
(b)
Fe/Cu=31/49
57/92
106/171
170/275
Wavelength (nm)
種々の層厚をもったFe/Cu
組成変調多層膜の磁気光
学スペクトルおよび反射ス
ペクトル(実験値)
質問コーナー
金銀銅の反射スペクトル
波長表示
hJ scm s 6.626 10
EeV
エネルギー表示
hJ sc m s -1
EJ hJ s s
m
-1
-1
meC
佐藤勝昭:金色の石に魅せられて
34
2.998 108
1240
nm109 1.602 1019 nm
質問コーナー
貴金属の誘電率スペクトル
復習コーナー
マグネトプラズマ共鳴
0=0,=0を代入
ij=-i0(ij-ij)によりに変換
p
nq2
1
xx 1
1 2
m0 2 c2
c2
2
pc
nq2
ic
xy
i
m0 2 c2
2 c2
p
nq2 1
zz 1
1
m0 2
2
2
= cで発散
2
2=p2+c2で
ゼロを横切る
マグネトプラズマ共鳴
xx i0 zz 1
xy i0 xy
i 2p0
2 c2
2pc
c
2
zz i0 zz 1
2 0
i 2p0
復習コーナー
マグネトプラズマ共鳴
xx 1
xy i
2p
2 c2
2pc
2 c2
zz 1
N xx i xy 1
2
2p
2
2p
2 c2
2p
c 1
c
復習コーナー
ホール効果(による記述)
DCにおいては、→0とすることにより、次式を得る。xyはx方
向に電流が流れたときy方向に電圧が生じることを表しており、
まさにホール効果を記述するものである。
nq2
q
2
2
0
xx0
2 2 nq
nq
m c
m c2 2
c2 2 (c / )2 1
nq2
q
c
c /
xy 0
2 c 2 nq
0
m c
m c2 2
(c / )2 1
nq2 1
q
zz 0
nq
nq 0
m
m
復習コーナー
ホール効果(による記述)
導電率テンソルを抵抗率テンソルに変換
xx0
1
zz 0
1
ホール係数
0
/
qB / m
B
xy 0 c 2
RH B
0
nq
nq / m
0
0
1/ 0 RH B
ˆ RH B 1/ 0
0
0
0
1
/
0
復習コーナー
Feの磁気光学効果と古典電子論
nq2
ic
xy
m0 2 i 2 2 2 2
0
c
比誘電率の非対角成分の大きさ:最大5の程度
0 2eV , 0.1eV ,
キャリア密度 n 1022cm3 1028m-3 と仮定
B=3000Tという非現実的な磁界が必要
スピン軌道相互作用によって初めて説明可能
磁気光学効果の量子論
磁気光学効果の量子論
電気分極と摂動論
時間を含む摂動論
誘電率の対角成分の導出
誘電率の非対角成分の導出
磁気光学効果の物理的説明
磁気光学スペクトルの形状
電気分極と摂動論
電気分極とは,「電界によって正負の電荷がず
れることにより誘起された電気双極子の単位体
積における総和」
「電界の効果」を,電界を与える前の系(無摂動
系)のハミルトニアンに対する「摂動」として扱う。
「摂動を受けた場合の波動関数」を「無摂動系
の固有関数」の1次結合として展開。この波動
関数を用いて「電気双極子の期待値」を計算。
時間を含む摂動論(1)
無摂動系の基底状態の波動関数を0(r)で表し,
j番目の励起状態の波動関数をj(r) で表す.
無摂動系のシュレーディンガー方程式
H 00(r) =00(r)
(4.22)
H 0j(r) = j Ej(r)
光の電界E(t)=E0exp(-it)+c.c.
摂動のハミルトニアン
H’=er・E(t)
(c.c.=共役複素数)
時間を含む摂動論(2)
摂動を受けた系のシュレーディンガー方程式
i r, t H r, t H 0 H r, t
t
(4.23)
この固有関数を,無摂動系の(時間を含まない)固有関数
のセットで展開
r, t 0 (r) exp(i0t ) c j (t ) j (r) exp(i j t )
(4.24)
j
この式を式(4.23)に代入し,無摂動系の波動関数につい
て成立する式(4.22)を代入すると
dc j ' (t )
i
j ' (r) exp i j 't H 0 (r) exp(i0t ) c j ' (t ) exp(i j 't )H j ' (r )
dt
j'
j'
時間を含む摂動論(3)
dcj ' (t )
i
j ' (r) exp i j 't H 0 (r ) exp(i0t )
dt
j'
c j ' (t ) exp(i j 't )H j ' (r )
j'
左から*j(r)をかけて,rについて積分すると
dcj (t )
i
j H 0 exp i j 0t e j r 0 E(t ) exp i j 0t (4.25)
dt
ここで e i r 0 e dr * j (r )r0 (r ) また
また、励起状態間の遷移行列
j 0 j 0
e i r j は無視した
時間を含む摂動論(4)
dcj (t )
i
j H 0 exp i j 0t e j r 0 E(t ) exp i j 0t
dt
式(4.25)を積分することにより式(4.24)の展開係数cj(t)が
求められる.
c xj (t ) i1 0t e j x 0 E0 x exp(i t ) cc.exp i j 0 t dt
eEx0
1 exp i( j 0 )t 1 exp i( j 0 0 )t
j x0
j0
j0
(4.26)
この係数は,摂動を受けて,励起状態の波動関数が基底
状態の波動関数に混じり込んでくる度合いを表している.
r, t 0 (r) exp(i0t ) c j (t ) j (r) exp(i j t )
j
誘電率の対角成分の導出(1)
電気分極Pの期待値を計算
(入射光の角周波数と同じ成分 )
Px Nqx(t ) Nq * xdx
1 exp i( j0 )t 1 exp i( j 00 )t
cxj (t) eEx0 j x 0
j0
j 0
Nq 0 x 0 j x 0 cxj (t ) exp i j 0t 0 x j cxj * (t ) exp i j 0t
j
j x0
2
Nq
j
Px () xx()0Ex
2
1
1
E (t )
j j 0 x
0
Nq2
xx
j x0
0 j
2
1
1
j 0 j 0
(4.27)
(4.28)
誘電率の対角成分の導出(1)
有限の寿命を考える:i の置き換えをす
る。 2
Nq
xx ( )
m j x 0
m 0 j
2
1
1
j 0 i j 0 i
(4.31)
Ne2
1
f xj 2
m 0 j
j 0 i 2
振動子強度
誘電率に変換
2
f xj 2 m j0 j x 0
2
2
jo
2 2 2i
Ne
xx ( ) 1
f xj
m 0 j
2j 0 2 2
2
4 2 2
(4.33)
誘電率の非対角成分の導出(1)
非対角成分:y方向の電界がEy(t)が印加されたと
きの,分極Pのx成分の期待値
Px Nqx(t ) Nq * xdx
j
Nq j x 0 cyj (t ) expi j 0t cc.
Nq 0 x 0 j x 0 cyj (t ) exp i j 0t 0 x j cyj * (t ) exp i j 0t
j
1 E *y0 exp(it ) Ey0 exp(it )
Nq j x 0 0 y j
j0
j 0
j
2
xy ( ) Nq2
j
xy ()
0 y j j x0
j0
xy () xy * ()
2
および
xy * ( ) Nq2
j
0x j j y0
j0
0x j j y0
Nq2 0 y j j x 0
2 j j0
j0
誘電率の非対角成分の導出(2)
x x iy/ 2
という置き換えをすると若干の近似のもとで
2
0x j 0x
Nq2
xy ()
j 0
2i j
2j 0 2
0x
j
2
j
2
右および左円偏光により基底状態|0>から,励起状態|j>に遷移する確率
円偏光についての振動子強度
f jo
m j 0 0 x j
f j0 f j0
Nq2
xy xy ( ) i
2
2m0 j j 0 i 2
2
磁気光学効果の 量子論
磁化の存在→スピン状態の分裂
左右円偏光の選択則には影響しない
スピン軌道相互作用→軌道状態の分裂
右(左)回り光吸収→右(左)回り電子運動誘起
大きな磁気光学効果の条件
遷移強度の強い許容遷移が存在すること
スピン軌道相互作用の大きな元素を含む
磁化には必ずしも比例しない
電子分極のミクロな扱い
電界の摂動を受けた
2
2Nq2
1
波動関数
xx
j 0 j x 0 2 2
0 j
j 0
E
2
2
2
20 2 x 0
2Nq 10 1 x 0
2
2
2
2
0 10
20
無摂動系の
波動関数
+
+
|2>
=
+
-
摂動を受けた
波動関数
=
+
+・・・・
+ ・・
+
+
s-電子的
<0|x|1>
p-電子的
無摂動系の固有関数で展開
|1>
<1|x|0>
|0>
円偏光の吸収と電子構造
px-orbital
2
2
0x 1
0x 2
Nq2
xy ( )
20 2
10 2
2
2
2i
10
20
py-orbital
|2>
Lz=+1
20-
|1>
10-
p+=px+ipy
Lz=-1
20
10
p-=px-ipy
10は20より光エ
ネルギーに近い
|0>
Lz=0
ので左回りの状
態の方が右回り
s-like 状態より多く基底
状態に取り込ま
れる
スピン軌道相互作用の重要性
Jz=-3/2
Jz=-1/2
L=1
LZ=+1,0,-1
L=0
磁化なし
交換分裂
LZ=0
Jz=+1/2
Jz=+3/2
Jz=-1/2
Jz=+1/2
交換相互作用
+スピン軌道相互作用
反磁性型スペクトル
Lz=-1
励起状態
0
Lz=+1
1
”xy
’xy
2
1+2
基底状態
Lz=0
磁化の無いとき
磁化のあるとき
光子エネルギー
光子エネルギー
誘電率の非対角成分のピーク値
xy
peak
Ne2 f SO
2
4m 0
鉄の場合:N=1028m-3, f0=1, so=0.05eV, 0=2eV,
/=0.1eVを代入xy”|peak=3.5を得る
大きな磁気光学効果を持つ条件:
・光学遷移の振動子強度 f が大きい
・スピン軌道相互作用が大きい
・遷移のピーク幅が狭い
常磁性型スペクトル
f=f+ - f励起状態
0
f+
f-
基底状態
磁化なし
磁化あり
誘
電
率
の
非
対
角
要
素
’xy
”xy
光子エネルギー