Transcript 第2部：問題の分解、AND/OR

09人工知能
Lecture 5：
May11, 2009
問題の分解、AND/OR
ゲームの手の決定、ミニマックス枝狩り
第一部のおさらい
• 問題の定式化：
オペレータ：今の状態→次の状態
• 探索アルゴリズム（知識を用いない探索）
depth-1st, breadth-1st , optimal
• ヒューリステック探索：
• 小テスト１
A*-algorithm
ロボットの迷路抜け
• （1,1）から（4,4）へ
(1,1)
3
(2,4)
(1,4)
(2,3)
(3,4)
(4,4)
(2,3)
(2,4)
(3,3)
(2,2)
2
(3,2)
(1,4)
(2,2)
(3,4)
(3,2)
(3,1)
4
(4,4)
(1,1)
(3,1)
(3,3)
探索の基本アルゴリズム
•
•
•
•
•
•
•
•
Search algorithm{
１．初期節点をopenリストに入れる
2. if(open==empty)break;（探索失敗）
3. n=first(open);
4. iｆ(goal(n))print(n);break;（探索終了）
5. remove(n,open);
6. 次に調べる節点をopenに入れる
7. ２へもどる｝
例題：S→A→B→D→E→G
• S（1,1）からG（4,4）へ
(2,4)
(1,4)
(2,3)
(3,4)
S(1,1)
(4,4)
A(2,3)
B(2,4)
(3,3)
C(2,2)
2
H(3,2)
D(1,4)
(2,2)
E(3,4)
(3,2)
I(3,1)
4
G(4,4)
(1,1)
(3,1)
F(3,3)
Heuristic search
• 最良優先探索：best-first-search
• 各節点からゴールまでのコスト（距離）h(n)が
予想出来るとき使える
• ステップ６で予想値h’(n)の昇順に並べる
ヒューリスティック探索の問題点
• ヒューリスティック関数（h’）の推定が悪いと、失敗
• 例：迷路の問題
h’＝｜Aｘ ー Gx｜＋｜Aｙ ー Gｙ｜
経路のつながり具合によって成功することもあり、
失敗することもある。（使えるヒント：正しい保障はない）
こういうヒントを多用して解を発見
ヒューリスティック
h=|nのx座標-Gのx座標|+| nのy座標-Gのy座標|
• S（1,1）からG（4,4）へ
(2,4)
(1,4)
(2,3)
(3,4)
(3,3)
S(1,1)6
(4,4)
A(2,3)3
B(2,4)2
C(2,2)4
2
H(3,2)
D(1,4)3
(2,2)
E(3,4)1
(3,2)
I(3,1)
4
G(4,4)0
(1,1)
(3,1)
F(3,3)
A*ーアルゴリズム
•
•
•
•
•
•
•
A*-search algorithm{
１．初期節点をopenリストに入れる
2. if(open==empty)break;（探索失敗）
3. n=first(open);
4. iｆ(goal(n))print(n);break;（探索終了）
5. remove(n,open); add(n,closed);
6. 次に調べる節点をopenに入れる(nを展開し、全ての子節
点niをopenに入れ、推定コストf(ni)の昇順に並べる) ここで
f(ni)=g’(ni)+h’(ni)であり、推定値h’(ni)が本当の値h(ni)以下で
あるとする。（これが成立しないとA*-search でなく、 A-search
になり、解は保証されない ） g’(ni)はg(ni)の推定値だが、出発
点からniまでの、解っているコストの内で最小のもの。
niからnへポインタを付けておく
• 7. ２へもどる｝
h=|nのx座標-Gのx座標|+| nのy座標-Gのy座標|
• S（1,1）からG（4,4）へ
(2,4)
(1,4)
(2,3)
(3,4)
(3,3)
S(1,1)6
(4,4)
A(2,3)3
B(2,4)2
C(2,2)4
2
H(3,2)
D(1,4)3
(2,2)
E(3,4)1
(3,2)
I(3,1)
4
G(4,4)0
(1,1)
(3,1)
F(3,3)
Problem reduction representation
• 問題を分割し、すぐ解ける副問題の集合に変換
• 許された変換は「オペレータ（作用素）」として定義
• すぐ解ける問題は原始問題primitive problemとよぶ
• 問題分割を用いた問題表現は、
１．開始問題記述
２，問題を副問題群に変換する作用素
３．原始問題記述の集合
問題分割表現の例：ハノイの塔
• 大きさが順に大きくなる３つの円盤、A,B,Cと３つの
柱1,2,3. 最初円盤は全て柱１の上に、一番小さい
Aを一番上に、Cを一番下にして積み重ねられてい
る。これを柱３にAが一番上になるように移す、但し
一度に１個だけ円盤を動かせる、どの円盤もそれよ
り小さい円盤の上に置けない
• 最初に出来るのはAを柱2か柱3に移すことだが、そ
のあとAの上にはBもCも置けないので、つまりはA
を移さなかった柱にBを移して置いて、その上にAを
移し、空いた柱3にCを移すことができれば成功であ
る．次にそのCの上にBを載せ、その上にAを載せる
８段階を右の３段階と見る
１.ABC
１. BC
１.
C
１. C
2. ＿
2. ＿
2. B
2. AB
3.＿
3. A
3. A
3.＿＿
高さ２の山を1.
から2. へ移す
高さ１を1.から3.へ
１.＿＿
１. A
１. A
１.＿＿
2. AB
2. B
2. ＿
2.＿＿
3. C
3. C
3. BC
3. ABC
高さ２の山を2.
から3. へ移す
円盤をN個に増やしても右の３段階
１.AB..C
１. C
2. ＿
3.＿
高さN-1の山
を1.から2. へ
2. AB.. 3.＿＿
高さ１を1.から3.へ
１.＿＿ 2. AB..
3. C
高さN-1の山
を2.から3. へ
１.＿＿ 2.＿＿ 3. ABC
目標：高さ３の山を柱１から柱３へ移す
小目標：高さ2の
山を柱1から柱2
へ避難させる
原始問題：高さ
1の山を柱1か
ら柱3へ移動
高さ1の
高さ1の 山を柱3
高さ1 山を柱1 から柱2
の山を から柱2 へ移動
柱1か へ移動
ら柱3
へ移動
小目標：高さ2の
山を柱2から柱3
へ移す
高さ1の山を
高さ1の山 柱2から柱3
を柱2から へ移動
柱1へ移動
高さ1の
山を柱1
から柱3
へ移動
Nilsson（1971）によるAND/ORグラフ
１）各節点は単一問題か一連の問題であり、グラフは
開始節点（元問題）を含む．
２）終端節点（原始問題）＝葉
３）問題Pに対しこれを一組の副問題に変える作用素
があり、これを適用した結果生じる副問題に対応す
る節点へ向かって有向枝がある．このいずれかの
子節点が解かれたときＰが解けるのなら、OR節点
（OR-node） 、全ての子節点が解かれたときPが解
けるのならAND節点（AND-node）とよぶ.AND節点
には枝を水平線で結ぶ
開始問題が解けるかどうかを示すグ
ラフ（or,木）を解グラフ（解木）という
• 解ける節点の条件として、
１）それが終端節点（原始問題）である
2)子節点が全て解けるAND節点であるような
非終端節点であるか、または
３）子節点がOR節点でそのうち少なくとも一つ
が解ける
• 解けない節点の条件
1)子節点のない非終端節点（どの作用素も適
用できないような非原始問題）
2)その子節点がAND節点で、そのうち少なくと
も一つが解けないような非終端節点
３）その子節点がOR節点で、その全てが解け
ないような非終端節点
問題の分解：ゲームの手の決定
• ゲームの木：チェスや碁等の特徴：交互にプレイす
る二人のプレーヤが参加し、最良の手を打つ、とい
うゲームに対してその全ての可能な手が表現されて
いる．
• 状態空間木との違いは、プレーヤが交互に選択す
ること：rootは初期状態で第１のプレーヤの手番、次
の子節点は第1のプレーヤが一手で到達できる状
態、その次の子節点は第２のプレーヤの応手で作ら
れる状態。終端節点は、勝、負、引分けのいずれか
• AND/OR木で表現できる（Aの立場からは自分の手
番はORで選べるが相手の手番はANDに対応）
例:tic-tac-toe（３目並）
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* * *
* * *
* * *
* X *
* * *
X * *
* * *
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全部引分
O
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X
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X
O
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X
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O
*
X
O
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X
X
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O
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X
X
O
O
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X
O
X
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X
X
O
O
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X
O
X
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X
X
O
O
O
X
O X *
* X *
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O X *
* X *
* O *
O X *
* X X
* O *
O X *
O X X
* O *
O X *
O X X
X O *
O X O
O X X
X O *
O * *
* X X
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O * *
O X X
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O * *
* X *
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O
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O
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O
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X
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X
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* O *
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X
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X
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O X X
X * *
O * O
O X X
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O X O
O X X
X * *
O X O
O X X
X O *
O
X
O
O
X
O
O
X
O
O
X
O
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X
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X
X
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X
X
O
X
X
O
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X * *
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X
O
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X
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X
O
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X
O
X
* O *
* X *
X * *
X O *
* X *
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* O O
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X * *
X O *
* X *
* * O
* O *
X X *
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X O O
* X *
X * *
X O *
X X *
* * O
* O *
X X O
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X O O
O X *
X * *
X O *
X X *
O * O
X O O
O X *
X * X
X勝
X O *
X X X
O * O
X勝
* O *
X X *
* * *
* O *
* X *
* X *
* O O
* X *
* X *
X O O
* X *
* X *
X O O
* X *
* X O
X O O
* X X
* X O
* O *
X X O
X * *
X勝
X O O
O X X
* X O
引分
例:tic-tac-toe（３目並）
* * *
* * *
* * *
X * *
* * *
* * *
* * *
X * *
* * *
* * *
* X *
* * *
* O *
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O * *
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O X *
* X *
* * *
O X *
* X *
* O *
O X *
* X *
X O *
O
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X
O
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X
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O
X
X
X
O
X
X
O
X
X
O
O
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O
X
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O
X
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O * *
* X *
* * X
O * *
* X X
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O O *
* X *
* * X
O * *
O X X
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O O X
* X *
* * X
O * *
O X X
X * *
O O X
* X *
O * X
O O X
X X *
O * X
O O X
X X O
O * X
O * O
O X X
X * *
O
O
X
O
O
X
X
X
*
X
X
O
O
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O
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X
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O * X
X X *
O * *
O * X
X X O
O * *
O * X
X X O
O X *
O O X
X X O
O X *
全部引分
全部引分
* O *
* X *
* X O
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O
O
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X
O
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O
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* O X
X X *
O X O
* O X
X X O
O X O
* O *
* X *
* X *
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O
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O
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X
O
O
O
X
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O
X
X
O
X
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O
X
X
O
X
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O
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X
O
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X
O
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X
O
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X
O
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X O X
O X O
O X O
* O O
* X *
* X *
X O O
* X *
* X *
X O O
* X *
* X O
X O O
* X X
* X O
X O O
O X X
* X O
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O
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O
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O
X
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O
X
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O
X
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X
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X
X
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X
O O X
* X O
* * X
X勝
* O *
* X X
* * *
* O *
O X X
* * *
X O *
O X X
* * *
X O *
O X X
* * O
X O *
O X X
X * O
X O O
O X X
X * O
引分
* O X
* X *
* * *
* O X
* X *
O * *
* O X
* X *
O * X
* O X
* X O
O * X
X O X
* X O
O * X
X勝
例:tic-tac-toe（３目並）
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* * *
* X *
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X * *
* * *
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X * *
* * *
O * *
* X *
* * *
* O *
* X *
* * *
全部引分
* O *
* X *
X * *
X O *
* X *
* * *
* O *
X X *
* * *
X O ** O *
X X XX X O
O * OX * *
X O O
O X *
X * X
X勝
X勝
X勝
* O *
* X *
* X *
X O O
O X X
* X O
引分
ミニマックス法
アルファ・ベータ法
１
２
自身が選択
ミニマックス法
アルファ・ベータ法
１
２
相手が選択
ミニマックス法
アルファ・ベータ法
１
αβ（３）＝(５，５)
７
８
９
３
５
４
２
ミニマックス法
アルファ・ベータ法
αβ（１）＝(？，５)
１
αβ（３）＝(５，５)
７
８
９
３
５
４
２
ミニマックス法
アルファ・ベータ法
αβ（１）＝(？，５)
１
２
αβ（３）＝(５，５)
αβ（４）＝(？，５)
７
８
９
３
５
４
１０
１１
１２
４
５
７
ミニマックス法
アルファ・ベータ法
αβ（１）＝(？，５)
１
２
αβ（３）＝(５，５)
αβ（４）＝(４，５)
７
８
９
３
５
４
１０
１１
１２
４
５
７
ミニマックス法
アルファ・ベータ法
αβ（１）＝(？，５)
１
２
αβ（３）＝(５，５)
αβ（４）＝(５，５)
７
８
９
３
５
４
１０
４
１１
５
１２
７
調べなくてもよい
ミニマックス法
アルファ・ベータ法
αβ（１）＝(５，５)
１
２
αβ（３）＝(５，５)
αβ（４）＝(５，５)
７
８
９
３
５
４
１０
４
１１
５
１２
７
調べなくてもよい
αβ(S)＝(５，？)
１
αβ（１）＝(５，５)
ミニマックス法
アルファ・ベータ法
２
αβ(S)＝(５，？)
１
αβ（１）＝(５，５)
ミニマックス法
アルファ・ベータ法
２
αβ（２）＝(？，５)
ミニマックス法
アルファ・ベータ法
αβ(S)＝(５，？)
αβ（１）＝(５，５)
１
２
αβ（２）＝(？，５)
αβ（５）＝(４，４)
１３
１４
１５
４
３
２
αβ(S)＝(５，？)
ミニマックス法
アルファ・ベータ法
１
２
αβ（２）＝(？，４)
αβ（５）＝(４，４)
１３
１４
１５
４
３
２
？
Sのαより小さいの
で，これ以上探索を
行わなくてもよい