Transcript (問題の分解,AND/OR)、ハノイの塔

人工知能 ：第7回講義
まとめ：
問題の分解、AND/OR
ゲームの手の決定、ミニマックス枝狩り
αカット、βカット, 枝刈りの利得計算
Problem reduction representation
• 問題を分割し、すぐ解ける副問題の集合に変換
• 許された変換は「オペレータ（作用素）」として定義
• すぐ解ける問題は原始問題primitive problemとよぶ
• 問題分割を用いた問題表現は、
１．開始問題記述
２，問題を副問題群に変換する作用素
３．原始問題記述の集合
問題分割表現の例：ハノイの塔
• 大きさが順に大きくなる３つの円盤、A,B,Cと３つの
柱1,2,3. 最初円盤は全て柱１の上に、一番小さい
Aを一番上に、Cを一番下にして積み重ねられてい
る。これを柱３にAが一番上になるように移す、但し
一度に１個だけ円盤を動かせる、どの円盤もそれよ
り小さい円盤の上に置けない
• 最初に出来るのはAを柱2か柱3に移すことだが、そ
のあとAの上にはBもCも置けないので、つまりはA
を移さなかった柱にBを移して置いて、その上にAを
移し、空いた柱3にCを移すことができれば成功であ
る．次にそのCの上にBを載せ、その上にAを載せる
８段階を右の３段階と見る
１.ABC
１. BC
１.
C
１. C
2. ＿
2. ＿
2. B
2. AB
3.＿
3. A
3. A
3.＿＿
高さ２の山を1.
から2. へ移す
高さ１を1.から3.へ
１.＿＿
１. A
１. A
１.＿＿
2. AB
2. B
2. ＿
2.＿＿
3. C
3. C
3. BC
3. ABC
高さ２の山を2.
から3. へ移す
円盤をN個に増やしても右の３段階
１.AB..C
１. C
2. ＿
3.＿
高さN-1の山
を1.から2. へ
2. AB.. 3.＿＿
高さ１を1.から3.へ
１.＿＿ 2. AB..
3. C
高さN-1の山
を2.から3. へ
１.＿＿ 2.＿＿ 3. ABC
目標：高さ３の山を柱１から柱３へ移す
小目標：高さ2の
山を柱1から柱2
へ避難させる
原始問題：高さ
1の山を柱1か
ら柱3へ移動
高さ1の
高さ1の 山を柱3
高さ1 山を柱1 から柱2
の山を から柱2 へ移動
柱1か へ移動
ら柱3
へ移動
小目標：高さ2の
山を柱2から柱3
へ移す
高さ1の山を
高さ1の山 柱2から柱3
を柱2から へ移動
柱1へ移動
高さ1の
山を柱1
から柱3
へ移動
Nilsson（1971）によるAND/ORグラフ
１）各節点は単一問題か一連の問題であり、グラフは
開始節点（元問題）を含む．
２）終端節点（原始問題）＝葉
３）問題Pに対しこれを一組の副問題に変える作用素
があり、これを適用した結果生じる副問題に対応す
る節点へ向かって有向枝がある．このいずれかの
子節点が解かれたときＰが解けるのなら、OR節点
（OR-node） 、全ての子節点が解かれたときPが解
けるのならAND節点（AND-node）とよぶ.AND節点
には枝を水平線で結ぶ
開始問題が解けるかどうかを示すグ
ラフ（or,木）を解グラフ（解木）という
• 解ける節点の条件として、
１）それが終端節点（原始問題）である
2)子節点が全て解けるAND節点であるような
非終端節点であるか、または
３）子節点がOR節点でそのうち少なくとも一つ
が解ける
• 解けない節点の条件
1)子節点のない非終端節点（どの作用素も適
用できないような非原始問題）
2)その子節点がAND節点で、そのうち少なくと
も一つが解けないような非終端節点
３）その子節点がOR節点で、その全てが解け
ないような非終端節点
問題の分解：ゲームの手の決定
• ゲームの木：チェスや碁等の特徴：交互にプレイす
る二人のプレーヤが参加し、最良の手を打つ、とい
うゲームに対してその全ての可能な手が表現されて
いる．
• 状態空間木との違いは、プレーヤが交互に選択す
ること：rootは初期状態で第１のプレーヤの手番、次
の子節点は第1のプレーヤが一手で到達できる状
態、その次の子節点は第２のプレーヤの応手で作ら
れる状態。終端節点は、勝、負、引分けのいずれか
• AND/OR木で表現できる（Aの立場からは自分の手
番はORで選べるが相手の手番はANDに対応）
• ゲームの手の決定
ミニマックス定理
MAX node：自分の
利益を最大にする
手を選ぶ
min node： 相手の
利益を最小にする
手を選ぶ
f(S)
f(1)
１
２
f(2)
１
f(3)
f(1)
f(4)
f(S) = Max {f(1), f(2) }
f(1) = min {f(3), f(4) }
F(s) = MAX { F(1), F(2) }
１
７
８
９
F(7)
F(8)
F(9)
２
F(1) = min { F(3), F(32) }
F(3) = MAX { F(7), F(8), F(9) }
ミニマックス定理
• 自分と相手が交互にminとMAXを取り合う
F(s) = MAX { F(1), F(2) }
F(１) = min{ F(3), F(4) }
F(3) = MAX { F(7), F(8),F(9) }
• よって
f (S)  MAX{f (n)}
n
 MAX min{f (ni )}
n
i
 MAX min MAX{f (nij )}
n
i
j
 MAX min MAX min  {f (nijk )}
n
i
j
k
アルファベータ（αβ）
枝刈り法
アルファ・ベータ法
１
２
自身が選択
アルファ・ベータ法
１
２
相手が選択
アルファ・ベータ法
１
αβ（3）＝(5，5)
７
８
９
３
５
４
２
アルファ・ベータ法
open
n αβ（n)
区間
S
1,2
αβ（1）＝(-∞，5)
１
αβ（3）＝(5,5)
２
3,4,2
7,8,9,4,2 3 (3,∞）
７
３
８
５
8,9,4,2
3
(5,∞）
9,4,2
3
(5,5）
4,2
1
(-∞,5）
９
４
アルファ・ベータ法
Open List n αβ区
間
αβ（1）＝(-∞，5)
10,11,12,2 4 (4,5）
２
１
αβ（3）＝(5,5)
αβ（４）＝(4,5)
７
８
９
３
５
４
１０
１１
１２
４
５
７
アルファ・ベータ法
Open List n αβ区
間
αβ（1）＝(-∞，5)
10,11,12,2 4 (4,5）
２
１
αβ（3）＝(5,5)
αβ（４）＝(4,5)
７
８
９
３
５
４
１０
１１
１２
４
５
７
11,12,2
4 (5,5）
アルファ・ベータ法
Open List n αβ区
間
αβ（1）＝(-∞，5)
10,11,12,2 4 (4,5）
２
１
αβ（3）＝(5,5)
αβ（４）＝(4,5)
７
８
９
３
５
４
１０
１１
１２
４
５
７
11,12,2
4 (5,5）
12,2
1 (5,5）
アルファ・ベータ法
Open List n αβ区
間
(5,∞）
(5,5)
２
１
12,2
4 (5,5）
2
1 (5,5）
S (5,∞）
(5,5)
(5,5)
７
８
９
３
５
４
１０
１１
１２
４
５
７
節12はカットされる(βcut)
枝狩り：βカットの場合
節１のβ以
上の範囲に
(-∞，5)
１
αβ（４）＝(-∞ ，5)
X
節４の範囲
が来ると
１2
その子節は
もう調べる
必要なしと
して カット
アルファ・ベータ法
αβ(S)＝(5，∞)
Open List n αβ区
間
１
(5,5)
２
2
1 (5,5）
S (5,∞）
アルファ・ベータ法
Open List n αβ区
(5，∞)
間
2
１
(5,5)
２
1 (5,5）
S (5,∞）
5,6
アルファ・ベータ法
Open List n αβ区
間
αβ(S)＝(5，∞)
5,6
S (5,∞）
13,14,15,6 5 (4,∞）
１
２
(5,5)
αβ（５）＝(４，４)
１３
１４
１５
４
３
２
アルファ・ベータ法
Open List n αβ区
間
αβ(S)＝(5，∞)
5,6
S (5,∞）
13,14,15,6 5 (4,∞）
１
２
(5,5)
14, 15,6
αβ（５）＝(４，４)
１３
１４
１５
４
３
２
5 (4,∞）
アルファ・ベータ法
Open List n αβ区
間
αβ(S)＝(5，∞)
5,6
S (5,∞）
13,14,15,6 5 (4,∞）
１
２
(5,5)
(４，４)
１３
１４
１５
４
３
２
(-∞,4）
14, 15,6
5 (4,∞）
15,6
5 (4,4）
6
2 (-∞,4）
アルファ・ベータ法
Sのαより小さいので，
これ以上探索を行わ
なくてもよい
αβ(S)＝(5，∞)
X
１
２
αβ（5）＝(4,4)
１３
１４
１５
４
３
２
αβ（2）＝(-∞，4)
枝狩り：αカットの場合
(5, ∞)
αβ（2）＝(-∞ ，5)
X
2
節１のα以
下の範囲に
節2の範囲
が来ると
その子節は
もう調べる
必要なしと
して カット
枝刈でどこまで節約できるのか?
•
•
•
•
親節がゴールでなければ子節を展開するが、
最初の子節は必ず調べなければならない
2番目以降は刈れる可能性がある
子節nが刈れるのはその親,及び親の親がい
ずれも1番目に探索される子節でない場合
• 始節Sからnに至る節の列が2点続いて1番目
なら刈れる可能性はない（必ず調べる必要）
• 系列を探索される番号で表す：（1,2,3)なら,1番
目の節の次に2番目の節，3番目の節,となる
刈れない節の数
• 系列の奇数段目の節が全て1なら刈れる可
能性ゼロ，偶数番目の節が全て1でも同じ
• 系列長をkとして，m分木の場合、
• ほぼmのk/2乗の2倍→半分の深さの木を探
索するのと同じ手間
• まったく刈れない場合もあるので
• 結局、mのk/2乗以上でmのk乗以下、という
程度