Transcript 授業の要点(周波数応答)

第 5 章 ：周波数応答
5.1 周波数応答と伝達関数
キーワード ： 周波数伝達関数，ゲイン，位相
5.2 ベクトル軌跡
キーワード ： ベクトル軌跡
学習目標 ： システムの周波数応答特性を理解し，ベクトル
軌跡による表示ができるようにする．
1
5.1 周波数応答と伝達関数
線形システム（安定な LTI システム）
（一定周波数の）正弦波を入力として加え
続けると，定常状態ではその出力も入力と
同じ周波数の正弦波になる．
u
G(s)
y
図 5.1 周波数応答
2
［ 例5.1 ］ G(s) 
2
s 2  s 1
u(t )  sin t
入力と出力は同じ周波数，異なるのは振幅と位相だけ
［注］ 静的システム：振幅だけ
2
1
0
y
1
u
2
0
10
20
u
G(s)
y
30
t
図 5.2 正弦波入力に対する応答例
3
周波数特性
入力の周波数を変化させた（  : 0 ~  ）とき
振幅と位相がどのように変化するか
伝達関数 G (s )
極 pi (i  1 ~ n) は安定 (Re[pi ]  0) ，すべて異なる．
（仮想的な）複素数の入力 （複素正弦波）
u(t )  e jt  cost  j sin t
1
at
L [e ] 
sa
1
L [u(t )] 
s  j
Im
e jt
t
0
Re
4
出力
n
pi t
jt
y(t )  K0e   Ki e
G ( j )
y(t )  G( j )e
i 1
n
y(t )  K0e jt   Ki e pit
e pit  0
e 0
pi t
K0  G( j)
jt
| G( j ) | e j (t  )
y(t ) | G( j) | cos(t   )
入力
位相の差
G( j)
出力
cost
| G( j ) | cos(t   )
sin t
| G( j ) | sin(t   )
 j | G( j) | sin(t   )
振幅の変化 | G( j ) |
i 1
入力に比べて, 出力は大きさ
が | G( j ) | 倍され, 位相が
G( j) 進む。
ゲイン
位相（位相差）
5
［ 例5.2 ］
ゲイン
2
G(s)  2
s  s 1
(  1)
u(t )  sin t
2
2
2


| G( j) | 2
j  j 1
1  j  1
j
2
位相
2
2 j
2j
   2 j  90
G( j)       
j
j j
1
0
2
Im
1
Re
G( j)
2
出力(定常状態)：
y(t )  2 sin(t  90o )
0
y
1
u
2
0
10
t
20
30
6
2
伝達関数 G(s) 
s  1 を持つシステムに対し
入力 u(t )  sin t を適用した時の出力を求める。
2
1
1
s
1
Y (s)  G(s)U (s) 
 2

 2  2
s 1 s 1 s 1 s 1 s 1
［ 例5.3 ］
y(t)  et  cost  sin t  et  2 sin(t  45o )
一致する
定常状態では： y(t)  2 sin(t  45o ) (t  )
o
2

0
o
 2 G(s) 
一方, G(s) 
   45
o
j 1
45
なので、出力の大きさは入力の 2 倍され、位相は
  45o 進む。つまり、
y(t)  2 sin(t  45o ) となる。
7
周波数伝達関数 G( j )
G(s) の s
G( j) 
e
を
jt
j で置き換えたもの
の世界
状態方程式
インパルス応答
に対する定常応答
e jt
y( j)  G( j)u( j)
t
g(t )
ラプラス変換
s の世界
伝達関数
G(s)
周波数応答
s  j
 の世界
周波数伝達関数
G( j )
• 実用的な制御系の解析・設計に役立つ．
• 実験的に測定し，求めることができる．
• 不安定系でも（形式的に）定義できる．
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5.2 ベクトル軌跡
周波数
Im
 を一つ定めると，
G( j ) はある複素数となる．
0
 を 0 ~  と変化させると
Im
G( j ) は軌跡を描く
G ( j )
Re
G( j1 )
G( j2 )
G( j3 )
0
ベクトル軌跡
Re
G( j4 )
9
1
積分系 G ( s) 
s
1
周波数伝達関数 G ( j ) 
j
ゲイン | G ( j ) | 1  1
| j | |  |
1
2 重積分系 G ( s)  2
s
周波数伝達関数 G ( j ) 
ゲイン
1
| G ( j ) | 2

位相
位相
1
1
G ( j )   2  
j
1
1
1
j
G(i )  
 
j
j
1
   j  90
Im
1
Re

1
Im
Re
   1  180
Im
0  
1
1
( j ) 2
Im
Re
 1
  0  1   
1
0
Re
 0
図 5.3 G(s)  1/ s のベクトル軌跡
2
10
図 5.4 G(s)  1/ s のベクトル軌跡
1
1 次系 G ( s) 
Ts  1
( K  1)
Im
周波数伝達関数
1
G( j ) 
1  jT
0.5
 
ゲイン
1
1

| G( j ) |
| 1  jT |
1  T 2
 0.5
1
  0 Re
  1/ T
位相
図 5.5 1 次系のベクトル軌跡
1
 (1  jT )
G( j )  
1  jT
  tan 1 (T )
j

z  re
1 1 j (  )
 e
z r
 tan 1 (T ) 90
T
 90
11
 tan 1 (T ) 90
周波数伝達関数
T
1
G( j ) 
1  jT
 90
ゲイン
| G( j ) |
1
1  T 2
Im
位相
0.5
G( j )   tan (T )
1
 
T  0
| G | 1
G  0
T  1
2
| G |
2
| G | 0
G  45
T  

G  90

 0.5
1
  0 Re
  1/ T
図 5.6 1 次系のベクトル軌跡
12
0.51  jT   0.51  jT 
1
G( j ) 

1  jT
1  jT
1  jt
 0.5  0.5 
1  jt
実軸の正方向
に 0.5 平行移動
| 1  jt |
0.5 
 0.5 
| 1  jt |
半径 0.5 の円周
K
の場合
Ts  1
原点中心に K 倍
Im
 
 0.5
0.5
K 1
2 Re
1
 0
K 2
1
13
2

n
2 次系 G ( s) 
s 2  2 n s   n2
( K  1)
周波数伝達関数
 n2
G ( j ) 
 j 2  2 nj   n2

 
1
  

 j   2
j 1
n
 n 
1



2
 j  2j  1
n
| G( j ) |
位相
(1   )  2
2
2 2
 0
  0.4
図 5.5 2 次系のベクトル軌跡
2
G( j )  ([1   ]  j[2])   tan
1  2
2 2
Re
  0.7
  n
1
1
  1.0
2
ゲイン
Im
1
14
周波数伝達関数
1
G ( j ) 
 j2  2j  1
ゲイン
1
| G( j ) |
(1   2 ) 2  22
位相
 
1
  1.0
2
G   tan
1  2
1
Re
 0
  0.7
0
| G | 1
G  (0 )  0
 1
1
| G |
2
G  90
   | G | 0
Im
G  180
  n
  0.4
1
(0, )
2
図 5.5 2 次系のベクトル軌跡
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