Transcript 第4日目第1時限の学習目標

第４日目第１時限の学習目標
 ３つ以上の平均値の差の検定（分散分析）の
概要を知る。
（１）分散分析の例を知る。
（２）分散分析の広がりと基本的デザインに
つい
て学ぶ。
（３）要因の効果の検定方法を学ぶ。
（４）分散分析の基本用語を学ぶ。
３つ以上の平均値の差の検定（１）
分散分析例（１）
 睡眠遮断実験データ






（Kirk, 1985)
要因ー睡眠遮断
要因数ー１
要因の水準ー４
12h, 24h, 36h, 48h
の睡眠遮断条件
サンプル数ー各水準に８
名づつ無作為割付
従属変数ー手先の鈍感さ
完全無作為化デザイン
ANOVA
1
2
3
4
5
6
7
8
12h 24h 36h 48h
3
4
7
7
6
5
8
8
7
9
３
４
3
3
6
8
1
2
5 10
2
3
6 10
2
4
5
9
2
3
6 11
３つ以上の平均値の差の検定（２）
分散分析例（２）
 社会的スキルと父母への






甘えの関連データ（１８
年度卒業生稲垣さんデー
タ）
要因ー父・母への甘え
要因数ー２
要因の水準－各２
（甘えの有無）
サンプル数ー男６５名
従属変数ー社会的スキル
の６因子のそれぞれ
完全無作為化２要因デザ
イン ANOVA
母
父 父親へ 父親へ
の甘え の甘え
有り
無し
母親へ
の甘え
有り
母親へ
の甘え
無し
３つ以上の平均値の差の検定（３）
分散分析例（３）
 ミラーリエル錯視実験






(１８年度計量心理学演習
受講者データ）
要因ー斜線分の長さ
要因数ー１
要因の水準ー３
サンプル数ー１２名
従属変数ー錯視量
（単位mm)
１要因反復測定デザイン
ANOVA
15mm
条件
１
２
.
.
.
１２
30mm
条件
45mm
条件
17.8 18.5 19.5
25.8 30.5 28.8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21.0 29.0 31.5
３つ以上の平均値の差の検定（４）
分散分析例（４）
 反応時間実験データ
（１８年度修士２年
金田君デー






1
タ）
要因ー反応形態と刺激の
中立性
2
要因数ー２
要因の水準ー反応形態３、
刺激の中立性２
…
サンプル数ー２５名
従属変数ー反応時間
25
２要因反復測定デザイン
ANOVA
A1
B1
A1
B2
A2
B1
A2
B2
A3
B1
A3
B2
240 218 437 439 485 567
197 195 267 382 366 363
…
…
…
…
…
…
256 301 411 416 407 480
３つ以上の平均値の差の検定（５）
分散分析の広がり（１）
 ３つ以上の平均値の差の検定の方法である分散分
析には、いろいろなものが知られている。
 一般には、この種の方法は、研究者が関心を持つ
従属変数に対して影響を持つと考えられる多くの
独立変数、すなわち要因のうち、少数の要因に絞
り他はできる限り統制し、少数要因の効果の有無
を統計的に検討する方法の全体を実験計画法
(design of ex- periment 又は experimental design)
と呼ぶが、狭義にはそれによる分析手続きを分散
分析 (analysis of variance, 略して ANOVA) と呼ぶ。
３つ以上の平均値の差の検定（６）
分散分析の広がり（２）
 分散分析は、狭義には１変量分散分析を指すが、
広義にはそれのみでなく、共分散分析 (analysis of
co- variance, 略して ANCOVA)、多変量分散分析
(multivariate analysis of variance, 略して
MANOVA)、及び一般多変量分散分析 (general
multivariate analysis of variance, 略して
GMANOVA) が含まれる。
 また、複数の条件（分散分析では、これを処理と
か水準とかいうことがある）に対して、同一被験
者が反応させられるデザインとして、反復測定
（測度）分散分析(repeated measures ANOVA) が
３つ以上の平均値の差の検定（６）
分散分析の広がり（３）
 この授業では、それらのうち、要因数が２つま
での基本的な４つの方法について、まず簡単に
紹介する。
 それらは、完全無作為化デザイン (completely
ran-domized design)、完全無作為化要因デザイ
ン (completely randomized factorial design)、乱
塊法 (randomized block design)、分割区画デザ
イン (split-plot design) である。
 分散分析では、つぎに示すように、データを収
集する前に、研究目的に照らして、適切な要因
及び被験者を計画的に集める必要がある。
３つ以上の平均値の差の検定（７）
完全無作為化デザイン（CR-p）
 当該実験での主要な１つの因子の各水準に対して、各被
験者を無作為に割り付ける方法。
 CR-p デザインでは、Fisher の実験計画法の３原則のうち
どれとどれを使うか？
水準
観測値
Ａ１
・・・
Ａｐ
均質な被験者集団
３つ以上の平均値の差の検定（8）
完全無作為化２要因デザイン（CRF-pq）
 当該実験での主要な2つの因子の各水準に対して、各被験
者を無作為に割り付ける方法。
 CR-p デザインとどこが異なる？
B1
…
Bq
A1
‫׃‬
Ap
均質な被験者集団
３つ以上の平均値の差の検定（9）
乱塊法デザイン（RB-p）
 当該実験での主要な１つの因子の各水準に対して、均質
でない被験者を１つの局外因子によりブロック化し、ブ
ロックごと無作為に割り付ける方法。
 RB-p デザインでは、Fisher の実験計画法の３原則のうち
どれとどれを使うか？
均質でない被験者を
１つの局外因子で分ける
ＢＬ１
・・・
ＢＬｋ
Ａ１
・・・
・・・
Ａｐ
ＢＬ１
ＢＬＫ
ＢＬ２
３つ以上の平均値の差の検定（10）
分割区画デザイン（SPF-p.q）
 当該実験で重要度の異なる2つの因子の水準に対して、各被験者を２
つの局外因子によりブロック化し２段階の無作為割り付けにより被
験者を割り付ける方法。
 RB-p デザインとどこが異なる？
B1
…
Bq
均質でない被験者を２つの
局外因子によりブロック化
A1
ＢＬ（１）１
…
BL(1)2
‫׃‬
‫׃‬
Ap
BL(2)1
‫׃‬
‫׃‬
BL(1)p
…
BL(2)
2
…
BL(2)r
３つ以上の平均値の差の検定（11）
条件間での平均値の差の持つ意味
 睡眠遮断データでは、１２時間、２４時間、３６時
間、４８時間の睡眠遮断を課す４グループ各８名の
手先の敏捷性（鈍感度）のデータの平均値は、睡眠
遮断時間が増すにつれて、増大している。
 水準間での平均値の違いは、手先の敏捷性に対する
睡眠遮断という要因の効果の有無を表している、と
考えられる。
 まず、睡眠遮断要因の効果の検定結果が分散分析で
はどのように示されるのかを、統計ソフト SAS を用
いてみてみよう。
３つ以上の平均値の差の検定（12）
SAS による分散分析の出力例
変動因 自由度 平方和
Model
3
194.5
Error
28
41.0
Correct
31
235.5
ed total
変動因 自由度 Anova
平方和
平均平方 F 値 Pr>F
63.83
44.28 .0001
1.46
level
63.83
3
194.5
平均
平方
F値
Pr>F
44.28 .0001
３つ以上の平均値の差の検定（13）
SAS による分散分析の出力例
変動因
平方和 自由度 平均平方
要因名
SS_A
I-1
SS_A
/ (I-1)
誤差
SS_E
N-I
SS_E
/(N-I)
計
SS_T
N-1
F値
ｐ値
U_A
/ U_E
p
３つ以上の平均値の差の検定（14）
SAS による分散分析の出力例
 構造模型ー分散分析では、どのデザインでも、
それにより得られるデータ y を実現値とする確
率変数 Y に対するモデル（構造模型）を仮定す
る。例えば、CR-p デザインでは、
Yik    i  Eik ,
ここで、μは一般平均、αi は因子 A の第 i 水準の
主効果、Eik は誤差項である。
３つ以上の平均値の差の検定（15）
分散分析での３つの仮定
 （１）正規性
(構造模型の）誤差項は正規分布に従う
 （２）等分散性
各セルの（母集団での）分散はすべて
等しい
 （３）独立性
従属変数の値は互いに独立である
３つ以上の平均値の差の検定（16）
基本用語１－平方和（１）
 例えば、分散分析表の中の平方和の１つである
SSAは、第 i 水準の Ni 人のサンプルの従属変数の
値の平均を実現値とする確率変数から全サンプ
ルの平均を引いたものの二乗和（平方和）であ
Ni
I
る：
SSA  (Yi Y )2 , i 1 k 1
は、第 i 水準の主効果 αi と、誤差に関わる項であ
ることが、うえの構造模型を用いると証明できる。
３つ以上の平均値の差の検定（1７）
基本用語１－平方和（２）
 同じく分散分析表の中の平方和の１つである SS
Ｅ は、第
i 水準の k 番目のサンプルの値 yik を実現
値とする確率変数 Yik から第 i 水準の Ni 人のサン
プルの平均を引いたものの二乗和（平方和）であ
る：
I Ni
SSE  (Yik Yi )2 , i 1 k 1
は、誤差に関わる項のみから成ることが、先ほどと同
様、構造模型から証明できる。
３つ以上の平均値の差の検定（１８）
平均平方
 つぎに、分散分析表の中の平均平方の１つであ
る UＥは、誤差平方和 SSE を N – I で割ったもの
である：
U E  SSE /( N  I )
I
Ni
  (Yik Yi )2 /( N  I )
i 1 k 1
同様に、UA は、要因平方和を I -1 で割ったもので、
U A  SSA /(I  1)
I
Ni
 (Y i Y  )2 /(I  1)
i 1 k 1
３つ以上の平均値の差の検定（１9）
CR-p デザインにおける F 値の意味（１）
 結局、CR-p デザインにおける要因の効
果検定のための統計量 F は、要因の効
果と 誤差に関わる項の、誤差に関わる
項に対する比
F  U A / UE
として定義されることがわかる。
３つ以上の平均値の差の検定（２０）
CR-p デザインにおける F 値の意味（２）
 結局、CR-p デザインに限らず、一般に
分散分析では、テキスト p.8 上方の枠内
にまとめたように、
分散分析ではデータの全変動を、組み込
んだ因子の変動と誤差変動に分解し、誤差
変動に比べて当該因子の変動がどれ程大
きいのかを検討する。