Transcript 講義資料3 - 三重大学 生物資源学部・大学院生物資源学研究科

ラグランジュ微分と
オイラー微分と
移流項の
三者の関係を直感で理解する方法
三重大学・大学院生物資源学研究科
共生環境学専攻
地球環境気候学研究室
教授 立花義裕
移流項とオイラー微分とラグランジュ微分の関係のイ
メージ
例えば
回転寿司のようなシステムで温度の違う飲み物が
速度ｕで流れてくるとする。
ｕ
7K
0K
5K
10K
飲み物の温度
15K
さっきより５K冷たい
飲み物が来るはず
あと少し待てば
冷たい飲み物が
だったのに
もう少し冷たい物が
ほしいな…
３Kしか冷たくない！
くる…
流れてる間に
部屋の温度によって
飲み物が暖められていた。
オイラー氏ラグランジェ微分が効いている！
下の図のような、それぞれが距離δx離れた空気塊を考える。
中心の空気塊の温度はT0で、周りの空気塊の温度はテイラー展開で表されている。
これらの空気塊は速度U=δx/δtで移動している。
t=0
t=δt
DT
δT
 lim
Dt δt 0 δt
速度U=δx/δt
このときの温度の
変化率はDT/Dｔ
T
T0  2δx
x
+0
+δT
δx
+δT
+0
+0
+δT
T
T0  δx
x
T0 
T0
δx
δx
T
δx+0
+δT
x
δx
+0
+δT
T
T0  2δx
x
これが空気塊とともに動く視点で見た時の変化率、ラグランジェ微分であり、
今、太陽が出て、地面が温められ、付近の空気塊が暖められるとする。(外部要因）
外部要因によって、δtの間暖められて、温度がδT上がったとすると、このときの温度
DT/Dt=外部要因で表される。
変化率はDT/Dtである。
次に、固定点から見たときの変化率、オイラー微分について考える。
t=0
t=δｔ
U=δx/δt
T0 
T
2δx
x
T0 
T
δx
x
T


T0  T0  δx 
T
x



t
δt
 
δx T
  
 U  T
δt x
T
T
T

0 T0 δx
T
x
T0
T
T0  δx
x
T0 
T
2δx
x
∂T/∂t
この時、固定点での温度の変化率は∂T/∂t=（外部要因=0)-U･∇Tとなる事がわかる。
まずは、太陽の出ていない時（外部要因がない→ラグランジェ微分＝０であるから、
U=δx/δtであるから、δt経つごとに空気塊はδx移動することになる。
空気塊自体の温度は変化しない）を考える。
次に、太陽が出た時（外部要因がある→DT/Dｔ≠0）のオイラー微分について考える。
t=0 t=δt
T0 δT   T0  Tδx 
T
x 


t
δt
δT δx T DT  

 

 U  T
δt δt x Dt
T0 
T
2δx+0
x
T0 
T
δx +0
x +δT
T0 +0+δT
+δT

T
T TT0T0 δx
x
T +δT
T0  δ
x +0
x
∂T=∂t
t=0で太陽が出て、暖まりはじめる。
t=δt経つと、空気塊全体はδTだけ温度が上昇し、さらにδx移動する。
よって、外部要因があるときのオイラー微分は
∂T/∂t=DT/Dt(=外部要因)－U･∇Tであることがわかる。
T0 
T
2δx+δT
+0
x
• 今回は移流の概念を理解するのにイメージしや
すいように変数として温度Tを用いたが、温度
以外の場の変数（スカラー量でもベクトル量で
も）全てについてラグランジュ微分とオイラー
微分、移流項の関係は成り立つ。
• 例えば流体の運動方程式であれば、変数に運動
量（速度ベクトルU）を用いればよい。外部要
因として、気圧傾度力、重力、摩擦力があると
すると、大気の運動方程式は次のようになる。


DU
U   
1



U


U



p





 U







Dt
t
ρ


移流項

 重力 
粘性力
オイラー
ラグランジェ
圧力傾度力