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第Ⅱ部
社会構造概念の彫琢
第6章 中心性
Social Network Seminar
内容
1.グラフ理論による中心概念のモデル
2.地位中心モデル
3.新しいタイプの中心性モデル
4.集団の中心化傾向のモデル
1
中心性分析
中心概念に基づいて中心の度合いを尺度化したもの
→政治、経済の様々な組織研究において成果を生み
出している
中心性概念のモデルの種類
• グラフ中心モデル
• パワー概念の操作化としての中心性モデル
• 伝播現象を意識したモデル
2
1.グラフ理論による中心概念のモデル
次数センター:次数中心性によって定義される最も単
純な中心モデル
点viの次数 deg( vi ) (点に接続する辺の数)はそのまま
中心性の尺度と見なされる
deg( vi )
次数中心性C:
d Cd (vi )
n 1
3
グラフ・センター
いま、vを連結グラフGの点とするとき、vから最も遠い点までの
距離を離心数e(v)と定義する
→e(v)=max{d(u,v):u∈V}と表現する。ただし、d(u,v)はu,v間の
距離
半径r(v):点の最小離心数 直径d(v):点の最大離心数
e(v)=r(v)ならば、vは中心点であり、
すべての中心点の集合を
センターC(G)と定義される。
e(v)=d(v)ならば、vは周辺点であり、すべ
ての周辺点の集合を周辺として定義される。
→離心数は、距離行列の各行の最大値
4
メジアン
連結グラフGに関して、
点vのステイタスs(v):vからGの他の点までの距離の総和
グラフGのメジアンM(G):最小のステイタスをもった点からなる
集合
→施設配置などに有効
近接中心性:ある1点から他の1点の
ステイタスの逆数。
1
n 1
s(vi )
Cc (vi )
s(vi )
n 1
→連結グラフに対してのみ適用
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切断センター
脆弱性に基づいたモデル
切断数c(v):uとwがG-vの異なる成分の中にあるよう
な点対{u,w}の数
切断センターCC(G):最大のc(v)をもったすべての点
からなる集合
6
媒介センター
媒介値:点viとv jの各対に対してvkの媒介値bij (vk )は、vi v j 測地
路の総数に対する、点vkを含むvi v j 測地路の比率である。vkの
媒介中心BC (vk )は、すべての対i, jに対するbij (vk )の総和である。
媒介中心BC (G:最大媒介値をもった
)
すべての点の
集合。 媒介中心点
点の媒介値が最大になるとき、
その分母は(n 2 3n 1) / 2である。
2 BC (vi )
また、Cb (vi ) 2
n 3n 1
と定式化される。
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フロー(媒介)・センター
媒介センターを拡張するモデル
フロー(媒介)中心性C :点
vkのi, j媒介値を、vi v jを通る
f
総フローに対する、点vkを含むvi v jを通るフローの比率
1からnまでの異なる点i, jに
対して総和をとる。
n
n
f
C f (vk )=
i
ij
( vk )
j
n
n
f
i
ij
j
8
グラフ的中心モデルの比較
モデル化の対象
次数センター・・・送信性
グラフ・センターとメジアン・・・接近のしやすさ
切断センター、媒介センター、フロー・センター・・・結合の脆弱性
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2.地位中心モデル
~パワーと権威付け~
カッツ-ハベル・モデル
Nをアクターの数、Aをソシオマトリクスとする。Aは選
択関係数を表すから、その転置行列A‘は選択され
る関係数を表す。
uを次元kの単位ベクトルとすると、アクターiの地位(ス
テイタス)は次のように表せる。
si A' u
→「選択されるものほど中心性が高くなる」という発想
10
カッツ中心性
→「選択される人のランクが高いほど、またそのような
人と直接結合しているほど、その人を選択する人の
もつ地位が高くなる」
αという緩和パラメータの導入→近い結合を高く、遠い
結合ほど低く重み付け
si A 2 A2 N A N (A) q
ただし、
0 1 Iを単位行列とおくとすると、
Si (A 2 A2 A )' u
[( I A) 1 I ]' u
11
カッツ中心性
実際のスコアの計算においてはs i は、その統計的に漸
近される可能性結合数、
n1 1/
m (n 1)! e
nはアクターの数
このモデルにおいてαは恣意的であり、値によっては
収束しなかったり、マイナスのステイタス・スコアが
出てくることもある。
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地位中心性モデル(ハベル中心性)
地位中心モデル:選択者の地位と、選択する強度の両方を考慮したモデル
。
→選択される人のランクが高いほど、またそのような人と直接結合している
ほど、またその選択の強度が高いほど、その人を選択する人のもつ地位
が高くなるという考え方
si e1 wi1s1 wi 2 s2 win sn
e:グループ外部からこ
のシステムに導入される
i
地位への貢献分
wij 0:アクターiがjを選択する結合強度
s:アクター
iの地位(ステイタス・スコア
)
i
ここではwijは行に関して行和が0.5になるように
正規化したものである。
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ハベル中心性
行列表記すると次のようになる
s e W 's
( I W ' ) 1 e
( I W 'W '2 )e
カッツのαをモデルより優れている点
• 二項的なものだけでなく、有値のネットワーク・データを扱え
る
• 恣意的にαを調整することなく、wij によって収束が保証され
ている
• 非対称的なネットワーク(ダイグラフ)でも扱える
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ハベル中心性
ハベル中心性を測定し、最大スコアで正規化したとき(
もっとも中心的なものが1で表される)、グラフ理論的
スコアと異なり、周辺的なアクターでもそれが結合す
るアクターの中心性によって、非零スコアが与えら
れ、結合するアクターの地位の高さによって中心性
が異なっている。
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ハベル・モデルの改良
~反復ハベルモデル~
反復ハベルモデル:外部要素であるeの部分の入力値
が、n-1回目の反復値であるとする
第2回の反復値s2は、
s2 ( I R' ) 1 s1 ( I R' ) 1 (( I R' ) 1 e I )e
一般に、
sm ( I R' ) m 1 (( I R' ) 1 e I )e
→距離行列の最大値分だけ反復すると、ハベル中心
性が求まる
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ボナチッチ・モデル族とその発展
カッツ-ハベル・モデルの洗練化
→中心性=パワーという考え方
ソシオマトリクスの固有ベクトルによって中心性ベクトルを求め
る方法(カッツ-ハベルモデルの開発前のモデル)
rijをアクターiがjを選択する結合強度、ciはアクターiの
中心性、c jはアクターjの中心性、を定数とすると、
アクターiの中心性はiがrijの強度で結合するアクターjの
中心性に比例するというモデルは
ci rij c j ,
cj
rc
ij
j
で表せる。
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ソシオマトリクスの固有ベクトルによって中心性ベクトルを求める方法
行列では、C RC ,
C
RC
であるので、CはRの固有ベクトルを、それに対応する
最大固有ベクトルで除することによって求められる。
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ボナチッチ中心性モデル
ex.企業間ネットワーク
→兼任取締役×企業として表現
企業iの取締役会の規模をd iと表すと
すると、企業ij 間の結合強度rijは通常、
rij
bij
di d j
と定義される。
これによりボナチッチの中心性
スコアを求めると、ハベル中心性と
ほとんど同じパターンを示している
ことが分かる。
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中心性の分解モデル
反射成分と導出成分の分解モデル
・・・アクターが中心性を獲得する様式
・間接的な結合によって他のアクターから中心性を引
き出す→導出中心性
・直接結合するほかのアクターから反射的に戻ってく
るような中心性を獲得する→反射中心性
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中心性の分解モデル
ciの反射中心性はRの対角成分に注目し、
Ci.2 R
rii ci
で表され、導出中心性はRの非対角
成分に注目し、
Ci.2 D
2
N
r cj
j 1, j i ij
2
で表せる。
この2つの和がボナチッチ中心性の全中心性となる。
cf . c j
rc
ij
j
N
r cj
i , j ij
反射中心性の比重の高いもの・・・「(準)ハブ」、
導出中心性の比重の高いもの・・・「(準)ブリッジ」
cf.コスモポリタンと周辺
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クックらの研究
パワーと構造的な中心性が一致しない例
右下図で、実戦間で、24ポイント、
破線間で8ポイントの交換を行う交渉ゲーム
→ゲームを進めていくと、ポイントは中心性の
高いと思われるDではなく、Eに蓄積していく。
F
F
→交換ネットワークの分類付け
正結合ネットワーク:一方の関係における
交換が他方の関係における交換を促進
する場合
F
負結合ネットワーク:交換を阻害する場合
混合ネットワーク:両者が入り混じった場合
F
E
D
F
E
E
F
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中心モデルの改良
中心性ベクトルを求める最初の式ci rij c jにパラメータαとβを導入した式
ci (α,β) (αβci )rij
j
1を1からなる列ベクトル、Iを単位行列(すべての成分が1からなる行列)
とすると、
c(α,β) α( I βR ) 1 R1
ここでαは中心性のベクトルcの平方がネットワークの
アクターの数と一致するように選ばれるパラメータである。
βは「その内部で中心性を評価したいと思うような半径」である。
例えば小さなβはローカルな構造を重視し、大きなβはグローバルな構造を
重く見る。βがRの最大固有ベクトルの逆数の絶対値より小さいときには、
c(α,β) α( R1 βR 21 β2 R 31 )
のような無限和になる βによって長さ2以上の間接結合を
さまざまに重みづけている。
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βと中心性
(1)β=0のとき、c(α,β) αR1 なので、間接的結合を重
みづけできず、通常の次数中心モデルと同値
(2)β>0のとき、大きなβはグローバルな構造に、小さな
βはローカルな構造に敏感になる。
(3) β<0のとき、Rの偶数ベキは負に、
奇数ベキは正に重みづけられるので、
直接的な結合は中心性に貢献
するが、長さ2の間接的な結合は
逆に中心性の減少に作用する。
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3.新しいタイプの中心性モデル
情報中心性モデルと伝播の統合度・放射性の中心性
モデル→(情報・病理の)伝播中心性モデル
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情報中心モデル
情報の反意語・・・”ノイズ”
→「情報量」は「ノイズの量の逆数」または「推計値の
分散の逆数」
情報中心性モデル:情報量を重み付きグラフで測定す
ることによって、点の中心性を測定するモデル
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情報中心モデル
連結グラフネットワークの点対ijを結合するすべての
道 Pij (s ) において、「情報量」を、通る信号のノイズの
逆数と考える。
分散はある1点から連結するほかの点への道に長さ
で表される(長さ自体ではない)。よってネットワーク
におけるすべての道の長さが求まれば、情報量も
計算できる。
アクターの情報中心性はPij (s ) に各点iが関わる度合い
として測定できる。
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情報中心モデル
合道:同じ点対を結合する道が複数存在する場合に、
その道を最適に重みづけるもの
重みづけは各道の情報量の総和が合道の情報量に
等しくなり、その和が1となるという意味において最
適である。
ここで各道の重みをwとし、kijをiとjを結ぶ
道の数とすると、
kij
kij
s 1
s 1
pij ws pij ( s ), ws 1
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図の点1から4への道に関しては、
1 p14 (1) 1 / 2 p14 (2) 1 / 3 p14 (3)
11/ 2 1/ 3
情報量I14は1 1 / 2 1 / 3 1.83
p14
その測地線より1.83倍の情報量を
有している
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システムの求心性と遠心性
統合中心性と放射中心性
個人の統合性モデル
ダイグラフの入次数に基づいて測定し、当該個人の関
係の受理がネットワークに統合している程度のモデ
ル化
放射性モデル
ダイグラフの出次数に基づいて測定し、それがどの程
度多種多様なアクターにアクセス可能にするように
ネットワークに到達しているのかのモデル化
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統合性
いま、アクターkの統合性をI (k )、RD jkをアクターj , kの
間の測地線から計算された「逆距離」、Nをネット
ワークのアクターの数とすると、
I (k )
RD
j k
jk
で表される。
N 1
逆距離RD jk:jk間の測地線の長さをg jk、ネットワークの
直径をdiamとしたとき、
RD jk diam 1 g jk
31
具体例
8アクターからなるダイグラフ
距離行列は右図の通り。(直径3)
点2の統合性を求める場合、
2列目に注目して、
自身と統合していない点5を除き、
2-1,2-3・・・の逆距離を求めていくと、
{3+1-2=2,3+1-2=2,3+1-1=3,…}
この総和13を8-1=7で除し、1.86と求まる。
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放射性と相対モデル
放射性の計算では、入次数が
出次数に変わるので、先ほどの
列和のところが行和に変わるだけ
相対的な尺度として、最大の
逆距離によって正規化される
相対モデルも提案されている。
I ' (k )
I (k )
max ( RD jk )
j ,k
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相対的な統合性が高いアクターは比較的容易に情報に接近す
ることができ、放射性の高いアクターは比較的容易に情報を
送信することができる
下図より、例ではアクター4は情報への接近においてもっとも中
心的なアクターであり、アクター1は情報発信においてもっと
も中心的なアクターである
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4.集団の中心化傾向のモデル
個人から集団へ どの集団がもっとも中心に偏ってい
るか
一般的モデル
n人から構成されるネットワークにおけるC A ( pi )を
タイプAの中心モデルで測定。アクターの中心性C A ( p*)を
C A ( p*) MaxCA ( pi )
n
i 1
とすると、
[C A ( p*) C A ( pi )]
は、各個人の中心性の観測値の最大値からの差の総和である。
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一般的モデル
先の実測値の偏差の合計を、ネットワークの数学的な性格上
から理論的に考えられる最大の偏差で除した割合が、正規
化された中心化傾向として測定される。
[C ( p*) C ( p )]
max [C ( p*) C ( p )]
n
C A1
i 1
A
A
i
n
i 1
A
A
i
一方、統計的な標準化の方法に依拠したモデルもある。観察さ
れた個人の中心性からその平均を減じ、アクター数で除する
というもの。
[i 1 (C A ( pi ) C A2 )]
n
C A2
n
36
各中心モデルにおける中心化傾向の測定
一般モデルでの、max i 1[CA ( p*) CA ( pi )] に入る式を
求めることで、各中心モデルに対して特殊化ができる
。
→各モデルにおいて中心性の差が最大になるような
場合を探索し、中心性が最低の場合と最高の場合
を考えればよい。
n
37
次数モデルの場合
中心性が最大になる各点がもっとも中心的な点にの
み接続しているとき (次数1)。中心のもつ最高の中
心性は、中心が他のすべての点と隣接する場合(次
数n-1)。その差は(n-1)-1=n-2。この差を点i以外の
各n-1の点についての総和であるから、
max i 1[CC ( p*) CC ( pi )] (n 2)( n 1) n 2 3n 2
n
次数中心モデルにおける中心化傾向のモデルは、
CD
n
i 1
[C D ( p*) C D ( pi )]
n 2 3n 2
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その他のモデル
(2n 3)i 1[CC ( p*) CC ( pi )]
n
近接中心性:CC
媒介中心性:C B
統合性:I
i 1
放射性:R
n
[C B ( p*) C B ( pi )]
i 1
3
フロー中心性:C F
n
n 2 3n 2
n 4n 2 5n 2
n
i 1
[C F ( p*) C F ( pi )]
n 1
[ I ( p*) I ( pi )]
n 1
n
i 1
[ R( p*) R( pi )]
n 1
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個人と集団の中心性
~下位集団の中心性モデル~
下位集団の外集団に関わる度合いというモデル
集団次数中心性のモデル
いま、下位集団SがS以外の個人ともつ結合の数を集団次数中
心性と定義する。
右図で下位集団を{d,e}とすると、
この集団の次数中心性は5である。
集団次数中心性は、非集団アク
ターの数5で除されることで
正規化される。このとき正規化
集団次数中心性は1である。
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集団近接中心性モデル
下位集団の集団近接中心性(≒距離)は、下位集団から外集団
へのすべての点への距離の合計で定義される。これを外集
団のアクターの数で除したものの逆数を求めることで正規化
集団近接性が求められる。慣例的に、距離の最小、距離の
平均、距離の最大の3パターンで求めることがある。
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集団媒介中心性モデル
下位集団をSとし、g ijをi j測地線、g ij ( S )を下位集団Sを通る
i j測地線とすると、集団媒介中心性GCB ( S )は
GCB ( S )
i j
g ij ( S )
g ij
; i, j S
である。
| V | を全アクター数、| C | を下位集団Sのアクター数と
すると、GCB ( S )が理論的最大な場合で正規化すると、
2GCB ( S )
GCB ( S )
(| V | | C |)(| V | | C | 1)
となる。
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下位集団の中心性モデルでできること
(1)戦略的なネットワーキングの観点から、各ビジネス・パートナ
ーの社会ネットワークと属性がわかっているとき、その属性
に関して最も中心性の高いグループ分けを探索することで結
合すべき相手を確定し、近個人にとってもっとも有利な人間
関係を築くための戦略を立てる
(2)各社員の社会ネットワークと属性がわかっているときに、ど
の部署にどの社員を配置すれば、中心性の差の少ない、平
準的な職場を設計できるかといった人事マネジメント上の施
策を立てる
→集団の中心モデルは予測的で実践的な社会ネットワーク分
析が可能
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まとめ
~中心性モデル~
1.グラフ理論的な中心モデル
2.地位概念に依拠した地位モデル
3.伝播に注目した中心モデル
4.集団の中心化傾向のモデル
5.下位集団の中心モデル
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