Transcript スピン（ppt）

第１４回 スピン
・角運動量
・磁気モーメント
・ Zeeman効果
・ Stern-Gerlachの実験
・電子のスピン
・NMR
・パウリの排他原理
今日の目標
１．角運動量の一般的な定義が示せること
２．磁気モーメントを説明できること
３．ゼーマン効果を説明できること
４．ステルン・ゲルラッハの実験を説明できること
５．電子のスピンを説明できること
６．NMRの原理を説明できること
７．パウリの排他原理を交換対称性から理解すること
角運動量の性質
交換関係
[J＾x , ＾Jy] = i h J＾z
[J＾y , ＾Jz] = i h J＾x
角運動量
[J＾z , ＾Jx] = i h J＾y
J＾ 2 = ＾Jx2 + J＾y2 + ＾Jz2
＾ 2, ＾Jz] = 0
[J
共通の固有関数が存在
＾J2χjm = j(j+1) h2χjm
＾Jzχjm = m h χjm
j = 0,1/2,1,3/2,2,・・・
m = -j,-j+1,・・・,0,・・・,j-1,j
角運動量の性質
磁気モーメント
磁気双極子
+qm
磁石
磁気双極子モーメント
μm＝ qml
l
－qm
電流が作る磁気モーメント
半径aの円電流
N
e
S
軌道角運動量
L＝amev
磁気モーメント
v
I＝
-ev
2πa
磁気モーメント
-eva
μ＝IS
＝
2
-e L
μ＝
2me
Zeeman効果
磁気双極子がΔθ傾いたとき磁荷がする仕事
磁場B
ΔW＝rΔθf＝rΔθFsinθ
F
θ
μ
-F
磁気双極子が磁場となす角がθになるまで
の仕事
f
W＝2rF（1-cosθ）＝lqmH（1-cosθ）
＝μB （1-cosθ）
磁場と双極子が直交した状態を基準にした
ポテンシャル（Zeemanエネルギー）
F＝qmH＝qmB/μ0
W－μB＝－μBcosθ
VB＝－μ・B＝－μzB
ZeemanエネルギーのHamiltonian
eB L
eB
∂
Hz ＝
（－i h
）
z ＝
2me
2me
∂φ
Zeeman効果
-eB L
＝－
z
2me
HB=H+HZ
H=
h2 2
2me∇ + V(r)
h2 2
2me∇ + V(r)
Ψ(r) = EΨ(r)
[H, HZ]= 0
HZΨ(r) = EZΨ(r)
Hz ＝
eB L
z
2me
[H, HB]= 0
HBΨ(r) = EBΨ(r)
EB = E + EZ
Zeeman効果
eB m h
Ez ＝ 2m
e
磁気量子数
l,l-1,･･･,0,1,･･･,-l
Stern-Gerlachの実験（1921）
S
2l+1
m=
l
l-1
：
-(l-1)
-l
磁束密度
勾配
47Ag
N
炉
ス
リ
ッ
ト
磁石
V＝－μzB
Fz＝－ ∂V
∂z
Stern-Gerlachの実験
＝μz ∂B
∂z
ス
ク
リ
ー
ン
量
子
化
な
し
軌
道
角
運
動
量
の
み
電
子
の
ス
ピ
ン
を
含
む
電子のスピン
ナトリウムD線 （11Na）
1s22s22p63s1→ 1s22s22p63p1
電子（-(Z-1)e）
+Ze
3p状態
-e
水素様原子
励起状態：1s22s22p63p1
角運動量l=1→状態数3
588.995nm
589.592nm
3s状態
電子は固有の角運動量
をもっている
外部磁場がない→lは縮退
（Uhlenbeck & Goudsmit
２つのエネルギー状態を観測
、1925年、仮説）
スピン（spin）
→別の角運動量s
s= 1
2s+1=2
2
合成角運動量：j=l+s
電子のスピン
スピン（spin）； s = (sx,sy,sz)
：角運動量の性質を満たす
＾s2χs,ms（σ）= s(s+1) h2χs,ms （σ）
＾szχs,ms （σ） = ms h χs,ms （σ）
s = 1/2
ms = -1/2, 1/2
電子の磁気能率（磁気モーメント）
-e
＾s
μe ＝2
2me
eB (L + 2s＾ )
Hz ＝
z
z
2me
磁場中の原子
HB=H+HZ
電子のスピン
縮退が解ける
エネルギー：主量子数n、方位量子数l、
磁気量子数m、スピンsに依存
水素原子の固有関数
Ψn,l,m,s,ms(r,θ,φ,σ) = Rn,l(r)Ylm(θ,φ) χs,ms（σ）
n = 1, 2, 3, …
：主量子数
l = 0, 1, 2, …, n-1
：方位量子数
m = -l, -l+1, …., 0, 1, …, l ：磁気量子数
n l
1 0
2 0
1
3 0
1
2
4 0
・
m
0
0
-1,0,1
0
-1,0,1
-2,-1,0,1,2
0
・
水素原子の固有関数
spin
状態名 状態数 縮退数
2
up/down 1s
2
// //
2s
2
8
// //
2p
6
// //
3s
2
18
// //
3p
6
// //
3d
10
// //
4s
2
// //
・
・
核磁気共鳴（NMR=Nuclear Magnetic Resonannce）
陽子の磁気能率
eh
μN ＝
2mp
μp＝gμN
内部構造のないスピン1/2の粒子ならば g＝2
測定ではg=2.792847337±0.000000029 ：陽子の内部構造が原因
磁場B
周りの原子から受ける磁場ΔB
V＝－μp ( B+ ΔB)
COOH
R=13C OH
B+ ΔB
B=0
B
l=1
n=2
n=1
核磁気共鳴
l=0 hν
l=0
ΔE=h（ν’-ν）
ケミカルシフト
hν’ ；化合物に
よって異なる
同種粒子の交換対称性
1
1 or 2
1 or 2
1
2
2
1 2
1
2
古典粒子
量子論的
＊軌跡は確率的
＊衝突後の粒子は区別がつかない
同種粒子の交換対称性
2粒子の波動関数
相互作用がない場合
z
r1
r2
y
＾ =
H
1
h 2
2m ∇1 + V(r1)
＾ =
H
2
h 2
2m ∇2 + V(r2)
＾ =H
＾ +H
＾
H
1
2
＾HΨ(r ,r ) = EΨ(r ,r )
1 2
1 2
x
＾H ψ (r ) = ε ψ (r )
1 α
1
α α
1
＾H ψ (r ) = ε ψ (r )
2 β
2
β β
2
同種粒子の交換対称性
Ψ(r1,r2) = ψα (r1) ψβ (r2)
E = εα + εβ
Ψ(r1,r2) = ψα (r1) ψβ (r2)
粒子の交換
Ψ’(r1,r2) = ψα (r2) ψβ (r1)
＾HΨ’(r ,r ) = EΨ’(r ,r )
1 2
1 2
Ψ(r1,r2) = c1ψα (r1) ψβ (r2) ＋ c2ψα (r2) ψβ (r1)
＾HΨ(r ,r ) = EΨ(r ,r )
の解
1
2
1
も
2
規格化： ∫|Ψ(r1,r2) |2dτ = 1
|c1|2 + |c2|2 = 1
交換演算子；P
PΨ(r1,r2) = Ψ’(r1,r2) = ψα (r2) ψβ (r1)
P2Ψ(r1,r2) = PΨ’(r1,r2) = ψα (r1) ψβ (r2) = Ψ(r1,r2)
P2 = 1
∴ P = ±1 ；Pの固有値
同種2粒子系の固有関数
Ψ(r1,r2) = 1
同種粒子の交換対称性
√2
ψα (r1) ψβ (r2) ± ψα (r2) ψβ (r1)
Fermi-Dirac統計
Bose-Einstein統計
粒子の交換に対して
波動関数が対称
粒子の交換に対して
波動関数が反対称
スピンが整数
（s=1,2,・・・）
スピンが半整数
（s=1/2,3/2,・・・）
PΨ(r1,r2 ,・・・,rn)
= Ψ (r1,r2 ,・・・,rn)
光子、中間子
ボーズ粒子（Boson）
１つの状態にいくつでも
粒子が入りうる
PΨ(r1,r2 ,・・・,rn)
= －Ψ (r1,r2 ,・・・,rn)
電子、陽子、中性子
フェルミ粒子（Fermion）
１つの状態には１つの
粒子しか入れない
パウリの排他原理
同種粒子の交換対称性
2個のFermion
Ψ(r1,r2) = 1
√2
ψα (r1) ψβ (r2) － ψα (r2) ψβ (r1)
α＝βならば、 Ψ(r1,r2) = 0
Ψ(r1,r2 ,r3) = ψα (r1) ψβ (r2) ψγ (r3)
パリティー
（偶奇性）
1
Ψ(r1,r2 ,r3) = ψα (r1) ψβ (r3) ψγ (r2)
P = (-1)1 = -1
Ψ(r1,r2 ,r3) = ψα (r2) ψβ (r1) ψγ (r3)
P = (-1)1 = -1
Ψ(r1,r2 ,r3) = ψα (r2) ψβ (r3) ψγ (r1)
P = (-1)2 = 1
Ψ(r1,r2 ,r3) = ψα (r3) ψβ (r1) ψγ (r2)
P = (-1)2 = 1
Ψ(r1,r2 ,r3) = ψα (r3) ψβ (r2) ψγ (r1)
P = (-1)1 = -1
3個のFermion
同種粒子の交換対称性
Ψ(r1,r2 ,r3) =
1
√3!
ψα (r1) ψβ (r2) ψγ (r3)
- ψα (r1) ψβ (r3) ψγ (r2)
- ψα (r2) ψβ (r1) ψγ (r3)
+ ψα (r2) ψβ (r3) ψγ (r1)
+ ψα (r3) ψβ (r1) ψγ (r2)
- ψα (r3) ψβ (r2) ψγ (r1)
ψα(r1) ψα(r2) ψα(r3)
ψβ(r1) ψβ(r2) ψβ(r3)
ψγ(r1) ψγ(r2) ψγ(r3)
同種粒子の交換対称性
行列式
Slater行列式
Ψ(r1,r2 ,･･･,rZ) =
1
√Z!
ψα(r1) ψα(r2)
・ ・ ψα(rZ)
ψβ(r1) ψβ(r2)
・ ・ ψβ(rZ)
・
・
・
・
ψζ(r1) ψζ(r2)
・
・
・
・
・
・
・ ・ ψζ(rZ)
状態の等しい行があるとき
（1つの状態に2個の電子があるとしたとき）
Ψ(r1,r2 ,･･･,rZ) = 0
同種粒子の交換対称性
1つの状態に2個の電子は
入らない。
Pauliの排他原理
今日の用語
角運動量、交換関係、磁気双極子、磁気双極子モーメント、
円電流、軌道角運動量、磁気モーメント、ゼーマン効果、
ゼーマンエネルギー、磁気量子数、Stern-Gerlachの実験、
電子のスピン、ナトリウムD線、合成角運動量、主量子数、
方位量子数、スピン量子数、縮退数、核磁気共鳴、
陽子の磁気能率、ケミカルシフト、交換対称性、交換演算子、
Bose-Einstein統計、Fermi-Dirac統計、ボーズ粒子、フェルミ粒子、
パウリの排他原理、Slater行列
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