Transcript 偶然的現象

放送大学大阪学習センター
勉強会
２０１０年５月
 自然現象・社会現象の２つのタイプ




決定論的現象
天体の運動のように未来が現在により決
まっている現象
偶然的現象
偶然的な要素が加わり、未来の予測が不可
能な現象
偶然的現象を分析の対象とした歴史
賭け、 保険・年金、 天文・測地
関連する数学の発展
 天体の運動



多くの古代文明で天体の運動の規則性が
知られており、それにより暦が作られた。
1687年：ニュートンは
「プリンキピア」
により力学の法則を提唱した。
微分・積分の発見、微分方程式
多くの自然現象は決定論的であり、物理・
化学の理論として現在の自然科学の基礎に
なっている。
1654年：
パスカルとフェルマーの賭けに関する往復書簡
A,Bがそれぞれ100円の元手を基に硬貨投げをし、
表が出ればAが1点、裏が出ればBが１点獲得する
ゲームを繰り返し、最初に10点を取った方が賭け
金の200円を受け取るとする。Aが5点、Bが3点を
取った段階でゲームを中止した場合、賭け金200
円のうちAはいくらもらえるか。
Aが勝つ確率 = 0.73 ⇒ ￥200ⅹ0.73=￥146
5
6
7
8
9
10
11
1
1
1
1
1
1
1

5

15

35

70

126

210
 
 
 
 
 
 
 
2
2
2
2
2
2
 
 
 
 
 
 
 2







損害保険：
ギリシャ時代に海上保険が始まる。
１４世紀にはイタリアを中心にした地中海
交易
1666年のロンドンの大火より火災保険
生命保険・年金：
１７世紀にイギリスの牧師が葬式代を生前
にお金を出して工面しあった。若い牧師に
不満
ハレーが生命表を作成し、年齢による死亡
率をだし、保険料を合理的に計算する方法
を発案 ⇒ 生命保険の始まり１８世紀
 生命保険において年齢別の死亡率が保険料決
定に有効な背景
人口が大きなグループでは年齢により年間に
死亡する人数はほぼ一定であるという経験則
＝ 大数の法則
ヤコブ・ベルヌーイ(1654-1705)
1714年出版の「推測の技法」の中でこの大
数の法則を証明

4
 0.78540
円の内部の点の個数 8

 0.8
全体の点の個数
10
円の内部の点の個数 15
  0.75
全体の点の個数
20
円の内部の点の個数 23
  0.767
全体の点の個数
30

気体運動論（マックスウェル）
天文学的な個数の分子の運動と
大きなグループの平均余命は原理的には
同じ大数の法則に従っている。
温度、圧力、体積、全質量
統計物理学の発展
 天体観測などで惑星の軌道を計算する場合の
測定には誤差が付きまとうので何が正確な値
かを知る必要がある。
 ボーデの法則
n1
3 2
 4　(n  1,2,)
 1801年に小惑星のセレス(n=4)が発見されるが、
太陽に隠されて見失う。正確な軌道を知る必
要が生じた。ガウスの登場
 ド・モアブル(1667-1754)
1733年「偶然の教義」（第３版）
大数の法則での誤差について厳密な考察

ラプラス(1749-1827)
正規分布の発見、ド・モアブルの結果を完全
にする

ガウス(1777-1855)
観測誤差の理論、最小２乗法の提案
正規分布の別の視点からの導出＝ガウス分布
1922年： ブラウン運動の構成
ウィーナーはすべての点で微分不可能なブラ
ウン運動を数学的に構成した。

1933年: 公理論的確率論の成立
1902年のルベーグによる新しい積分論を基礎
にコルモゴロフにより近代的な確率論が確立
され、これにより確率論は数学の１部門にな
る。

1942年： 確率微分方程式の理論成立
伊藤清博士により偶然現象におけるニュート
ンの理論が構築された。ブラウン運動に基礎
