Transcript （出所）東京都水道局HP

4．公共財 2
4.0 水と公共財
4.1 公共財の限界費用と供給曲線
4.2 公共財の限界便益と需要曲線
4.3 公共財の需要・供給曲線とサミュエルソン条件
4.4 公共財の需要・供給関数に関する計算問題
4.0 水と公共財
4.0 水と公共財
＜おとめ山公園＞
おとめ（御留）山という
のは江戸時代にお役
人の許可がないと入れ
ない山を意味していた。
＜おとめ（御留）山公園＞
（出所）
東京都HP：「東
京の名湧水５７
選」一覧表
＜等々力渓谷公園 ＞
＜ゴルフ橋＞
＜谷沢川＞
＜等々力不動尊 ＞
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＜玉川上水＞
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＜玉川上水＞
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＜玉川上水＞
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＜明大橋＞
＜昭和初期の明治大学（当時予科）和泉校舎脇を流れる玉川上水＞
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＜品川用水取水口跡＞
＜境浄水場＞
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＜玉川上水＞
（小金井公園近辺）
＜多摩湖（村山貯水池）＞
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4.1 公共財の限界費用と供給曲線
C ＝私的財
G ＝公共財
C  f (G) ：生産可能性曲線
MRT 0 ＝公共財の（私的財で測った）限界費用
0
0
＝生産点 (G , C ) における限界変形率
（問題 4-1）生産可能性曲線 C 
f (G) 上の生産点 (G 0 , C 0 ) における
0
0
限界変形率 MRT 0 が MRT   f (G ) と求められること
を示しなさい。
C
C  f (G)
C0
G0
G
C
C  f (G)
C0
MRT 0   f (G 0 )
f (G 0 )
MRT0
G0
G
p ＝公共財の価格 （私的財の価格＝1）
＝政府が供給者に支払う公共財の価格
仮定：生産のための費用はゼロであるとする。
そのとき、利潤  は
 C  pG
である。
(4-1)
（問題 4-2）等利潤線 
 C  p  G を図示しなさい。また、その
C 軸との切片の値と傾きを図に記入しなさい。
C

C  pG 
p
G
（問題 4-3） C 
f (G) 上の生産点 (G 0 , C 0 ) における限界変形率 MRT 0 と
0
0
価格 p が異なっているときは、生産点 (G , C ) のときの利潤よ
りも大きな利潤を生み出す生産点が存在することを示しなさい。
C
C  f (G)
C0
G0
G
C
0
C
C  f (G)
C  pG  0
0
p
G0
MRT0
G
問題 4-3
⇒
p のもとで、 (G s , C s ) において利潤が最大化されている
s
⇔「 MRT ＝ p 」
（＊）
所与の
『（＊） ＆ 問題 4-1』
⇒
p  MRT s   f (G s )
C s  f (G s )
(4-2)
（問題 4-4）公共財の供給量 G s と私的財の供給量 C s を図示しなさい。
C
s
C  f (G)
C  pG  s
Cs
Gs
G
s
s
以下では G と C の上付き添え字ｓは省略する。
p s (G)   f (G)
⇒
p  p s (G) [＝限界費用]：公共財の逆供給関数
(4-3)
(4-3)を G について解いた関数
G  G s ( p) ：公共財の供給関数
(4-4)
C s ( p)  f (G s ( p))
⇒
C  C s ( p) ：私的財の供給関数
(4-5)
公共財の価格が
p（ p  ）のときの公共財の供給量 G （ G ）を図示しよう。
また、公共財の供給曲線を図示しよう。
C
C  f (G)
p
p
G
G
p 
G
G  G s ( p) または p  ps (G)
･
p 
p
･
G
G
G
4.2 公共財の限界便益と需要曲線
ui  Ci  vi (G) ：効用関数
MRSi0 ＝消費点 (G 0 , Ci0 ) における限界代替率
＝公共財の（私的財で測った）限界便益
(4-6)
（ 問 題 4-5 ）
G Ci 平 面 に 消 費 点 (G0 , Ci0 ) を 通 る 無 差 別 曲 線
ui0  Ci  vi ( G) を描くとともに、(G0 , Ci0 ) における限界代
替率 MRSi0 が MRSi0  vi(G0 ) と表せることを示しなさい。
Ci
Ci  vi ( G)  ui0
C i0
 vi(G0 )
MRSi0
G0
G
 ( p)  C s ( p)  p  G s ( p) ：利潤関数
wi ＝個人 i の株式保有割合（ w1  w2  1）
「仮定」個人 i の所得は配当だけであるとする。
⇒
wi ( p) ＝個人 i の所得
(4-7)
p i ＝個人 i の租税価格（ i  1, 2 ）
Ci  pi G  wi ( p) ：個人 i の予算制約式
(4-8)
Gid ＝個人 i の効用を最大化する公共財の消費量（＝需要量）
pi  vi( Gid ) [ MRSid ]
vi ( Gid ) ＝公共財の限界便益
(4-9)
 pi G  wi ( p) と無差別曲線
ui  Ci  vi (G) を描くことで、個人 i の公共財に対する需要
量 Gid が(4-9)で求められることを説明しなさい。
Ci
（問題 4-6） G Ci 平面に予算制約線 Ci
Ci  pi G  wi ( p)
(4  9)
pi  vi( G
p )
d
ii
Gid
Ci  vi ( G)  ui
G
以下では Gid の添え字 i と d は省略する。
「
pid (G)  vi( G)
＆
pi  vi( Gid ) 」
⇒
pi  pid (G) ：個人 i の逆需要関数
(4-10)
pid (G) ＝個人 i の公共財の限界便益
(4-10)を
G について解いた関数
G  Gid ( pi ) ：個人 i の需要関数
(4-11)
4.3 公共財の需要・供給曲線とサミュエルソン条件
G* ＝（パレート）効率的な公共財の水準
MRSi* ＝「 G* に対応する限界代替率」
MRT* ＝「 G* に対応する限界変形率」
MRS1*  MRS2*  MRT* ：サミュエルソン条件 (3-5)
(4-9)
＆
d
i
p (G) の定義
vi( Gi* )  MRSi* (4  9)
pid (G)  vi( G)
⇒
MRSi*  vi(G* )  pid (G* )
(4-2)
＆
p s (G) の定義
MRT*   f (G* ) (4  2)
p s (G)   f (G)
⇒
MRT*   f (G* )  p s (G* )
(4-6)の効用関数
ui  Ci  vi ( G) (4  6)
⇒
p1d (G* )  p2d (G* )  p s (G* ) ：サミュエルソン条件 (4-12)
⇔
「各個人の限界便益の和が限界費用と一致すること」
(G* , C1* , C2* ) ＝効率的な資源配分
[1] (4-12) ⇒
[2]
G*
G* ＆ (4-8)
p1d (G* )  p2d (G* )  ps (G* ) (4 12)
Ci  piG  wi ( p) (4  8)
⇒
Ci*  wi ( p* )  pi*G*
p*  p s (G* )
pi*  pid (G* )
(4-12) ⇒
p1*  p2*  p*
(4-13)
*
＜ G を集計需要曲線と供給曲線で求める方法＞
p  p1d (G)  p2d (G) [  p d (G) ]：逆集計需要関数
(4-14)
(4-14)を G について解く。
⇒
G  G d ( p) ：集計需要関数
(4-15)
（問題 4-7）横軸に G 、縦軸に p 、 p1 、 p2 をとった平面に個人１と個人２の
公共財に対する需要曲線を描くとともに、公共財に対する集計需要
曲線を描きなさい。
p , p1 , p2
p  p1d (G)  p2d (G) または　p  pd (G)
p1  p1d (G)
G
p2  p2d (G)
(4-14)
p1d (G* )  p2d (G* )  ps (G* ) (4 12)
⇒
『サミュエルソン条件(4-12) ⇔ p (G )  p (G ) (4-16) 』
d
*
s
*
⇒
*
集計需要曲線と供給曲線の交点より G を求めることができる。
（問題 4-8）問題 4-7 の図に供給曲線を描き加えることで、
効率的な公共財の水準 G* を図示しなさい。
p , p1 , p2
p  p1d (G)  p2d (G) または　p  pd (G)
：集計需要曲線
p  p s (G) ：供給曲線
p1  p1d (G)
G
G*
p d (G* )  p s (G* )
p2  p2d (G)
4.4 公共財の需要・供給関数に関連する計算問題
（問題 4-9）生産可能性曲線が C  
 G2   であるとする（   0,   0 ）。
s
s
このとき、逆供給関数 p  p (G) と供給関数 G  G ( p) を求めな
さい。
dC
 2  G
dG
MRT  2  G
p  2  G  ps (G)
G
p
 Gs ( p)
2
（問題 4-10）個人 i の効用関数が ui  Ci   i  G    であるとき（  i  0,   G ）
、個
2
pi  pid (G) 、 公 共 財 の 逆 集 計 需 要 関 数
p  p d (G) 、集計需要関数 G  G d ( p) を求めなさい。
人 i の公共財に対する逆需要関数
Ci  i  G   2  ui
dCi
 2i  G   
dG
MRSi  2i  G   
pi  2i  G     pid (G)
p  2(1  2 )  G     pd (G)
G
p
   Gd ( p)
2(1  2 )
（ 問 題 4-11 ） 個 人 i の 効 用 関 数 が ui  Ci   i  G    で あ り 、 生 産 可 能 性 曲 線 が
2
C    G2   であるとする。このとき、サミュエルソン条件(4-12)あるいは
*
(4-16)を用いて効率的な公共財の水準 G を求めなさい。


 2(1  2 )  G*    2  G*
(1  2 )  (1  2   )G*
(1   2 )
G 
1  2  
*
4.0 水と公共財
4.1 公共財の限界費用と供給曲線
4.2 公共財の限界便益と需要曲線
4.3 公共財の需要・供給曲線とサミュエルソン条件
4.4 公共財の需要・供給関数に関する計算問題