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整数計画法を用いた
ペグソリティアの解法
ver. 2.1
東京大学
東京大学
清見 礼
松井知己
2
Definitions
ボード: ボード上には穴が有る
〇: 穴
例
配置:
各穴には最大1つのペグ
●：ペグの有る穴
ジャンプ:
●●〇→〇〇●
〇●●→●〇〇
● 〇
●→〇
〇 ●
〇 ●
●→〇
● 〇
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Definitions (jump positions)
ジャンプ位置:
ジャンプが起こる場所
38 種類の縦の
＋ 38 種類の横の
ジャンプ 位置
ジャンプ位置
= 計 76 種類のジャンプ位置
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peg solitaire problem
与えられた問題:
開始配置
終了配置
解
ジャンプ列を（あれば）見つける.
存在しない際は ``無い’’と答える.
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previous results
問題の複雑さ
Uehara, Iwata (1990):
ペグソリティア問題はNP-完全
解の存在性の必要条件
de Bruijn (1972):
有限体を用いた必要条件
Berlekamp, Conway, Guy (1982):(Winning Ways)
パゴダ関数を用いた必要条件
(線形不等式系を用いたもの)
Avis, Deza (1996):
solitaire cone (多面体的アプローチ)
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our results
イギリス盤のペグソリティア問題を解く
解法の提案を行う.
主なアイデア:
通常の深さ優先探索
＋
探索空間の削減
整数計画法を用いる
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upper bound
整数計画法を用いて，各ジャンプ位置での
ジャンプ回数の上限を求める.
開始
∀解, この位置でのジャンプの回数
（ジャンプ回数） ≦1
右辺項 の値は きつい 上界
終了
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notations
n: 穴の数
イギリス盤: n=33
1 2 3
4 5 6
7 ･ ･
･ ･ 27
28 29 30
31 32 33
配置ベクトル: n-次元 0‐1ベクトル
ペグがあるとき1としたもの
0
1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
1: ペグ有り
1
0: ペグ無し
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0
0
0
1
1
1
0
1
･
･
･
0
∈{0,1}33
9
jump vector
0
1
0
0
1
0
1
0
0
ー
0
0
0
1
0
0
0
0
0
ー
1
0
0
1
0
-1 ジャンプベクトル 1
-1
0
＝
0
0
0
0
0
0
0
0
1
ジャンプ = ジャンプベクトルを引く
(ジャンプベクトルは2個の 1 と1個の -1)
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jump matrix
穴の位置
ジャンプ行列: (穴の位置)×(ジャンプ位置)
ジャンプ位置
1 ‐1 ‥‥‥ ‐1 0
1 1 ‥‥‥ 0 0
A ＝ -1 1 ‥‥‥ 1 1
0 0 ‥‥‥ 1 ‐1
0 0 ‥‥‥ 0 1
配置 p → 配置 p’
ジャンプ位置jでのジャンプ
⇔ p’=p - A uj (uj ：第j 単位ベクトル)
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jump matrix and peg solitaire problem
A: ジャンプ行列 (ボードで定義される)
ps: 開始配置の配置ベクトル.
pf: 終了配置の配置ベクトル.
与えられたペグソリティア問題が解を持つなら,
∃x=(x1,x2,...,xm)Ｔ：
(1) ジャンプ位置でインデックスされた
整数ベクトル
(2) ps
- Ax = pf
xj : ジャンプ位置 j でのジャンプ回数
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integer programming
IPj: max.
xj
sub. to ps - Ax = pf , x≧0,
x=(x1,x2,...,xm)Ｔ は整数ベクトル.
(1) IPjs が許容解を持たない
⇒ ペグソリティア問題は解を持たない
(2) (位置jでのジャンプ回数 )≦（ IPjの最適値)
IPj の最適値は，ジャンプ位置jでの
ジャンプ回数の上限.
提案する解法では，
各ジャンプ位置jに対し問題IPjを解く.
ジャンプ位置76, 変数76, 制約式33
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example of upper bounds
問題例:
76 問の整数計画を解く:
得られた上界:
0
1
2
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example of infeasible peg solitaire problem
問題例:
76 問の整数計画:
IPj は実行不能
⇒ ペグソリティア問題は解を持たない
計算機実験によると，
このチェック法は非常に強力.
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pagoda function approach
Berlekamp, Conway, Guy (1982):(Winning Ways)
パゴダ関数存在 ⇔∃y, yＴA≧0, yＴ(ps - pf ）＜0
⇒ ペグソリティアも問題は解を持たない
Farkas の補題
(1) と (2) のどちらかちょうど一方が成り立つ
(1) ∃y, yＴA≧0, yＴ(ps - pf ）＜0,
(2) ∃x, ps - Ax = pf , x≧0.
IPj: max｛xj | ps - Ax = pf , x≧0, x∈Zn ｝
IPjによる解の非存在性判定はパゴダ関数に
よる判定より強い．
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example of infeasible peg solitaire problems (2)
問題例:
解無し!
76 問の整数計画は解を持つ
得られた上界
0
1
2
IP は実行不能 ⇒ ペグソリティアは解無し
IP は実行不能 ペグソリティアは解無し
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algorithm
イギリス盤のペグソリティア問題を解く
解法の提案を行う.
主なアイデア:
通常の深さ優先探索
＋
探索空間の削減
整数計画法を用いる
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game tree
問題例:
ゲーム木:
スタート配置からの
全ての可能なジャンプ.
点: 配置
根: 開始配置.
子=親+ジャンプ
終了配置.
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search of game tree
ゲーム木上の
深さ優先探索
開始配置
終了配置
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DFS+UB
ジャンプ
深さ優先探索
＋上界
ジャンプ数
上界
開始配置
2
0
1 1
1
2
1
0
1
1
0
0
0
1 1
終了配置
1
1
0
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DFS+UB
開始配置
深さ優先探索
＋上界
2
0
1 1
探索範囲の削減
1
2
1
0
1
1
0
0
0
1 1
終了配置
1
1
0
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hash table
同じ配置の探索を2度以上しないために,
ハッシュを用いる.
ハッシュサイズ: 2,000,000
ハッシュ：1回出現した配置を全て覚えておく．
計算効率が大幅にアップした．
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search method
前向き探索: 通常の深さ優先探索
前向き-後ろ向き探索:
終了配置
半分の高さの
逆ゲーム木
ハッシュ
に記憶
半分の高さの
ゲーム木
開始配置
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computational experience
MMX Pentium 233MHz with 64MB memory
問題 (i)
76 IPs: 9.1 sec.
前向き探索: 37 min.
前-後向き探索:1.4 sec.
問題 (ii)
76 IPs: 122 sec.
前向き探索: 3.0 sec.
前-後向き探索: hash overflow
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END
26
27
28
29
30