Transcript フィードバック系の安定性

第 6 章 ：フィードバック制御系の安定性
6.1 フィードバック系の内部安定性
6.2 ナイキストの安定定理
キーワード ：
極零点消去, ナイキストの安定定理
学習目標 ： ナイキストの安定定理を理解し，フィードバック
制御系の安定性を判定できるようになる．
1
6.1 フィードバック系の内部安定性
P(s) ：厳密にプロパー（ P()  0 ）
分母の次数が分子の次数より大きい
K (s) ：プロパー（ | K () |  ）
［ 例 6.1 ］ 不安定な極零点消去
d
R 

U
K (s)


P(s)
Y
図 6.1 フィードバック制御系
s 1
1
1
P(s) 
, K (s) 
 1
s 1
s
s
1 s 1 1
P(s)K (s) 


s 1 s
s
d  0 のとき
1
1
P(s)K (s)
s
 R(s)
Y (s) 
 R(s) 
 R(s) 
1
s 1
1 P(s)K (s)
1
s
安定？
2
Y (s)
1
P(s) 

U (s) s 1
 (s 1)Y (s)  U (s)
y (t )  y(t )  u(t )
2
y (t )
1.5
初期値 y0 を考慮
初期値 y0  0.01
1
0.5
初期値 y0  0
(syY(s)  y0 )  Y (s)  U (s)
0
0 1 2 3 4 5 6
1
1
t
Y (s) 
U (s) 
y0
s 1
s 1
図 6.2 ステップ応答例
s 1
U (s)  K (s)(R(s)  Y (s)), K (s) 
より
s
1 s 1
1
Y (s) 

(R(s)  Y (s)) 
y0
s 1 s
s 1
s
(s 1)Y (s)  R(s) 
y0
s 1
1
s
Y (s) 
R(s) 
y0
s 1
(s 1)(s 1)
不安定
3
［ 例 6.1 ］
P(s) 
N P ( s)
DP (s)
N K ( s)
K ( s) 
DK (s)
 (s) : DP (s)DK (s)  NP (s) NK (s)
1
P(s) 
s 1
s 1
K ( s) 
s
 (s)  (s 1)  s 1 (s 1)  (s 1)(s 1)  0
不安定
P(s) K (s)
s 1
Gyr (s) 

1  P(s) K (s) (s 1)(s  1)
不安定な極零点消去が生じている
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［ 結果 1 ］
P(s) と K(s) の間に不安定な極零相殺が存在するとき，
フィードバック制御系は内部安定ではない．
［ 結果 2 ］
P(s) と K(s) の間に不安定な極零相殺が存在しないとき，
以下の三つは等価である
（a） フィードバック制御系が内部安定
（b） G(s) が安定
P(s)K (s)
G(s) 
1 P(s)K (s)
（c） 1 P(s)K (s) の零点がすべて安定
5
6.2 ナイキストの安定判別法
フィードバック系の内部安定性

特性多項式  (s)  0 の根を求める
因数分解などにより，直接計算する
実際的でない
ラウスやフルビッツの安定条件を適用する
高次系では手間がかかる
開ループ伝達関数の周波数応答に
基づき図的に判別する
6
ナイキストの安定判別法
［1］ 目的
{ p1, p2 ,, pn }：開ループ系 P(s)K (s) の極
{r1, r2 ,, rn }：閉ループ系G(s)の極
N P (s) N K (s) DP (s) DK (s)  N P (s) N K (s)


1 P(s)K (s)  1 
DP (s) DK (s)
DP (s) DK (s)
（閉ループ系の極）
(s  r1 )(s  r2 )(s  rn )


（開ループ系の極）
(s  p1 )(s  p2 )(s  pn )
P  （ { p1, p2 ,, pn} の中で）開ループ系の不安定極の数
知っている．簡単に計算できる．
Z  （ {r1, r2 ,, rn} の中で）閉ループ系の不安定極の数
知りたい．計算が難しい．
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［2］ 方法
閉曲線 C （このなかにすべての不安定な極がある）
P  閉曲線 C
Z
閉曲線
の内部にある開ループ系の極の数
C の内部にある閉ループ系の極の数
Im
a
C
半径 R  
b Re
O
c
図 6.3（a） 右半平面全体を囲む閉曲線 C
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写像 F (s)  1  P(s)K (s)
複素数 s を決めると，対応
する複素数 w が定まる．
s ：（閉曲線 C に沿って）
O  a  b  c  O と時計方向に 1 回転
このとき，対応するF (s)が描く軌跡：Γ1
Π  1 が原点を時計方向にまわる回転数
Im
Im
a
C
Γ1 : [1  P(s)K (s)]sC
Re
b Re
O
O
c
図 6.3 閉曲線 C とその 1 P(s)K (s) による像
Γ1
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Π  Pが成立するか ?
P ：既知
P ：閉曲線 C の内部にある(不安定な)
開ループ系の極の数
Π ：図的に調べる
Π ： Γ1 が原点を反時計方向に
まわる回転数
安定性を知ることができる
Im C
a
  P ならば安定
Im
Re
b Re
O
  P ならば不安定
Γ1
O
c
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［3］ ベクトル軌跡の利用
G (s)  P(s)K (s)
右に 1 だけ移動
F (s)  1 P(s)K (s)
Γ1
Γ ：ナイキスト軌跡
Γ1 が原点を
Π 回まわる
Γ が点 (1,0) を
Π 回まわる
Im
Γ : [P(s)K (s)]sC
1
Im
Γ1 : [1  P(s)K (s)]sC
Re
O
Re
O
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s:
• C 上を O  a と動くとき，ベクトル軌跡
P( j)K ( j) (   ~ )に一致する
• 半径

の円周上を動くとき P()K ()  0
• C 上を c  O と動くとき，ベクトル軌跡と
実軸に関して対称
Im
a
Im
C
Γ : [P(s)K (s)]sC
半径 R  
b Re
O
c
1
Re
O
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ナイキストの安定判別法
［ステップ 1 ］ 開ループ伝達関数のベクトル軌跡 P( j)K ( j) を，
角周波数   ~ の範囲で描き，ナイキスト軌跡
を得る．
Γ
［ステップ 2 ］ 開ループ伝達関数 P(s)K (s) の極の中で実部が正で
あるもの(つまり, 不安定極)の個数を調べ，これを P
とする．
［ステップ 3 ］ ナイキスト軌跡 Γ が点 (1,0)のまわりを反時計方向に
まわる回数を調べ，これを Π とする．
［ステップ 4 ］ Π  P ならばフィードバック制御系は安定，
Π  P ならばフィードバック制御系は不安定である．
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ナイキスト軌跡が点 (1,0) のまわりを反時計方向に
まわる回数が, 開ループ伝達関数の不安定極の個数
に等しいならば，制御系は安定である．
ナイキストの安定判別法の利点
• ループを閉じる前の開ループ伝達関数の周波数 応答によって，
図的に制御系（閉ループ系）の安定性 を判別できる
• 計算の必要がなく，次数の高い系やむだ時間系にも容易に
適用できる
• 実測データに基づいて判定できる
• 直感的に分かりやすく，さらに安定余裕も調べられる
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［ 例 6.2 ］
30
G (s)  P(s)K (s) 
(s 1)(s  2)(s  3)
［ステップ 1 ］
Im
1
  
O   
  0
Re
  0
［ステップ 2 ］
P0
G (s) :不安定極０個
［ステップ 3 ］
Π 0
ナイキスト線図が(-1, 0)を回る回数０個
［ステップ 4 ］
ΠP
制御系は安定
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［ 例 6.3 ］ （不安定系の場合）
K
G (s) 
s 1
［ステップ 1 ］
3
K  2,
4
（a） K  2
3
（b） K 
4
Im
  0 1
  0
  
Re
O   
Im
  0
1
  0
  
O
Re
  
［ステップ 2 ］ P 1 G (s) :不安定極１個 P 1 G (s):不安定極１個
［ステップ 3 ］ Π  1
［ステップ 4 ］ Π  P
回転数１回
安定
Π 0
回転数０回
ΠP
不安定
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