フィードバック系の安定性
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Transcript フィードバック系の安定性
第 6 章 :フィードバック制御系の安定性
6.1 フィードバック系の内部安定性
6.2 ナイキストの安定定理
キーワード :
極零点消去, ナイキストの安定定理
学習目標 : ナイキストの安定定理を理解し,フィードバック
制御系の安定性を判定できるようになる.
1
6.1 フィードバック系の内部安定性
P(s) :厳密にプロパー( P() 0 )
分母の次数が分子の次数より大きい
K (s) :プロパー( | K () | )
[ 例 6.1 ] 不安定な極零点消去
d
R
U
K (s)
P(s)
Y
図 6.1 フィードバック制御系
s 1
1
1
P(s)
, K (s)
1
s 1
s
s
1 s 1 1
P(s)K (s)
s 1 s
s
d 0 のとき
1
1
P(s)K (s)
s
R(s)
Y (s)
R(s)
R(s)
1
s 1
1 P(s)K (s)
1
s
安定?
2
Y (s)
1
P(s)
U (s) s 1
(s 1)Y (s) U (s)
y (t ) y(t ) u(t )
2
y (t )
1.5
初期値 y0 を考慮
初期値 y0 0.01
1
0.5
初期値 y0 0
(syY(s) y0 ) Y (s) U (s)
0
0 1 2 3 4 5 6
1
1
t
Y (s)
U (s)
y0
s 1
s 1
図 6.2 ステップ応答例
s 1
U (s) K (s)(R(s) Y (s)), K (s)
より
s
1 s 1
1
Y (s)
(R(s) Y (s))
y0
s 1 s
s 1
s
(s 1)Y (s) R(s)
y0
s 1
1
s
Y (s)
R(s)
y0
s 1
(s 1)(s 1)
不安定
3
[ 例 6.1 ]
P(s)
N P ( s)
DP (s)
N K ( s)
K ( s)
DK (s)
(s) : DP (s)DK (s) NP (s) NK (s)
1
P(s)
s 1
s 1
K ( s)
s
(s) (s 1) s 1 (s 1) (s 1)(s 1) 0
不安定
P(s) K (s)
s 1
Gyr (s)
1 P(s) K (s) (s 1)(s 1)
不安定な極零点消去が生じている
4
[ 結果 1 ]
P(s) と K(s) の間に不安定な極零相殺が存在するとき,
フィードバック制御系は内部安定ではない.
[ 結果 2 ]
P(s) と K(s) の間に不安定な極零相殺が存在しないとき,
以下の三つは等価である
(a) フィードバック制御系が内部安定
(b) G(s) が安定
P(s)K (s)
G(s)
1 P(s)K (s)
(c) 1 P(s)K (s) の零点がすべて安定
5
6.2 ナイキストの安定判別法
フィードバック系の内部安定性
特性多項式 (s) 0 の根を求める
因数分解などにより,直接計算する
実際的でない
ラウスやフルビッツの安定条件を適用する
高次系では手間がかかる
開ループ伝達関数の周波数応答に
基づき図的に判別する
6
ナイキストの安定判別法
[1] 目的
{ p1, p2 ,, pn }:開ループ系 P(s)K (s) の極
{r1, r2 ,, rn }:閉ループ系G(s)の極
N P (s) N K (s) DP (s) DK (s) N P (s) N K (s)
1 P(s)K (s) 1
DP (s) DK (s)
DP (s) DK (s)
(閉ループ系の極)
(s r1 )(s r2 )(s rn )
(開ループ系の極)
(s p1 )(s p2 )(s pn )
P ( { p1, p2 ,, pn} の中で)開ループ系の不安定極の数
知っている.簡単に計算できる.
Z ( {r1, r2 ,, rn} の中で)閉ループ系の不安定極の数
知りたい.計算が難しい.
7
[2] 方法
閉曲線 C (このなかにすべての不安定な極がある)
P 閉曲線 C
Z
閉曲線
の内部にある開ループ系の極の数
C の内部にある閉ループ系の極の数
Im
a
C
半径 R
b Re
O
c
図 6.3(a) 右半平面全体を囲む閉曲線 C
8
写像 F (s) 1 P(s)K (s)
複素数 s を決めると,対応
する複素数 w が定まる.
s :(閉曲線 C に沿って)
O a b c O と時計方向に 1 回転
このとき,対応するF (s)が描く軌跡:Γ1
Π 1 が原点を時計方向にまわる回転数
Im
Im
a
C
Γ1 : [1 P(s)K (s)]sC
Re
b Re
O
O
c
図 6.3 閉曲線 C とその 1 P(s)K (s) による像
Γ1
9
Π Pが成立するか ?
P :既知
P :閉曲線 C の内部にある(不安定な)
開ループ系の極の数
Π :図的に調べる
Π : Γ1 が原点を反時計方向に
まわる回転数
安定性を知ることができる
Im C
a
P ならば安定
Im
Re
b Re
O
P ならば不安定
Γ1
O
c
10
[3] ベクトル軌跡の利用
G (s) P(s)K (s)
右に 1 だけ移動
F (s) 1 P(s)K (s)
Γ1
Γ :ナイキスト軌跡
Γ1 が原点を
Π 回まわる
Γ が点 (1,0) を
Π 回まわる
Im
Γ : [P(s)K (s)]sC
1
Im
Γ1 : [1 P(s)K (s)]sC
Re
O
Re
O
11
s:
• C 上を O a と動くとき,ベクトル軌跡
P( j)K ( j) ( ~ )に一致する
• 半径
の円周上を動くとき P()K () 0
• C 上を c O と動くとき,ベクトル軌跡と
実軸に関して対称
Im
a
Im
C
Γ : [P(s)K (s)]sC
半径 R
b Re
O
c
1
Re
O
12
ナイキストの安定判別法
[ステップ 1 ] 開ループ伝達関数のベクトル軌跡 P( j)K ( j) を,
角周波数 ~ の範囲で描き,ナイキスト軌跡
を得る.
Γ
[ステップ 2 ] 開ループ伝達関数 P(s)K (s) の極の中で実部が正で
あるもの(つまり, 不安定極)の個数を調べ,これを P
とする.
[ステップ 3 ] ナイキスト軌跡 Γ が点 (1,0)のまわりを反時計方向に
まわる回数を調べ,これを Π とする.
[ステップ 4 ] Π P ならばフィードバック制御系は安定,
Π P ならばフィードバック制御系は不安定である.
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ナイキスト軌跡が点 (1,0) のまわりを反時計方向に
まわる回数が, 開ループ伝達関数の不安定極の個数
に等しいならば,制御系は安定である.
ナイキストの安定判別法の利点
• ループを閉じる前の開ループ伝達関数の周波数 応答によって,
図的に制御系(閉ループ系)の安定性 を判別できる
• 計算の必要がなく,次数の高い系やむだ時間系にも容易に
適用できる
• 実測データに基づいて判定できる
• 直感的に分かりやすく,さらに安定余裕も調べられる
14
[ 例 6.2 ]
30
G (s) P(s)K (s)
(s 1)(s 2)(s 3)
[ステップ 1 ]
Im
1
O
0
Re
0
[ステップ 2 ]
P0
G (s) :不安定極0個
[ステップ 3 ]
Π 0
ナイキスト線図が(-1, 0)を回る回数0個
[ステップ 4 ]
ΠP
制御系は安定
15
[ 例 6.3 ] (不安定系の場合)
K
G (s)
s 1
[ステップ 1 ]
3
K 2,
4
(a) K 2
3
(b) K
4
Im
0 1
0
Re
O
Im
0
1
0
O
Re
[ステップ 2 ] P 1 G (s) :不安定極1個 P 1 G (s):不安定極1個
[ステップ 3 ] Π 1
[ステップ 4 ] Π P
回転数1回
安定
Π 0
回転数0回
ΠP
不安定
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