Transcript 論理と推論
論理と推論
命題論理
推論
構文と意味 → 同値関係と標準形(節形式)
決定問題と意味木
推論規則
推論の妥当性:論理的帰結
形式的証明
命題論理体系の健全性と完全性
©2008 Ikuo Tahara
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論理による問題解決
論理式による知識の表現
証明(推論)による解決
知識
結論(答)
(論理式の集合)
推論規則
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論理による問題解決
太郎は花子の父である.
次郎は太郎の父である.
父の父は祖父である.
推論規則
F (Taro, Hanako)
F ( Jiro,Taro)
xyz.[F ( x, y) F ( y, z) G( x, z)]
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wG
. (w, Hanako)
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命題論理:構文
論理式
原子式,論理記号
(p q) r
論理記号
否定(negation)
連言(conjunction)
整式(well-formed formula wff)
選言(disjunction)
含意(implication)
(1)
(2)
(3)
原子式は整式である.
は整式である ⇒ は整式である.
, は整式である
⇒ , , は整式である.
(4) 以上(1),(2),(3) より整式とわかるものだけが整式である.
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命題論理:意味
解釈: 原子式への真(T),偽(F)の割り当て
I () {T, F}
原子式 と解釈 I :
論理記号の意味(真理表)
T T
F
T
T
T
T F
F
F
T
F
F T
T
F
T
T
F F
T
F
F
T
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論理式の解釈
(p q) r
(T T) F
(F T) F
T F
F
p q r
T T F
p
q
r
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
T
T
F
F
T
F
T
T
T
F
T
F
F
F
F
T
F
F
F
F
F
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同値関係
二重否定の法則(law of double negation): ()
べき等律(idempotent law):
相補律(complementary law): F (矛盾律)
T (排中律)
交換律(commutative law):
結合律(associative law): ( ) ( )
( ) ( )
分配律(distributive law): ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
ド・モルガンの法則(De Morgan’s law): ( )
( )
T F F T T F
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標準形
節形式(clausal form)
(連言標準形(conjunctive normal form CNF))
リテラル(literal): 原子式またはその否定形
節(clause): リテラルの選言
節形式: 節の連言
( p q r) (p q) r
リテラル
節
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節形式への変換
(1)含意記号を除去する.
(2)否定記号を原子式の直前に移動する.
()
( )
( )
(3)分配律を適用する.
( ) ( ) ( )
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恒真式と恒偽式
論理式全体
恒真式
充足可能
恒偽式
充足不能
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決定問題
決定問題(decision problem)
所与の論理式が恒真か否かを決定する問題
→ 命題論理式の場合,有限時間で決定可能
意味木(semantic tree)
[ p1 , p2 , , pn ]
p1 T
p1 F
[T, p2 , , pn ] [F, p2 , , pn ]
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意味木
( p ( p q)) q
pT
pF
(T (T q)) q
(T q) q
(F (F q)) q
F q
p
T
q T
qF
T
T
(T
F)
F
(T T) T
F
F T
T T
F
T
T
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q
T
F
T
F
T
T
T
T
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推論
推論(inference, reasoning)
前提(premise)から結論(conclusion)を導くこと
前提① 鳥は卵を産む.
前提① 鳥は卵を産む.
前提② 鶏は鳥である.
前提② 猫は鳥である.
結論
結論
鶏は卵を産む.
前提①
健全(sound)な推論
前提②
結論
QR
P Q
P R
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猫は卵を産む.
妥当(valid)な推論
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推論の形式(推論規則)
肯定式(modus ponendo ponens)
(前提)
否定式(modus tollend tollens)
(前提)
(結論)
(結論)
三段論法(syllogism)
(前提)
(結論)
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推論の妥当性
論理的帰結(logical consequence)
(前提)
{1, ,n }
(結論)
前提 {1 ,2 , ,n } が真となる任意の解釈において
結論 も真となる.
‘
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論理的帰結
{1 ,2 , ,n } ‘
(1 2
n )
((1 2 n ) )
(1 2 n )
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:恒真
:恒偽
:充足不能
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推論規則と恒真式
推論規則
前件肯定規則
前提
結論
恒真式
前件肯定式
(( ) )
対偶法
前提
結論
対偶律
選言除去規則(Dilemma規則)
前提
結論
選言除去式
選言三段論法
前提
結論
選言三段論法式
仮言三段論法
前提
結論
( ) ( )
(( ) ( ) ( ))
(( ) )
推移律
(( ) ( )) ( )
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形式的証明
演繹体系
恒真式の集合
公理系
(A1) ( )
(A2) ( ( )) (( ) ( ))
(A3) ( ) ( )
定理
推論規則
恒真式
(MP) ,
妥当な推論
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証明可能
形式的証明
公理系+推論規則 →
演繹定理
{}
仮説からの演繹
公理+仮説 +推論規則 →
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命題論理体系の性質
公理系の無矛盾性(consistency)
いかなる論理式 についても と が
ともに証明可能となることはない.
健全性(soundness)
‘
完全性(completeness)
‘
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