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次に
円筒座標系の基本ベクトルの
時間微分を求める。
1
時間微分とは
d
dt
例
tで微分する。
differentiate with respect to t
f (t )  at  bt  c
2
df
 2at  b
dt
の時間微分は、
円筒座標系の基本ベクトルの時間微分
前の問題より、
e r  cos  sin 
e   sin 
cos 
0
0
z
0
x
P(x,y,z)
φ r
xy面に投影すると
e z  0 0 1
de r 
  e
問１．両辺を時間で微分して、
dt

d
e

問２ 同様にして
   e rを示せ。
dt
y
er
e
y
er
r
e r , e は方向が時間に依存する。
e r  e x cos   e y sin 
ez
e
φ
x
を示せ。
d

dt

3
e r  e x cos   e y sin 
解答
両辺をtで微分
ex , e y
は時間によらない（一定）。
de r
d
d
 e x cos   e y sin 
dt
dt
dt
df df d において、 f  cos 

とおくと、
dt d dt
・
d (cos ) d (cos ) d

   sin   d

dt
d dt
dt
d (sin ) d (sin ) d ・

  cos 
dt
d dt
合成関数の微分
4
解答続き
元の式に代入すると、


de r
 e x  sin   e y  cos 
dt
  e x sin   e y cos    e 


5
(2)の解答
e   e x sin   e y cos 
de
dt


   e x cos    e y sin 
  e x cos   e y sin     e r


6
円筒座標の基本ベクトルの微分：別解
y
er (t  t )


e r (t )
0
e r (t  t )  e r (t )の方向は、e .
er (t  t )
e r (t )
x
長さは半径１、角度の扇形の弧に
近似的に等しい。
e r (t  t )  e r (t )～e

de r
e r (t  t )  e r (t )

 lim
 lim
e   e

t

0

t

0
dt
t
t
7
復習
ベクトルの表し方
1) 太い文字：
2) 矢印を上につける。
er
er
どちらの方法でもいいですが、ベクトルとわかるように書いて下さい。
時間微分の書き方: 上に点（・）を付けて表すことがある。
d

dt

d 2 d  d 
 2   
dt
dt  dt 

物理では時間微分がたくさん
出てくる。
8
次に
円筒座標系で、
速度ベクトルと加速度ベクトルを
求める。
9
速度と加速度
動径ベクトル r
速度ベクトル
復習パワポ
に対して、
dr
v
dt
加速度ベクトル
2
dv d r
a  2
dt dt
速度の意味：
ある時間に位置がどのくらい変化するか。
加速度の意味：
ある時間に速度ベクトルがどのくらい変化するか。
10
動径ベクトルの補足
復習パワポ
動径ベクトルは、原点から物体がいる点までのベクトル。
半径の方向と長さが
変わっていくイメージ。
物体
動経（動く半径）
と呼んでいる。
記号rを使う理由は、
英語でradius(半径）
のため。
原点
例：野球場でボールの場所を表すのに、
ホームベースを原点にして、ボールまでのベクトルを
動径ベクトルにする。
11
速度ベクトルの補足
復習パワポ
動経ベクトルがどう変化するか。
その瞬間の進む方向
r (t + t ) - r (t )
r (t )
r (t + t )
r (t + t ) - r (t )
v (t ) = lim
t →0
t
記号vを使う理由： velocity(速度）のため。
12
加速度ベクトルの補足
復習パワポ
曲線の場合
v(t + t )
v (t )
v(t + t ) - v(t )
v(t + t )
v(t + t ) - v(t )
a(t ) = lim
t →0
t
曲がる時は内向きの加速度
v (t )
（右折する時は、右向きの加速度）
記号aを使う理由： acceleration （加速）の頭文字。
13
速度と加速度
前の問題より、
e
de r 
  e
dt

de 
  er
dt
y
r
0
問題1：動径ベクトルは、円筒座標系で、
と書けることを説明せよ。
er
φ
x
r  rer  ze z
問題2：速度ベクトル、加速度ベクトルに関して、



v  r e r  r  e  z e z
2
を示せ。


a  ( r  r  )e r   r   2 r  e  z e z




 

14
記号の注意
d

dt
2

d  d  d 
 2   
dt
dt  dt 

 
 d 


      
   dt 
 
2

2
2
15
直角座標の
動径ベクトル
r
radius vector
位置ベクトルとも言う。
r  xe x  ye y  ze z
z
ある原点Ｏからのベクトル。
P(x,y,z)
r
ez
ex
x
復習
O
ey
y
16
直角座標：動径ベクトルの２つの説明
r  xe x  ye y  ze z
説明１
z
r
ez
成分を使う。
右辺=x(1,0,0)+y(0,1,0)+
z(0,0,1)
=(x,y,z) 左辺になる。
P(x,y,z)
ex
x
O
ey
y
説明２
動径ベクトル（赤い矢印）
=黄色の矢印+ 緑の矢印 + 茶色の矢印
= xe x  ye y  ze z
17
解答：円筒座標の動径ベクトルの説明
r  rer  ze z
z
説明1 成分を使う。
P
右辺  re r  ze z
 r (cos  , sin  ,0)  z (0,0,1)
 (r cos  , r sin  , z )
r
0
x
z
y
r
Q
説明２
点Pの動径ベクトルは、
原点Oから点Pまでのベクトル。
r  rer  ze z
18
速度の解答
前の問題より、動径ベクトルは、
r  rer  ze z
速度ベクトルは動径ベクトルの微分
dr 
de r 
v
 r er  r
 z ez
dt
dt


前期の最初の方に
出てきました。

 r e r  r  e  z e z
座標系が動くので、
この項も必要
19
加速度の解答



v  r e r  r  e  z e z

dv  
    
a
 r e r   r   r  e  z e z
dt


 de
 de
 r r  r 
dt
dt

    
 ( r  r  )e r   r   2 r  e  z e z



2
２乗
20
注意
追加



v  r e r  r  e  z e z
第２項の微分に注意。
３つの積の微分
２つの積
３つの積
 fg  
 fgh 
f g  fg 
  fg h  fgh
f gh
21
円筒座標系の加速度がわかったので、
今度は運動方程式を書いてみる。
22
円筒座標系の運動方程式

    
a  ( r  r  )er   r   2 r  e  z e z



前問より
力も円筒座標で書く。
2
F  Fr er  F e  Fz e z
すると運動方程式の円筒座標系での各成分は、
2

m( r  r  )  Fr
この２つの式の意味を
これから考える。


m r   2 r    F




m z  Fz
 
23
円筒座標系の運動方程式からわかること。
r方向の運動方程式

2
m( r  r  )  Fr
左辺第２項を右辺に移すと、

2
m r  mr   Fr
遠心力
（高校の物理では、等速円運動を考えた。）
一般にはrは時間に依存する。
φが時間変化すれば、遠心力がある。
バスに乗っている時、カーブで外側に力を受ける。
洗濯機の脱水で、洗濯物は外側にへばりつく。
24
円筒座標系の運動方程式からわかること(2)
φ方向の運動方程式
    
m r   2 r    F


変形すると、
d  2 
 mr    F r
dt 


mr 2 
は角運動量(のz成分)になっている。
（次のページで詳しく見る）
25
角運動量
運動量
角運動量
p  mv
L  mr  v
(これは復習）
ベクトル積
問題
円筒座標で角運動量を書け。
26
角運動量、解答
L  mr  v
r  (r ,0, z )
r , 0, z , r
に成分を代入する。

 


v   r , r , z 






r , r , z , r



 

2
L  m  r  ze r  ( z r  r z )e  r  e z 



特に平面内の運動（z=0)の時、 L  mr 2  e
z
既に出た円筒座標での

d


2
φ方向の運動方程式は
 mr   
角運動量の時間変化になっている。 dt 

F r
27
まとめ
円筒座標で加速度を求めた。

2
m( r  r  )  Fr

 


m r   2 r    F



m z  Fz
ma  F
運動方程式
遠心力の項
d  2 
 mr    F r
dt 

角運動量と関係する。
問題
特に、平面運動（z=0)、半径が一定（r=a）の場合に、
上記の運動方程式がどうなるか、述べよ。
28

解答：平面運動の場合
2
m( r  r  )  Fr
    
m r   2 r    F



m z  Fz
z=0, r=aを代入。ずっと一定なので、zやrの時間微分はゼロ。
2
 ma   Fr

ma   F
後で使う。
29
ここからは次回の予告
剛体の運動方程式を考える。
30
振り子の問題
ℓ
M
問題１：長さℓの糸の端に質量Mの質点を付けて、振り子にする。
a) 運動方程式は、糸の張力をTとして、
下記のように書けることを示せ。（円筒座標の加速度を使う）
2
 m   mg cos   T ,

m    mg sin 
b) 微小振動(φが小さい）の場合に、角度方向の運動方程式
（aの２つめの式）が以下のようになることを示せ。

g
  

d 
g
 
2
dt

2
または
c) bの運動方程式を解いて、φ(t)を求めよ。
振動の周期Ｔも求めよ。
31
剛体振り子の問題
2ℓ
φ
問題２ 長さ2ℓ、質量Mの一様な棒の端を固定して、振り子にする。
a) 運動方程式が次のようになることを説明せよ。
（角運動量の時間変化＝力のモーメントの式から出発する。）
d 2
I 2   Mg sin 
dt
Iは慣性モーメント。支点（棒の端）のまわり。
b) 微小振動の場合に運動方程式を解き、周期を求めよ。
c) 棒の支点のまわりの慣性モーメントを求めよ。
32
剛体と振り子の比較の問題
問題３ 長さ2ℓ、質量Mの一様な棒の端を固定して、振り子にしたものと、
質量Mのおもりを、糸(長さ2ℓまたはℓ）の先につけた場合を
比べて、微小振動の周期の長い順に並べよ。理由も書くこと。
2ℓ
φ
ℓ
2ℓ
M
M
(1)
(2)
(3)
33