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多変量データ分析B 第6回 第3章：主成分分析 林俊克＆廣野元久「多変量データの活用術」：海文堂 廣野元久 2004.5.26. SFC5限 第3章 主成分分析 Ⅱ 1/39 3.2 三変量による主成分分析 狙い 回転プロットによる表現 座標表現とベクトル表現の理解 総合得点よりも主成分の方がよい総合指標 第3章 主成分分析 Ⅱ 2/39 3.2.1 三変量の総合指標 1/2 扱うデータ：電子部品A 寸法と重量のデータ ‘½•Ï—Ê ‘ŠŠÖ ‚ ‚³ ‰º• d—Ê ‚‚³ 1.0000 0.4946 0.5739 ‰º• 0.4946 1.0000 0.6893 d—Ê 0.5739 0.6893 1.0000 ŽU•z } s —ñ 70 65 60 ‚‚³ 55 3次元のデータをどの方向で みようが本当は分析者の自由 9.5 9 ‰º• 8.5 ‘½•Ï—Ê ‘ŠŠÖ 8 5.5 5.25 5 4.75 4.5 4.25 d—Ê 55 60 65 70 8 8.5 9 9.5 4.25 4.755 5.25 ‚ ‚³ ‰º• d—Ê ‚‚³ 1.0000 0.4946 0.5739 ‰º• 0.4946 1.0000 0.6893 d—Ê 0.5739 0.6893 1.0000 ŽU•z } s—ñ 図3.7 ３変量での散布図行列 70 65 ‚‚³ 散布図行列は立方体の面ごとに見ている状態 60 55 第3章 主成分分析 Ⅱ 9.5 3/39 3.2.1 三変量の総合指標 2/2 高さ，下幅，重量で部品の総合的な大きさ指標を作 ろう 測定単位や性格が異なるので，そのまま和を取れ ない そこで，標準化変量の和を作ろう u1 u2 u3 y 3 高さ ： u1 x1 60.32 3.806 2 2 2 1 1 1 1 3 3 3 下幅： u2 x2 8.62 0.300 重量： u3 x3 4.69 0.298 問題：この合成指標よりも，性質のよい（情報量が最大） 合成変数（線形結合）があるか 第3章 主成分分析 Ⅱ 4/39 3.2.2 三変量の主成分の算出 1/7 テキストでは,最近全然流行らないパワー法で計算し ています． パワー法は計算精度が悪く敬遠されていますが，手計算 （無論電卓は必要）で解けることがうれしい 多くのソフトは，ヤコビ法を使って解いています 0.495 0.574 l11 l11 1 0.495 l l 1 0.689 12 12 0.574 0.689 l l 1 13 13 相関行列 初期値として（1，1，1）を与える 第3章 主成分分析 Ⅱ 5/39 3.2.2 三変量の主成分の算出 2/7 0.495 0.574 1 2.069 1 0.495 1 2.184 1 0.689 0.574 0.689 1 1 2.263 1 0.495 0.574 2.069 0.495 1 0.689 2.184 0.574 0.689 1 2.263 0.495 0.574 0.550 1.182 1 0.495 0.580 1.266 1 0.689 0.574 0.689 0.601 1 1.316 0.495 0.574 0.542 1.178 1 0.495 0.583 1.268 1 0.689 0.574 0.689 1 0.606 1.318 0.550 0.580 2乗和を1に基準化 0.601 代入する 0.543 0.582 0.605 2乗和を1に基準化 0.541 0.583 0.606 2乗和を1に基準化 代入する 第3章 主成分分析 Ⅱ 6/39 3.2.2 三変量の主成分の算出 3/7 固有ベクトルの値が安定したら繰り返し計算を止める 0.495 0.574 0.542 1.178 1 0.495 0.583 1.268 1 0.689 0.574 0.689 1 0.606 1.318 0.541 0.583 0.606 この比がλになる 第1主成分の完成：単純な和（√p=3で割っているが）ではない z1 0.541 u1 0.583 u2 0.606 u3 分散最大化（主成分）は，標準化した等しい重みの係数 を掛けた線形結合ではない． 相関のあり方により値が変わる（この表現は正確ではない） 第3章 主成分分析 Ⅱ 7/39 3.2.2 三変量の主成分の算出 4/7 第2主成分以降をどう求めるか 回帰の残差を求めても，そこには第2＆第3主成分が 混ざっている 第1主成分は1番しぼりだ アイデア 残差の相関係数行列を使い，再びパワー法で解けばよい 回帰残差と回帰で説明できる（第1主成分）部分とは無相関 より，残差には第1主成分の情報はない スペクトル分解の公式を使う（回帰残差を計算するよりも） 0.495 0.574 1l112 1l11l12 1l11l12 1 R* 0.495 1 0.689 1l11l12 1l122 1l12l13 0.574 0.689 1 1l11l12 1l12l13 1l132 0.495 0.574 0.639 0.688 0.715 0.361 0.193 0.141 1 R* 0.495 1 0.689 0.688 0.741 0.770 0.193 0.259 0.081 0.574 0.689 1 0.715 0.770 0.800 0.141 0.081 0.200 第3章 主成分分析 Ⅱ 8/39 3.2.2 三変量の主成分の算出 5/7 0.361 0.193 0.141 0.819 0.429 0.193 0.259 0.081 0.528 0.277 0.141 0.081 0.200 0.225 0.118 第2主成分の完成 0.819 0.528 0.225 この比がλになる z2 0.819 u1 0.528 u2 0.225 u3 最後のしぼり汁 0.361 0.193 0.141 2l212 2l21l22 2l21l22 R* * 0.193 0.259 0.081 2l21l22 2l222 2l22l23 2 0.141 0.081 0.200 l l l l 2 21 22 2 22 23 2l23 0.361 0.193 0.141 0.352 0.227 0.097 0.009 0.034 0.044 0.193 0.259 0.081 0.227 0.146 0.062 0.034 0.113 0.143 0.141 0.081 0.200 0.097 0.062 0.027 0.044 0.143 0.174 第3章 主成分分析 Ⅱ 9/39 3.2.2 三変量の主成分の算出 6/7 0.009 0.034 0.044 0.188 0.056 0.034 0.113 0.143 0.618 0.185 0.044 0.143 0.174 0.764 0.229 第3主成分の完成 0.188 0.618 0.764 この比がλになる z3 0.188 u1 0.618 u2u 0.764 u3 2 0.525 z1 0.541 u1 0.583 u2 0.606 u3 z2 0.819 u1 0.528 u2 0.225 u3 3 0.300 z3 0.188 u1 0.618 u2u 0.764 u3 1 2.18 第3章 主成分分析 Ⅱ 10/39 3.2.2 三変量の主成分の算出 7/7 活用術 3.1：固有ベクトルと因子負荷量の性質 固有ベクトルは，その列方向についても行方向についても２乗和を計算する と 1 になる．因子負荷量については，列方向の２乗和が 1 になるが，行方向の ２乗和は固有値になる．つまり，元の変量と主成分の相関係数の 2 乗和 ―寄与 率― を最大とするものが主成分であるともいえる． 固有ベク ト ル z1 z2 z3 因子負荷量 z1 z2 z3 u1 u2 u3 固有ベク ト ルの2乗 u1 u2 u3 計 0.541 0.583 0.606 z1 0.293 0.340 0.367 =1 0.819 0.528 0.225 z2 0.671 0.279 0.051 =1 0.188 0.618 0.764 z3 0.035 0.382 0.584 - 1 計 1 1 1 u1 u2 u3 因子負荷量の2乗 u1 u2 u3 計 0.798 0.860 0.894 z1 0.637 0.739 0.799 =2.2 0.593 0.382 0.162 z2 0.352 0.146 0.026 =0.5 0.104 0.338 0.418 z3 0.011 0.114 0.175 =0.3 計 1 1 1 第3章 主成分分析 Ⅱ 11/39 3.2.3 回転プロット 1/3 JMPの主成分分析の方法 ①グラフメニューの回転プロットから ②多変量メニューの多変量の相関から 電子部品Aを使い回転プロットを利用しよう 今度は可視化による主成分の探索!！！ 【操作 3.3：回転プロット】 ①“グラフ(G)”メニューから下位コマンドの“回転プロット”をクリックする． ②表示されたウインドウで， “列の選択”から“高さ” ， “下幅” ， “重量”を選択 し， “Y，列”に割り当てる． “OK”ボタンをクリックして，回転プロットを描 画する． ③”ツール(O)“メニューの”手のひらツール“をクリックする． ④ポインタを回転プロット上まで移動すると， ポインタは手のひらの形に変る． これを確認したら， マウスボタンをクリックしながらプロットをつかんで回す． クリックしている間は，軸が手のひらツールの動きに従い回転する． 第3章 主成分分析 Ⅱ 12/39 3.2.3 回転プロット 2/3 回転コントロールボタン 変量リスト 手のひらツールを使う 図3.9 電子部品Ａの回転プロット 第3章 主成分分析 Ⅱ 手の位置を変えると その位置に従って 回転する 13/39 3.2.3 回転プロット 3/3 x x y z z y 図3.8 回転した方向によりプロットの分布の様子が大きく異なる 手のひらツールを使い， ①水平方向（横軸）のばらつきがもっとも大きくなる方向をさがせ． ②逆にばらつきがもっとも小さくなる方向をさがせ. 第3章 主成分分析 Ⅱ 14/39 3.2.4 主成分分析の実行とその解釈 ‰ñ“]ƒvƒ ƒbƒg •ª: ¬ X: ‚‚³ Y: ‰º• Z: d—Ê Žå ¬•ª1 Žå ¬•ª2 Žå ¬•ª3 ‰ñ“]ƒvƒ ƒbƒg 下 幅 y P1 P3 z x ¬•ª: ‚‚³ ‰º• d—Ê X: Žå ¬•ª1 Y: Žå ¬•ª2 Z: Žå ¬•ª3 主y 成 分 ‚‚³ 2 P2 高さ z 主成分1 x —Ê d ‰º• 高さと下幅の散布図での 2つの主成分の空間での 主成分方向の表示 元の変量のベクトル表示 Žå ¬•ª•ª Í Žå ¬•ª•ª Í ŒÅ—L’l 2.1756 Šñ—^—¦ 72.5193 —Ý ÏŠñ—^—¦ 72.5193 ŒÅ—LƒxƒNƒgƒ‹ ‚‚³ 0.54114 ‰º• 0.58301 d—Ê 0.60602 0.5246 0.2999 ŒÅ—L’l 2.1756 Šñ—^—¦ 17.4857 9.9951 72.5193 ÏŠñ—^—¦ 90.0049 100.0000 —Ý 72.5193 ŒÅ—LƒxƒNƒgƒ‹ ‚‚³ 0.81936 0.18924 0.54114 -0.52772 0.61774 ‰º• 0.58301 d —Ê -0.22396 -0.76327 0.60602 0.5246 0.2999 17.4857 9.9951 90.0049 100.0000 0.81936 0.18924 -0.52772 0.61774 -0.22396 -0.76327 図3.10 回転プロットとPCA 見ている方向が違うと座標軸になったり，ベクトルになったりする 15/39 第3章 主成分分析 Ⅱ 3.2.5 バイプロット y 主 成 分 2 y ‚‚³ z x —Ê d ‰º• 主 成 分 2 主成分1 ‚‚³ z —Ê d ‰º• x 主成分1 図3.11 ＧＨバイプロット（左）とＪＫバイプロット（右） 個体と変量を同時に表すグラフをバイプロットという ・GHタイプ：主成分得点を標準化して，因子負荷量を同時プロット ・JKタイプ：主成分得点と固有ベクトルの同時プロット 第3章 主成分分析 Ⅱ 16/39 3.2.6 バリマックス回転 1/6 ˆöŽq‰ñ“] ‰ñ“]ˆöŽq‚̃pƒ^ [ƒ“ ‚‚³ 0.2890107 0.9517011 ‰º• 0.9186951 0.2038968 d—Ê 0.8151875 0.4009748 ‰ñ“] s—ñ 0.80409 -0.59450 ‹¤’Ê « ‚‚³ ‰º• d—Ê JMPでは，主成分を回転することで より軸の性格を明瞭にするために バリマックス回転を行う 0.59450 0.80409 0.98926 0.88557 0.82531 •W €“¾“_ŒW ” ‚‚³ -0.37755 1.12777 ‰º• 0.75100 -0.35089 d—Ê 0.51421 -0.00438 •ªŽU Šñ—^—¦—Ý ÏŠñ—^—¦ 1.5921 53.069 53.069 1.1081 36.936 90.005 図3.12 バリマックス回転後のバイプロット 第3章 主成分分析 Ⅱ 17/39 因子分析 • 因子分析（探索的因子分析） – 目標 • 因子分析と主成分分析の違いについて • 因子分析のコンピュータ出力（ＪＭＰ）を 読み取れる力を身につけよう • 因子分析は数学モデルであることを理解しよう • 因子分析の潜在因子の概念を理解しよう 実際には，主成分分析と因子分析とは違う といった方がよさそうである． 長い間の論争があり，社会科学者は厳密に 両者を分けたがる． 18/39 第3章 主成分分析 Ⅱ 適用例と解析ストーリー データ 試験の成績データ 生徒 国語 x1 英語 x2 数学 x3 理科 x4 1 86 79 67 68 2 71 75 78 84 3 42 43 39 44 4 62 58 98 95 5 96 97 61 63 6 39 33 45 50 7 50 53 64 72 8 78 66 52 47 9 51 44 76 72 10 89 92 93 91 1）潜在因子数の決定 2）因子軸の回転 3）因子得点と 潜在因子の解釈 第3章 主成分分析 Ⅱ 19/39 因子分析とは 1/6 ・因子分析には，様々な方法が提案されている ・主成分解 ・主因子解 ・最尤解 ・アルファ因子解 など この部分はSPSSが優れている 因子分析 ・心理学者のスピアマンが創始者であるとされる ・心理学者のサーストンが多因子モデルを提唱 ・様々な数学的モデルが発展 チャトフィールド＆コリンズら統計学者は批判的 ・現在の展開 →ＳＥＭ（因子分析とパス解析）により真の意味で有用な 道具として認知されている （詳しくは，豊田秀樹 狩野裕の成書を） ・今回は古典的因子分析についての概要を述べる 潜在因子の概念：共通因子 特殊因子により変量を分解 第3章 主成分分析 Ⅱ 20/39 因子分析とは 2/6 1因子モデル 学力と科目特有の能力 e1 社会 e2 国語 e3 英語 e4 e1 理科 e5 数学 e6 音楽 e7 美術 回帰分析を行うが 説明変数は観測されていない という奇妙なもの 特殊因子 観測変数 （観測変数固有の （目的変数） 観測不可能な変数） 第3章 主成分分析 Ⅱ 学力 共通因子 （測定不可能な 説明変数） 21/39 因子分析とは 3/6 多因子モデル：複数の学力指標と科目特有の能力 e1 社会 e2 国語 共通因子1 e3 英語 e4 e1 理科 e5 数学 共通因子2 共通因子3 e6 e7 音楽 美術 ここの双方向線がない ものが直交解，あるのもが斜交解 主成分分析では， ・特殊因子（回帰分析での誤差変数）と共通因子の区別がない ・→の向きが逆（合成か分解か：解釈に大きなズレがある） 22/39 第3章 主成分分析 Ⅱ 因子分析とは 4/6 回転による単純構造化 ・回転にはバリマックス回転などがある ・共通因子を回転することによって，因子と観測変数間に単純 構造を仮定する 2成分 2成分 数学 数学 理科国語 理科国語 英語 英語 社会 社会 個別能力 対立概念 1成分 1成分 （変数分類） 美術 美術 音楽 音楽 主成分分析では 因子の回転により ・1成分は総合力 ・1因子は主要科目学力 ・2成分は芸術対主要科目学力 ・2因子は芸術力 23/39 第3章 主成分分析 Ⅱ 因子分析とは 5/6 バリマックス回転 による単純構造化 e1 社会 e2 国語 e3 変数分類 e4 e1 文系能力 英語 理科 理系能力 e5 数学 e6 音楽 芸術能力 e7 美術 ・各因子の順番は無意味 ・共通因子の意味が重要 ・回転方法により解が異なる ・不適解が存在する -誤差変数の分散が負，共通因子と観測変数との相関が1を超える 24/39 第3章 主成分分析 Ⅱ 因子分析とは 6/6 因子モデルの定式化 zij a j1 fi1 a jk fik a jm fim d j uij 添え字記号について i 1, n(個体数) j 1, , p(観測変数の数) k 1, , m(共通因子数 m<p) 相関係数行列の分解 R A'A D 2 対角要素は 非対角要素はゼロ 対角要素は特殊因子による分散 1ではない 25/39 第3章 主成分分析 Ⅱ 3.2.6 バリマックス回転 2/6 データは，学生の試験を使う ①メニューの＜グラフ＞から＜回転プロット＞をクリック ②ウインドウで＜列の選択＞から“国語”，“英語”，“数学”，“理科” を選択し＜ＯＫ＞ボタンをクリック ③クリックして，メニューの＜白色の背景＞をクリック ƒbƒg ▼ ‰ñ“]ƒvƒ ¬•ª: X: ‘Œê Y: ‰pŒê Z: ” Šw — ‰È Žå ¬•ª1 Žå ¬•ª2 Žå ¬•ª3 Žå ¬•ª4 Žå ¬•ª•ª Í ŒÅ—L’l 2.7207 Šñ—^—¦ 68.0183 —Ý ÏŠñ—^—¦ 68.0183 ŒÅ—LƒxƒNƒgƒ‹ ‘Œê 0.48727 ‰pŒê 0.51054 ” Šw 0.50832 — ‰È 0.49349 y P1 P2 zP4 P3 x ③クリックして， メニューの ＜主成分分析＞ をクリック 1.2218 0.0524 0.0051 30.5450 1.3103 0.1264 98.5633 99.8736 100.0000 0.52734 0.47400 -0.48075 -0.51587 第3章 主成分分析 Ⅱ 0.49897 -0.53867 0.50411 -0.45467 0.48529 -0.47383 -0.50632 0.53256 26/39 P3 Žå ¬•ª3 Žå ¬•ª4 ‰ñ“] ¬•ª1 ‰ñ“] ¬•ª2 3.2.6 バリマックス回転 3/6 ƒbƒg ▼ ‰ñ“]ƒvƒ ¬•ª: X: ‘Œê Y: ‰pŒê Z: ” Šw — ‰È Žå ¬•ª1 Žå ¬•ª2 Žå ¬•ª3 Žå ¬•ª4 ‰ñ“] ¬•ª1 ‰ñ“] ¬•ª2 y R1 zP4 P3 R2 P1 P2 ‰ñ“] s—ñ 0.70885 -0.70536 x ‹¤’Ê « ‘Œê ‰pŒê ” Šw — ‰È ˆöŽq‰ñ“] ‰ñ“]ˆöŽq‚̃pƒ^ [ƒ“ ‘Œê 0.1585748 0.9801093 ‰pŒê0.2273632 0.9653822 ” Šw 0.9691604 0.2147385 — ‰È 0.9792057 0.1699628 ①クリックして，メニューの ＜成分の回転＞をクリック ‰ñ“] s—ñ ②2因子モデルを考えるので， 0.70885 0.70536 -0.70536 0.70885 回転する成分を2とする ‹¤’Ê « ‘Œê ‰pŒê ” Šw — ‰È 0.98576 0.98366 0.98538 0.98773 ˆöŽq‰ñ“] ‰ñ“]ˆöŽq‚̃pƒ^ [ƒ“ ‘Œê 0.1585748 0.9801093 ‰pŒê0.2273632 0.9653822 ” Šw 0.9691604 0.2147385 — ‰È 0.9792057 0.1699628 0.70536 0.70885 0.98576 0.98366 0.98538 0.98773 2因子の説明力 （寄与率） •W €“¾“_ŒW ” ‘Œê -0.127111 0.546547 ‰pŒê-0.083075 0.522289 ” Šw 0.525229 -0.090923 — ‰È 0.541269 -0.119790 因子得点 •ªŽU Šñ—^—¦—Ý ÏŠñ—^—¦ 1.9750 49.374 49.374 1.9676 49.189 98.563 第3章 主成分分析 Ⅱ 27/39 3.2.6 バリマックス回転 4/6 ‰ñ“]ƒvƒ ƒbƒg 軸の変更 を行う ¬•ª: ‘Œê ‰pŒê ” Šw — ‰È Žå ¬•ª1 Žå ¬•ª2 Z: Žå ¬•ª3 Žå ¬•ª4 X: ‰ñ“] ¬•ª1 Y: ‰ñ“] ¬•ª2 文 系 能 力 y P2 ‘ Œê ‰pŒê z P1 x ” Šw — ‰È 理系能力 ˆöŽq‰ñ“] ‰ñ“]ˆöŽq‚̃pƒ^ [ƒ“ ‘Œê 0.1585748 0.9801093 ‰pŒê0.2273632 0.9653822 ” Šw 0.9691604 0.2147385 — ‰È 0.9792057 0.1699628 きれいな変数分類ができている バリマックス回転の特徴 ‰ñ“] s—ñ ・ある1つにの因子についての因子負荷量が大きくなるが 0.70885 0.70536 -0.70536 0.70885 それ以外では小さい ‹¤’Ê « ‘Œê ‰pŒê ” Šw — ‰È 0.98576 0.98366 0.98538 0.98773 第3章 主成分分析 Ⅱ 28/39 3.2.6 バリマックス回転 5/6 因子軸 文系能力 対 立 概 念 理系能力 総合力 バリマックス法は 因子負荷量の2乗分散を 最大化して単純構造化する g a 1 p 2 2 1 p 2 2 1/ 4 ai ai max p i 1 p i 1 因子軸 総合力を分かち，対立概念局別に因子を構成する 利点：単純化構造のために潜在的因子の解釈が容易 欠点：うまく単純化構造が得られない場合の解釈が困難 不適解の存在と解法の多様性（どの方法を用いるか） 29/39 第3章 主成分分析 Ⅱ 3.2.6 バリマックス回転 6/6 因子得点による布置 総合能力 2.0 5 文 系 能 力 1.5 1 1.0 8 .5 10 2 0.0 理系能力 -.5 7 3 9 -1.0 -1.5 -1.5 4 6 -1.0 -.5 0.0 .5 1.0 1.5 2.0 REGR factor score 1 for analysis 1 因子分析では，総合能力を示す変数（最終目的変数ｙ：例：総合満足度など）を 入れて分析しない→多因子モデルでは総合ぶりが因子群になると解釈困難!! 多くの分析では後から因子得点散布図上にベクトルを追記する（選好回帰） 第3章 主成分分析 Ⅱ 30/39 3.3 主成分分析の活用指針 ・主成分分析の目的と到達レベル ・主成分分析の主要な用語とアウトプット ・主成分分析の手順 第3章 主成分分析 Ⅱ 31/39 3.3.1 主成分分析の目的と到達レベル 目的 ・多変量データを少数（２～5 程度）の直交した指標で説明する． ・新しい指標を作り個体の特徴を掴む． ・多変量データを少数（２～5 程度）の直交した指標で説明する． ・多変量空間における外れ値を抽出する． ・新しい指標を作り個体の特徴を掴む． データ分析者の PCA の到達レベルは，例えば以下のようなものであろう． ・多変量空間における外れ値を抽出する． ・混沌とした市場情報からプロダクトマップや知覚マップを作成する． データ分析者の PCA の到達レベルは，例えば以下のようなものであろう． ・各種の成績や業績から支店や営業所の強み・弱みを抽出する． ・混沌とした市場情報からプロダクトマップや知覚マップを作成する． ・対象の行動を分析し，それに合った質問・判定項目を作成する． ・各種の成績や業績から支店や営業所の強み・弱みを抽出する． ・対象の行動を分析し，それに合った質問・判定項目を作成する． 第3章 主成分分析 Ⅱ 32/39 3.3.2 主成分分析の主要な用語とアウトプット 固有値：主成分の分散，得られた主成分の情報の大きさを表す 固有ベクトル：元の変量へ掛けるべき係数：重み 寄与率： 主成分で，元の変数の情報をどれだけ説明で きるかを表す量 第１ 主成分： 累積寄与率： 1 2 第2主成分： 1 2 3 p 1 2 3 p 主成分で，大きい固有値を持つ方から寄与率 を累積した量 第１ 主成分： 1 1 2 3 p 第2主成分： 第3章 主成分分析 Ⅱ 1 2 1 2 3 p 33/39 3.3.2 主成分分析の主要な用語とアウトプット 因子負荷量：主成分と元の変量との相関係数である． 主成分の解釈に使う． 因子負荷量の絶対値が大きい場合が主成分と 元の変数との関連が強いことを表す． 変量1 変量2 変量3 変量p 主成分1 rz1,u1 l11 1 rz1,u 2 l12 1 rz1,u3 l13 1 rz1,up l1 p 1 主成分2 rz 2,u1 l21 2 rz 2,u 2 l22 2 rz 2,u3 l23 2 rz 2,up l2 p 2 主成分得点：求めた主成分の線形結合の値である． この分散が1になるように固有値の平方根 （ 1 , 2 , p ）で割って標準化する． 因子負荷量と主成分得点を並べて解釈する場合， 標準化された主成分得点を使う． 第3章 主成分分析 Ⅱ 34/39 3.3.3 主成分分析の手順 1/5 ①分析に必要な変量を選定する．分析目的に対して無意味な変量を含んでいる と分析結果の解釈が困難になるため，変量選定には十分な吟味が必要である． ②個体の数は 100 以上が望ましい．計算される相関係数は標本誤差を含む．そ こから得られる主成分も標本誤差を含んだものになる．個体数が少ない場合 の主成分の解釈は控えめにする． ③DB の活用や実際にアンケート等によりデータを収集する．収拾されたデー タは分析しやすいようにデータ行列にまとめる．データは多変量正規分布から 得られたと仮定できることが望ましい．必要であれば，対数変換や単位当りの 比率 ―例えば，選挙データであれば得票率，都道府県の経済データであれば， 人口 1 千人当りの電力消費量など― に加工しておく． 第3章 主成分分析 Ⅱ 35/39 3.3.3 主成分分析の手順 2/5 ④データのモニタリングによって，外れ値には色を変えたり，マーカを変えた りしておく．JMP の機能が強力にサポートしてくれるはずである． ⑤各変量の基本統計量 ―特に平均や標準偏差など－ を調べておく．PCA は平 均位置の情報を取り除いた分析であるので，報告書には必ず平均値や標準偏 差は記入しておく． ⑥PCA を実行する．多くの多変量解析の書では，はじめに分散共分散行列から 出発する方法について解説してあるが，特別な理由がない限り相関係数行列 から出発する方法を選ぶ． ⑦固有値と寄与率を求める．解釈する成分の選択方法は，経験的に以下の基準 が知られているが，絶対的なルールではないことを理解する． ・固有値が 1 以上のもの（元の変量の情報量が 1 であるから，合成指標とし 36/39 第3章 主成分分析 Ⅱ 3.3.3 主成分分析の手順 3/5 計算の過程 手順1.分析する変量を標準化する xj xj uj : j 1,2, , p sj 手順2.合成変量として，第1主成分を以下のようにおく 重みの未知数は aj (j=1,2,･･･,p) z1 a1u1 a2u2 apup 手順3.z1の分散Vz1が最大になるような固有値，固有ベクトルを 求める． 第3章 主成分分析 Ⅱ 37/39 3.3.3 主成分分析の手順 4/5 手順4.順次，第ｐ主成分が得られるようにｐ個の固有値と固有 ベクトルを求める（ヤコビ法と呼ばれるアルゴリズム）． 手順5.寄与率と累積寄与率を求める． 寄与率： 累積寄与率： k k 1 2 k , 1 2 p p p 手順6.分析者による解釈 主成分の選択 基準固有値1以上 （固有値の平均以上を選択する） 累積寄与率80％以上 主成分を解釈する 因子負荷量のグラフを描く 主成分得点のグラフを描く サンプルや変量を分類，特徴つけする 第3章 主成分分析 Ⅱ 38/39 3.3.3 主成分分析の手順 5/5 ⑦固有値と寄与率を求める．解釈する成分の選択方法は，経験的に以下の基準 が知られているが，絶対的なルールではないことを理解する． ・固有値が 1 以上のもの（元の変量の情報量が 1 であるから，合成指標とし ては，それ以下の情報量しか持たない主成分は解釈しないとする立場） ・累積寄与率が 0.7～0.8 を越えるところまでの成分を解釈する． ⑧特徴ある個体の抽出を行う．成分の両端にある個体を比較することで新たな 知見が得られる場合がある． ⑨因子負荷量や主成分得点の散布図などを用いて成分の命名,キャッチフレー ズをつける． ⑩成分の解釈が困難な場合にはバリマックス回転により単純構造化を試みる． 第3章 主成分分析 Ⅱ 39/39