Transcript Plasma概論
2005.05.17
Plasma概論
1. The equation of state of plasma
incl. shielded interaction
between plasma particles
2.gas-plasma transition as a function of T
1.プラズマの状態方程式
先週のおさらい
F
P
V
• 自由エネルギーを分布関数で表現し、体積
微分を行う。
F T ln e
n
En T
§2 Eq3
e ( p,q ) / T
NT ln e
dpdq
N
§2 Eq6
2
Fideal
2
p
,
理想気体ではエネルギーはpの2次形式 ( p, q)
2m
e
T
1
dp dq V
e
3
(2 )
3
3
p2 mT
mT
4p dp V
2
2
2
eV mT
Fid NT ln
N 2
32
3
32
相互作用のある系での方法
(分布関数への相互作用の組み込み)
exp( ( p, q) / T )
exp( K i ( p) / T ) * exp(U (q) / T )
i
理想気体では0である相互作用U(空間座標)を
組み込み、自由エネルギーFを表現する。
1 i K i / T 3 U ( q1 ,q2 ....,qN ) / T 3
F T ln e
dp e
dq
N!
F Fid Fint eract ion (U )
4
相互作用の積分
• 仮定1:相互作用は2体相互作用のみ
• 表式1:相互作用は2体間相対距離のみで記述可
能
• 仮定2:3体以降も2体衝突の重ね合わせで記述
可能
• 表式2:相互作用は運動エネルギーに比べて微少
dq e
3 U ( q ) T
1 N ( N 1) N 2 U ( r ) T
V (e
1)dV1dV2 1
2
VN
N2
2 V (e U ( r ) / T 1)dV
2V
5
1 i K i / T 3 U ( q1 ,q2 ....,qN ) / T 3
F T ln e
dp e
dq
N!
F Fid Fint eract ion (U )
に、先ほどの相互作用の積分を適用し、さらに
2
N
x
2V
(
e
U ( r ) / T
1)dV
とおき、次の近似を行うと
ln(1 x) ~ x,
e(U / T ) 1 ~ U / T
6
相互作用に基づく自由エネルギー
のー般表式
2
NT U
2
Finteraction
4r dr
2V T
この方法はUのrに対するべき形式を適用して相互作用エネルギー
を計算可能である。しかし、rのべき数が3以下では即ち、U~r -3
までは積分は発散し計算できない。
プラズマの相互作用potentialはすでに求めたように
U=UCoulomb+shield=q0/r*exp(-r/L)
即ち、直接このpotentialを代入しては求めることができない。
7
湯川型相互作用で支配される
プラズマの取り扱い
• 仮定1:プラズマは全体としては中性である。
• 仮定2:プラズマは理想気体からわずかにしかずれ
ていない(U<<T)
• 仮定3:プラズマ粒子は存在している空間に一様に
しかも互いに独立に分布している。
• 仮定4:相互作用は2体間のみとする
Coulomb energy=<0>+interaction=Uself+Uint
<Uself>=0
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• 荷電粒子系の静電エネルギー
1
単位長さあたりの電気力線
U E DdV
2
のエネルギー*電束密度
1
DdV
2
1
1
(D)dV ( D)dV
2
2
1
1
D dS dV
2
2
0 i qi ni
9
i番目の電荷の位置に作られる
i
電気ポテンシャルの総和
U U self
qb 1
qb
1
Uint qa qa
2 ab rab 2 a b rab
Uself=ある電荷qaが自分自身で作る場の静電エネルギー
Uint=ある電荷qaにそれ以外のすべての電荷が作る場の
静電エネルギー
Debyeによると、
b
qb
40r
e
r Debye
qb
40r
qb
40Debye
10
熱力学的自由エネルギーと
全エネルギー
F
2 F
E F TS F T
T
T
T T
これを利用して空間積分の発散を回避しながら、自由エネルギー
Fを計算し、その空間微分から状態方程式を導出する
エネルギーの温度積分の境界条件:
温度を無限大にしたとき相互作用エネルギーが0(仮定2)
Uint
Finteraction dT 2
T
(§3-3 P6~7参照)
11
The equation of state of a plasma
F Fideal Fint eract ion
2 1
1
2 2
Fideal
Ne
Z
32
3 80
VT
32
これをVで微分して
NT 1 1
1
2 2
P
Ne Z
32
32
V 3 80 V
T
32
1.理想気体に比べて圧力は低くなる => ?
2.温度があがると理想気体にちかづく => ?
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従って核融合プラズマでも理想気体の状態方程式が使える
2.Gas からPlasmaへ
1.中性ガス+プラズマの混合状態を考える。
n0,nion,ne これらがある統計的平衡状態にある状況を
仮定する => 熱プラズマ
2.これらの気体は理想気体の条件を満たし、
あるエネルギー状態Eをしめる密度はBoltzmann分布に従う。
n=g exp(-E/T) T:気体温度 g:統計重率
3.中性気体(エネルギー順位E0)、一価イオン(エネルギー順位
Ei=E0+Eionization ,電子(運動エネルギー:Pe2/2me)
4.中性気体の状態数、プラズマの状態数(=イオン*電子)の比
は
nionne gionge
exp(
n0
g0
Eionization
T
2
Pe
)
2mT
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Sahaの熱平衡式
• 電離過程は
電子と中性ガスの衝突現象
が支配的なので 電子についてはすべての
運動量に関して積分を実行する。
nionne gionge
exp(
n0
g0
Eionization
T
3
2
d pe
Pe
) 3 exp(
)
2mT
h
Eionization 2meT 3 2
gionge
exp(
)( 2 )
g0
T
h
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Ge=2S+1=2, gion=(2L+1)(2S+1), g0=(2L’+1)(2S’+1)
電離度(degree of ionization)
0:gas
1:plasma
電離度を導入し、温度に対して電離度が0から1にどう変化するか
を調べる
nion
nion n0
n0 nion 1 nion n0
気体の全圧力が一定の条件下で温度に対する電離度の変化を
調べる。
Ptotal P0 Pion Pe T (n0 nion ne )
T (n0 2nion ) Tn0 (1 nion n0 ) const.
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• Saha Eq
n
2 gi 2meT Eionization T
e
2
n0
g0 h
32
2
ion
2
• 圧力の式
ni
n0
n0
ni
P n0T (1 2 )
n0
16
2
ne ni n0 ni n0 n0
P 1 2 ni n0 n0T
2
1 /(1 )
T 1 2 (1 )
2
1
2
T 1
こうして、電離度として、圧力一定の条件でTの関数として
1
を得る。
32
P g0 h Eion T
e
1
T 2 gi 2mT
2
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水素ガスの電離 Eionization=13.6eVに対する電離度の温度依存
degree of ionization(P=1E-1Pa)
degee of ionization(P=1E2Pa)
P_const_E-1_data
ionization
degree(H,P=100kPa)
degree of ionization (H)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
Vi=13.6eV
5000 1 104 1.5 104 2 104 2.5 104
temperature(K)
18