LISTA DE CÔNICAS E RECONHECIMENTO DE CURVAS PROF. ENZO

1-ELIPSE

É o conjunto de pontos P (x,y) do plano tal que a soma da distância a dois pontos fixos ( focos) é uma constante ( 2 a)

2-HIPÉRBOLE

É o conjunto de pontos P (x,y) do plano tal que a diferença da distância a dois pontos fixos ( focos) é uma constante.

• focos : os pontos

F

1

e

F

2

• centro: o ponto

C

(

x

0 ,

y

0 ) , que é o ponto médio de • semi-eixo maior:

a

• semi-eixo menor:

b

• semidistância focal:

c

• vértices: os pontos

A

1

,

A

2

,

B

1

,

B

2

• eixo maior: • eixo menor: • distância focal: • relação fundamental : a² = b² + c² • excentricidade e=c/a 0

EQUAÇÕES REDUZIDAS

Eixo maior paralelo ao eixo x: (

x

−

a

2

x

0 ) 2 + (

y

−

b

2

y

0 ) 2 = 1 Eixo maior paralelo ao eixo y: (

x

−

x

0 ) 2 + (

y

−

y

0 ) 2 = 1

b

2

a

2 ÁREA DA ELIPSE: A= ab π • focos: os pontos

F

1

e

F

2

• vértices: os pontos

A

1

e

A

2

• centro da hipérbole: o ponto

O

(

x

0 ,

y

0 ) , que é o ponto médio de • semi-eixo real:

a

• semi-eixo imaginário:

b

• semidistância focal:

c

• distância focal: • eixo real: • eixo imaginário:

B

1

B

2 = 2

b

• relação fundamental : c² = a² + b² • excentricidade e= c/a, e>1

EQUAÇÕES REDUZIDAS

Eixo real paralelo ao eixo x: (

x

−

a

2

x

0 ) 2 − (

y

−

b

2

y

0 ) 2 = 1 Eixo real paralelo ao eixo y: (

y

−

a

2

y

0 ) 2 − (

x

−

x

0 ) 2

b

2 = 1

(

3- PARÁBOLA

É o conjunto de pontos P (x,y) do plano tal que a distância de P a um ponto fixo ( foco) e a uma reta d ( diretriz) é uma constante. Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos: • foco: o ponto

F

• diretriz: a reta

d

• vértice: o ponto

V

• parâmetro:

p

• o vértice

V

e o foco

F

ficam numa mesma reta, o eixo de simetria

e

.

• dF =p ( parâmetro) •

V

é o ponto médio de dF

Equações

Vamos considerar os seguintes casos: a) parábola com vértice

V

(

x

0 ,

y

0 ) concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal :

y

−

y

0 ) 2 horizontal ( =

y

2

p

(

x

− −

y

0 ) 2

x

0 ) b) parábola com vértice

V

(

x

0 esquerda e eixo de simetria ,

y

0 ) , concavidade para a = − 2 d) parábola com vértice

V p

(

x

c) parábola com vértice

V

(

x

0 , (

x

0 , −

y

0 cima e eixo de simetria vertical

x

0 (

x

− ) ) , concavidade para

x

0 ) 2 baixo e eixo de simetria vertical (

x

−

x

0 ) 2 = = 2

p

(

y

−

y

0

y

0 ) , concavidade para − 2

p

(

y

− )

y

0 )

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1- ELIPSE

(

x

− Considere a elipse de equação Calcule ou determine: a) O Centro b) A medida do eixo maior c) A medida do eixo menor d) A distância focal e) As coordenadas dos focos f) A excentricidade g) A área

2- HIPÉRBOLE

Considere a hipérbole de equação 16 3 ) 2 + (

y

− 2 ) 2 9 (

x

− 5 ) 2 − (

y

− 16 4 ) 2 = 1 9 Calcule ou determine: a) O Centro b) A medida do eixo real c) A medida do eixo imaginário d) A distância focal e) As coordenadas dos focos f) A excentricidade

3- PARÁBOLA

Considere a parábola de equação (y-3)² =-8(x-3) Calcule ou determine: a) As coordenadas do vértice b) O parâmetro c) As coordenadas do foco d) A equação da reta diretriz = 1

Equação 3x-5y+3=0 y=3 x=-3 x²-5x+6=0

RECONHECIMENTO DE CURVAS

Curva Obs

x

2

y

2 25 + 16 = 1

x

25

y

+ 16 = 1

x

2

y

2 25 − 16 = 1

x

2

y

2 + = 1 9 9 4x² +9y²=36 4x² -9y²=36 x² = 4y x² +y²-4x-6y-8=0 x²+y²-6x-4y+20=0 x²+y²-6x-4y+13=0

CÔNICAS NOS VESTIBULARES

1) A distância entre o centro da circunferência de equação x² + y² + 8x – 6y = 0 e o foco de coordenadas positivas da elipse de

x

2 equação 25 +

y

16 2 = 1 é: a) 58 b) 56 c)4 d) 7 e) 12 2) Considere as equações apresentadas na coluna da esquerda e os nomes das curvas planas descritas na coluna da direita. Associe a 2ª coluna com a 1ª coluna.

A associação que relaciona corretamente a equação ao tipo de curva plana na sequencia de cima para baixo, é: a) I, IV, II, V e III b) I, V, III, IV e II c) II, III, V, I e IV e) IV, II, V, I e III d) III, II, IV, I e V equação x2 + 16y2 = 16 é:

3. (Uff )

As equações y - 2x = 0, y + x2 = 0 e y2 - x2 + 1 = 0 representam no plano, respectivamente: a) uma reta, uma hipérbole e uma parábola b) uma parábola, uma hipérbole e uma reta c) uma reta, uma parábola e uma elipse d) uma elipse, uma parábola e uma hipérbole e) uma reta, uma parábola e uma hipérbole

4. (Unirio)

As equações x2 - 9y2 - 6x - 18y - 9 = 0, x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0 e x2 - 4x - 4y + 8 = 0 representam, respectivamente, uma: a) hipérbole, uma elipse e uma parábola. b) hipérbole, uma circunferência e uma reta. c) hipérbole, uma circunferência e uma parábola. d) elipse, uma circunferência e uma parábola. e) elipse, uma circunferência e uma reta.

5. (Cesgranrio )

O gráfico que melhor representa a curva de 6

.

(Unirio ) A área do triângulo PF1F2, onde P(2,-8) e F1 e F2 são os focos da elipse de equação x2/25 + y2/9 = 1, é igual a: a) 8 b) 16 c) 20 d) 32 e) 64 7 8

.

.

(Cesgranrio) A equação 9x2 + 4y2 - 18x - 27 = 0 representa, no plano cartesiano, uma curva fechada. A área do retângulo circunscrito a essa curva, em unidades apropriadas, vale: a) 36 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12 (Uece) A área do quadrilátero cujos vértices são as interseções da elipse 9x2+25y2=225 com os eixos coordenados é igual, em unidades de área, a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 9

.

(Ufc ) Um segmento de reta desloca-se no plano cartesiano de tal forma que uma de suas extremidades permanece sempre no eixo y e o seu ponto médio permanece sempre no eixo x. Então, a sua outra extremidade desloca-se ao longo de uma: a) circunferência. b) parábola. c) reta. d) elipse. e) hipérbole. 10

.

(Ufpi ) O gráfico da equação x2 - y2 = 4 representa uma hipérbole. Os focos dessa hipérbole são: a)   1 ,0 2   e   − 1 2 ,0   b) (2, 0) e (-2, 0) c) (2 2 , 0) e (-2 2 ,0) d) (0, 2 ) e (0, 2 )

e)   0, 1 2   e   0, − 1 2   11

.

(Ufc ) O número de pontos de interseção das curvas x2 + y2 = 4 e (x2/15) + (y2/2) = 1 é igual a: a) 0 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 12

.

(Fgv) No plano cartesiano, a curva de equações paramétricas x=2cost e y=5sent com t ∈ lR é: a) uma senoide b) uma cossenoide c) uma hipérbole d) uma circunferência e) uma elipse 13. A expressão (x²/100)+(y²/36)=1 é a equação reduzida de uma elipse de a) excentricidade 5/3. b) distância focal 16. c) eixo menor igual a 6. e) centro no ponto (5; 6).

. d) eixo maior igual a 10. 14

.

(Ufrn ) O conjunto dos pontos P = (x,y), que estão a uma mesma distância do ponto F = (0,2) e do eixo ox, no plano cartesiano xy é a) a parábola de equação y = (x2/2) + 4. b) a parábola de equação y = (x2/4) + 1. c) a parábola de equação y = 4x2 +1. d) a parábola de equação y = 2x2 +1. 15

.

(Pucmg ) O gráfico da curva de equação (x2/4) - (y2/9) = 1 é uma: a) circunferência. b) elipse. c) hipérbole. d) parábola. 16

.

(Unifesp ) A área sombreada na figura, e) duas retas concorrentes. 20

.

(Fatec) As intersecções das curvas de equações x2 + y2 - 7x - 9 = 0 e y2 = x + 2 são vértices de um polígono. A equação da reta traçada pela intersecção das diagonais desse polígono, e paralela à reta de equação 2x - y + 3 = 0, é a) x + 2y - 2 = 0 b) x + 2y + 2 = 0 c) 2x - y + 4 = 0 d) 2x - y - 2 = 0 e) 2x - y + 2 = 0 21

.

(Udesc ) Analise as afirmações dadas a seguir, classifique as como verdadeiras (V) ou falsas (F). ( ) A equação x2 - 2x + y2 + 2y + 1 = 0 representa uma circunferência que é tangente, tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das ordenadas. ( ) A elipse de equação 9x2 + 4y2 = 36 intercepta a hipérbole de equação x2 - 4y2 = 4 em apenas dois pontos, que são os vértices da hipérbole. ( ) O semieixo maior da elipse 9x2 + 4y2 = 36 é paralelo ao eixo real da hipérbole x2 - 4y2 = 4. Assinale a alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo. a) V - V - V b) V - V - F c) F - V - F d) F - F - V e) V - F - F 22

.

(Uft ) Considere IR o conjunto dos números reais e . Encontre os valores de b, tais que no plano cartesiano xy, a reta y = x + b intercepta a elipse x 2 4 + y 2 = 1 em um único ponto. A soma dos valores de b é: a) 0 b) 2 c) 2 5 d) 5 e) − 2 5 23

.

(Ufrn) Um arquiteto projetou, para um salão de dimensões 22 m por 18 m, um teto de gesso em formato de elipse com o eixo maior medindo 20 m e o eixo menor, 16 m, conforme ilustra a figura abaixo. a) 17 18

.

.

π . b) 2 π . c) 3 denominada: equação de: π d) elipse e) reta . d) 4 a) um conjunto vazio. π . e) 6 π . limitada pela elipse e pela reta indicadas, é: (Ufpe) Considere dois pontos distintos A e B de um plano. O lugar geométrico dos pontos P deste plano tal que a soma das distâncias de P aos pontos A e B é constante, é uma curva a) circunferência b) parábola c) hipérbole (Ufc ) No plano cartesiano, x2 - y2 + 5x - 5y = 0 é uma b) um conjunto unitário. c) uma hipérbole. d) duas retas paralelas. e) duas retas concorrentes. 19

.

(Unifesp ) A parábola y = x2 - nx + 2 tem vértice no ponto (xn, yn). O lugar geométrico dos vértices da parábola, quando n varia no conjunto dos números reais, é a) uma parábola. b) uma elipse. c) um ramo de uma hipérbole. d) uma reta. O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde que o arquiteto informasse as posições dos focos. Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na direção do eixo maior, a distância entre cada foco e a parede mais próxima é de a) 3 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m. 24

.

(Unesp) Suponha que um planeta P descreva uma órbita elíptica em torno de uma estrela O, de modo que, considerando um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita possa ser descrita aproximadamente pela equação   x 2 100     y 2 25   = 1, com x e y em milhões de quilômetros. A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo planeta e

π sua posição no instante em que o ângulo PÔA mede 4 . instante representado na figura, é: A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, no a) 2 5 . b) 2 10 . c) 5 2 . d) 10 2 . e) 5 10 . 25

.

(Ufrn) O conjunto dos pontos P = (x,y), que estão a uma mesma distância do ponto F = (0,2) e do eixo ox, no plano cartesiano xy é a) a parábola de equação y = (x 2 /2) + 4. b) a parábola de equação y = (x 2 /4) + 1. c) a parábola de equação y = 4x 2 +1. d) a parábola de equação y = 2x 2 +1. 26

.

(Puc) O gráfico da curva de equação (x 2 /4) - (y 2 /9) = 1 é uma: a) circunferência. b) elipse. c) hipérbole. d) parábola. 27

.

(Unesp) A figura representa uma elipse. a) (-2/3, -1/3) b) (2/3, -7/3) c) (1/3, -5/3) d) (-1/3, 1/3) e) (-1/4, 1/2) 29

.

(Fgv 2013) Sendo m o maior valor real que x pode assumir na equação analítica − 2 + + 2 = 36, e n o maior valor real que y pode assumir nessa mesma equação, então, 30

.

é igual a a) 8. b) 7. c) 6. d) 4. e) 3. (Udesc 2013) A área delimitada por uma elipse cuja equação é região situada entre as elipses de equações 16x 2 + 25y x a 2 2 2 = + y b 2 2 400 = 1 e é dada por 16x 2 + 9y 2 = 144 Então, a área da é: a) b) c) d) e) π u.a.

31

.

(Uem 2013) Sobre a cônica de equação x 2 + 4y 2 = 9, assinale o que for 04) Se

A

e

B

correto

. 01) Trata-se de uma elipse. 02) A cônica intercepta o eixo das abscissas em (3,0) e (−3,0). são pontos da cônica que não são colineares com os focos

D

e

E

da cônica, os triângulos

ADE

e

BDE

possuem o mesmo perímetro. 08) A circunferência centrada na origem e de raio tangencia essa cônica. 16) O ponto    2 2, 1 2    pertence à cônica.

2 GABARITO 1)A 2)A 3)E 4)C 5)C 6)D 7)B 8)A 9)D 10)C 11)C 12)E 13)B 14)B 15)V 16)C 17)D 18)E 19)A 20)D 21)B 22)A 23)C 24)B 25)B 26)C 27)B 28)D 29)C 30) C 31) 01 + 02 + 04 + 16 = 23. A partir dos dados disponíveis, a equação desta elipse é a)   x 2 5   +   y 2 7   = 1. b)   ( 9 ) 2   +   ( 16 ) 2   = 1. c) (x - 5) 2 + (y - 7) 2 = 1. d)   ( 9 ) 2   +   ( 16 ) 2   = 1. e)   ( 5 ) 2   +    ( 7 ) 2   = 1. 28

.

(Fuvest) A elipse x 2 + (y 2 /2) = 9/4 e a reta y = 2x + 1, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento AB é:

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