Transcript Lista 01

Professor:
SOMBRA
ALUNO: _______________________________________________________________________________________
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA – LISTA 01
DATA: ___ /___ / ___
PREPARATÓRIO ITA – IME
01. (IME-RJ) Seja N um número inteiro de 5 algarismos. O número P
é construído agregando-se o algarismo 1 à direita de N e o número Q
é construído agregando-se o algarismo 1 à esquerda de N. Sabendose que P é o triplo de Q, o algarismo das centenas do número N é:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
02. (IME-RJ) Demonstre que o número 111
...3
11222
12
12...
325 é um qua( n −1 ) n vezes
vezes
drado perfeito.
03. (IME-RJ) Demonstre que o número 4444
44888
...4
889 é um qua1
42...4
3
12
3
n vezes
( n −1 )
vezes
drado perfeito.
04. (IME-RJ) Demonstre que 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 é um número inteiro múltiplo de quatro.
4
⎛x
y⎞
11. (ITA-SP) Mostre que ⎜⎜ + 2 + ⎟⎟ > C8 ,4 , para quaisquer x e y
y
x⎠
⎝
reais positivos.
12. (ITA-SP) O número de divisores de 17.640 que, por sua vez, são
divisíveis por 3 é:
a) 24
b) 36
c) 48
d) 54
e) 72
13. (ITA-SP) Sejam A e B subconjuntos não vazios de IR, e considere
as seguintes afirmações:
I. (A – B)C ∩ (B ∪ AC)C = ∅.
II. (A – BC)C = B – AC.
III. [(AC – B) ∩ (B – A)]C = A.
Sobre essas afirmações podemos garantir que:
05. (IME-RJ) Prove que para qualquer número inteiro k, os números k
e k5 terminam sempre com o mesmo algarismo (algarismo das unidades)
a)
b)
c)
d)
e)
06. (IME-RJ) Determine o polinômio em n, com no máximo 4 termos,
que representa o somatório dos quadrados dos n primeiros números
14. (ITA-SP) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de IR. Considere as afirmações:
n
naturais, ou seja,
∑
k2 .
k =1
07. (IME-RJ) Três jogadores, cada um com um dado, fizeram lançamentos simultâneos. Essa operação foi repetida cinqüenta vezes. Os
dados contém três faces brancas e três faces pretas. Dessas 50 vezes.
•
•
•
•
Em 28 saiu face preta para o jogador 1.
Em 25 saiu face branca para o jogador 2.
Em 27 saiu face branca para o jogador 3.
Em 8 saíram faces pretas para os jogadores 1 e 3 e branca para
o jogador 2.
• Em 7 saíram faces brancas para os jogadores 2 e 3 e preta para
o jogador 1.
• Em 4 saíram faces pretas para os três jogadores.
• Em 11 saíram faces pretas para os jogadores 2 e 3.
Determine quantas vezes saiu uma face preta para pelo menos um
jogador.
08. (IME-RJ) Considere quatro números inteiros a, b, c e d. Prove que
o produto (a – b)⋅(c – a)⋅(d – a)⋅(d – c)⋅(d – b)⋅(c – b) é divisível por 12.
09. (IME-RJ) Calcule a soma abaixo:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1 x 4 4 x 7 7 x 10
2998 x 3001
10. (IME-RJ) Dado o número m = 24 ⋅ 33 ⋅ 52, determine quantos números inteiros positivos não maiores que m são primos relativos com
m.
Apenas a afirmação I é verdadeira.
Apenas a afirmação II é verdadeira.
Apenas a afirmação III é verdadeira.
Todas as afirmações são verdadeiras.
Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
I. Se (E x G) ⊂ (F x H), então E ⊂ F e G ⊂ H.
II. Se (E x G) ⊂ (F x H), então (E x G) ∪ (F x H) = F x H.
III. Se (E x G) ∪ (F x H) = F x H, então (E x G) ⊂ (F x H).
Então:
a)
b)
c)
d)
e)
Apenas a afirmação I é verdadeira.
Apenas a afirmação II é verdadeira.
Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
Todas as afirmações são verdadeiras.
15. (ITA-SP) Sejam X, Y e Z subconjuntos próprios de IR, não-vazios.
Com respeito às afirmações:
I. X ∩ {[Y ∩ (X ∪ Y)C ] ∪ [X ∪ (XC ∩ YC)C]} = X.
II. Se Z ⊂ X então (Z ∪ Y) ∪ [X ∪ (ZC ∩ Y)] = X ∪ Y.
III. Se (X ∪ Y)C ⊂ Z então ZC ⊂ X.
temos que:
a)
b)
c)
d)
e)
Apenas a afirmação I é verdadeira.
Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
Todas são verdadeiras.
16. (ITA-SP) Considere as seguintes afirmações sobre números reais
positivos:
I. Se x > 4 e y < 2, então x2 – 2y > 12.
II. Se x > 4 ou y < 2, então x2 – 2y > 12.
III. Se x2 < 1 e y2 > 2, então x2 – 2y < 0.
Então, destas é(são) verdadeira(s)
a)
b)
c)
d)
e)
24. (ITA-SP) Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto
X, tais que n(B – A), n(A – B) e n(A ∩ B) formam, nesta ordem, uma
progressão aritmética de razão r > 0. Sabendo que n(B – A) = 4 e
n(A ∪ B) + r = 64, então, n(A – B) é igual a:
Apenas a afirmação I.
Apenas as afirmações I e II.
Apenas as afirmações II e III.
Apenas as afirmações I e III.
Todas as afirmações.
a) 12
b) 17
c) 20
d) 22
e) 24
17. (ITA-SP) Sejam U um conjunto não-vazio e A ⊂ U, B ⊂ U. Usando apenas as definições de igualdade, reunião, intersecção e complementar, prove que:
25. (ITA-SP) Se A, B, C forem conjuntos tais que n(A ∪ B) = 23,
n(B – A) = 12, n(C – A) = 10, n(B ∩ C) = 6 e n(A ∩ B ∩ C) = 4, então
n(A), n(A ∪ C), n(A ∪ B ∪ C), nesta ordem,
I. Se A ∩ B = ∅, então B ⊂ AC.
II. B – AC = B ∩ A.
a)
b)
c)
18. (ITA-SP) Seja o conjunto S = {r ∈ Q: r ≥ 0 e r2 ≤ 2}, sobre o qual
são feitas as seguintes afirmações:
5/4 ∈ S e 7/5 ∈ S.
I.
e)
II. {x ∈ IR: 0 ≤ x ≤ 2 } ∩ S = ∅.
III.
2 ∈ S.
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeiras (s) apenas
a) I e II
b) I e III
c) II e III
d) I
e) II
19. (ITA-SP) Seja A um conjunto não vazio.
a)
b)
Se n(A) = m, calcule n(P(A)) em termos de m.
Denotando P1(A) = P(A) e Pk + 1(A) = P(Pk(A)), para todo número
natural k > 1, determine o menor k, tal que n(PK(A)) ≥ 65000, sabendo que n(A) = 2.
P
{0} ∈ S e S ∩ U ≠ ∅.
{2} ⊂ (S – U) e S ∩ T ∩ U = {0, 1}.
Existe uma função f: S → T injetiva.
Nenhuma função g: T → S é sobrejetiva.
a) Apenas a afirmação I.
b) Apenas a afirmação IV.
c) Apenas as afirmações I e IV.
d) Apenas as afirmações II e III.
e) Apenas as afirmações III e IV
7 − 4 3 + 3 é correto afirmar
d) x2 é irracional
e) x ∈ ]2, 3[
22. (ITA-SP) O menor inteiro positivo n para o qual a diferença
n − n − 1 fica menor que 0,01 é:
b) 2501 c) 2500
d) 3600
e) 4900
23. (ITA-SP) Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n ≥ 1.
Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: Se A, B
∈ S, então A ⊂ B ou B ⊂ A. Então, o número máximo de elementos
que S pode ter é:
a)
b)
c)
d)
e)
c) 28 – 26
d) 214 – 28
e) 28
27. (ITA-SP) Determine o conjunto C, sendo A, B e C conjuntos de
números reais tais que:
•
•
•
•
A ∪ B ∪ C = {x ∈ IR: x2 + x ≥ 2},
A ∪ B = {x ∈ IR: 8-x – 3⋅4-x – 22 – x > 0},
A ∩ C = {x ∈ IR: log (x + 4) ≤ 0},
B ∩ C = {x ∈ IR: 0 ≤ 2x + 7 < 2}
28. (ITA-SP) Sejam X, Y, Z, e W subconjuntos do conjunto IN tais que
(X – Y) ∩ Z = {1, 2, 3, 4}; Y = {5, 6}; Z ∩ Y = ∅; W ∩ (X – Z) = {7, 8};
X ∩ W ∩ Z = {2, 4}. Então o conjunto [X ∩ (Z ∪ W)] – [W ∩ (Y ∪Z)]
é igual a:
d) {1, 3}
e) {7, 8}
S = 1 + 2i + 3i 2 + ... + (n + 1).i n
2 x é racional
a) 2499
28 – 9
28 – 1
29. (IME-RJ) Determine a expressão da soma a seguir, onde n é um
inteiro múltiplo de 4.
21. (ITA-SP) Sobre o número x =
que:
c)
a)
b)
a) {1, 2, 3, 4, 5}
b) {1, 2, 3, 4, 7}
c) {1, 3, 7, 8}
Então, é(são) verdadeira(s)
a) x ∈ ]0, 2[
b) x é racional
26. (ITA-SP) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um
número de elementos menor ou igual a 6 disjuntos de B é:
P
20. (ITA-SP) Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e
U = {0,1} e as afirmações:
I.
II.
III.
IV.
d)
formam uma progressão aritmética de razão 6.
formam uma progressão aritmética de razão 2.
formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo primeiro termo é 11.
formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo último termo é 31.
Não formam uma progressão aritmética.
2n – 1
n/2, se n for par, e (n + 1)/2 se n for ímpar
n+1
2n – 1
2n – 1 + 1
30. (IME-RJ) Um homem nascido no século XX diz a seguinte frase
para o filho: “seu avô paterno, que nasceu trinta anos antes de mim,
tinha x anos no ano x2”. Em consequência, conclui-se que o avô paterno nasceu no ano de:
31. (IME-RJ) Um quadrilátero convexo ABCD está inscrito em um círculo de diâmetro d. Sabendo-se que AB = BC = a, AD = d e CD = b,
com a, b e d diferentes de zero.
a) Demonstre que d2 = bd + 2a2.
b) Se a, b e d são números inteiros e a é diferente de b, mostre que
d não pode ser primo.
GABARITO
01. E
02. –
03. –
06. P(n) = n3/3 + n2/2 + n/6
10. 2280 11. –
12. C
16. D
17. –
18. D
21. B
22. B
23.C
04.–
07. 44
13. A
19. a) 2m
24. B
27. ]-4, -5/2[ ∪ [1, ∞[ ∪ {-2}
28. C
30. 1892
31. –
05. –
08. –
14. E
b) 3
25. D
09. 1000/3001
15. B
20. B
26. A
n + 2 − ni
29. S =
2