Transcript Resolução - Portal do aluno RUMO

Rumo Curso Pr´e Vestibular Assistencial - RCPVA
Disciplina: Matem´atica
Professor: Vin´ıcius Nicolau
19 de Junho de 2014
Resoluc¸a˜ o do Simulado
19. Gastei 23 do meu sal´ario e em seguida
O meu sal´ario e´ :
3
4
do restante e fiquei ainda com R$480, 00.
R: Primeiro, vamos representar o sal´ario como uma quantidade x.
2
3
Do enunciado, temos que foi gasto
foi uma quantidade
do sal´ario x, ou seja, a primeira despesa
2
x
3
Assim, ap´os essa primeira despesa, o que sobrou foi
1
2
x
2
=x
=
x− x=x 1−
3
3
3
3
Do enunciado novamente, temos que foi gasto
segunda despesa foi
3 x
x
· =
4 3
4
3
4
do que sobrou, ou seja, a
Montando a equac¸a˜ o agora, temos que do sal´ario x foi retirado 23 x e depois x4 ,
sobrando ent˜ao R$480, 00, assim
x
2
x − x − = 480
3
4
12x − 4(2x) − 3x = 12 · 480
12x − 8x − 3x = 5760
x = 5760
Portanto, o sal´ario e´ R$5760, 00.
20. Uma m´aquina varredeira limpa uma a´ rea de 5100 m2 em 3 horas de trabalho.
Nas mesmas condic¸o˜ es, em quanto tempo limpar´a uma a´ rea de 11900 m2 ?
´
R: Vamos utilizar regra de trˆes, pensando nas grandezas Area
Limpa e Horas
de Trabalho. Ent˜ao, montamos a tabela
´
Area
Limpa (m2 )
5100
11900
Horas de Trabalho (h)
3
x
Analisando a relac¸a˜ o entre as grandezas, vemos que se a a´ rea aumenta, ent˜ao as
horas de trabalho aumentam, ou seja, as grandezas s˜ao diretamente proporcionais.
´
Area
Limpa ↑
Horas de Trabalho ↑
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Assim, multiplicamos cruzado
5100x = 3 · 11900
x=
3 · 11900
3 · 119
119
=
=
5100
51
17
x=7
Portanto, a m´aquina levar´a 7 horas para limpar 11900 m2 .
21. Uma piscina possui duas bombas ligadas a ela. A primeira bomba, funcionando
sozinha, esvazia a piscina em duas horas. A segunda sozinha esvazia a piscina
em 3 horas. Caso as duas bombas sejam ligadas juntas a piscina estar´a vazia em:
R: Primeiro, para descobrir quanto da piscina cada bomba esvazia em uma hora.
Obs.: Vamos utilizar 100% = 1 para facilitar as contas.
Montamos a regra de trˆes considerando as grandezas Porcentagem da Piscina e
Horas para Esvaziar.
E como as grandezas s˜ao diretamente proporcionais, em mais horas esvazia-se
uma maior porcentagem da piscina, vamos multiplicar cruzado.
Bomba 1
Porcentagem da Piscina Horas para Esvaziar (h)
1
3
x1
1
3x1 = 1
1
x1 =
3
Ou seja, a Bomba 1 esvazia
1
3
da piscina em uma hora.
Bomba 2
Porcentagem da Piscina Horas para Esvaziar (h)
1
2
x2
1
2x2 = 1
1
x2 =
2
Ou seja, a Bomba 2 esvazia
1
2
da piscina em uma hora.
Assim, com as duas bombas ligadas, ap´os uma hora ser´a esvaziado
2+3
5
6 = 6 da piscina.
1
3
+
1
2
=
Agora, montamos outra tabela envolvendo as mesmas grandezas, mas com os
dados que acabamos de encontrar:
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Bomba 1 e Bomba 2 juntas
Porcentagem da Piscina Horas para Esvaziar (h)
5
1
6
1
x
5
x=1
6
6
x=
5
x = 1, 2
Logo, as duas bombas juntas esvaziam a piscina em 1, 2 horas.
22. Na figura r e r’ s˜ao paralelas e a reta s e´ perpendicular a t. Se o menor aˆ ngulo
entre r e s mede 72◦ , ent˜ao o aˆ ngulo α mede:
R: Utilizando o Teorema de Tales (em vermelho) e a ideia de aˆ ngulo oposto pelo
v´ertice (em amarelo), temos a seguinte figura:
Observe que temos um triˆangulo com aˆ ngulos que medem 72◦ , α e 90◦ . Logo,
α + 72◦ + 90◦ = 180◦
α = 180◦ − 72◦ − 90◦
α = 18◦
b = 30◦ :
23. Na figura seguinte, AB = BC = CD. Calcule α, sabendo que D
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R: Do enunciado, conclu´ımos que os triˆangulos ABC e BCD s˜ao is´osceles.
b = C BD
b = 30◦ . Portanto,
Ent˜ao, temos B DC
b + 30◦ + 30◦ = 180◦
DCB
b = 120◦
DCB
E tamb´em,
b = C AB
b = 180◦ − 120◦
B CA
b = C AB
b = 60◦
B CA
E, como α e´ aˆ ngulo externo do triˆangulo ABD, temos que
b + B DC
b
α = C AB
α = 60◦ + 30◦ = 90◦
24. A resoluc¸a˜ o j´a foi postada!
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25. (UFPR-2013) Suponha que o n´umero P de indiv´ıduos de uma populac¸a˜ o, em
func¸a˜ o do tempo t, possa ser descrito de maneira aproximada pela express˜ao
P =
3600
9 + 3 · 4−t
Sobre essa express˜ao, considere as seguintes afirmativas:
1. No instante inicial, t = 0, a populac¸a˜ o e´ de 360 indiv´ıduos.
2. Com o passar do tempo, o valor de P aumenta.
3. Conforme t aumenta, a populac¸a˜ o se aproxima de 400 indiv´ıduos.
R: No item 1, basta substituir t = 0 na express˜ao.
P =
3600
9 + 3 · 40
3600
9+3
3600
P =
12
P = 300
P =
Logo, o item 1 e´ falso.
No item 2, basta observar que conforme t vai aumentando, o n´umero 4−t vai
ficando cada vez menor. Veja na tabela abaixo
t
4−t
t=0
40 = 1
t=1
t=2
4−1 =
4−2 =
1
42
1
4
= 0, 25
=
1
16
= 0, 0625
Ent˜ao, como o numerador esta fixo (em 3600), a populac¸a˜ o P vai aumentando.
Logo, o item 2 e´ verdadeiro.
No item 3, basta observar que conforme t aumenta, o n´umero 4−t vai se aproximando de 0.
Assim, para um valor t = T muito grande, teremos 4−T = 0 e ent˜ao
P =
3600
9
P = 400
Portanto, o item 3 e´ verdadeiro.
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26. (UFPR-2011) Em uma cidade de 250.000 habitantes, aproximadamente 10.000
foram vacinados contra o v´ırus H1N1, n´umero muito menor do que as autoridades de sa´ude previam. Se tomarmos aleatoriamente 50 habitantes dessa cidade,
quantos deles se espera que tenham sido vacinados contra o v´ırus H1N1?
R: Utilizaremos a regra de trˆes, considerando as grandezas Total de Habitantes
e Habitantes Vacinados.
Observe que as grandezas s˜ao diretamente proporcionais.
Total de Habitantes
250000
50
Habitantes Vacinados
10000
x
Assim,
250000x = 50 · 10000
500000
x=
250000
x=2
Logo, espera-se que 2 habitantes tenham sido vacinados.
27. Utiliza-se a mesma estrat´egia da quest˜ao 25.