Transcript Snímka 1
Kapitola R5.2
Rovinné rezy rotačného paraboloidu a elipsoidu
1
α
Rovinné rezy rotačného paraboloidu
Rezom rotačného paraboloidu rovinou
α
–
kružnica
k
, ak je rovina
α
je: kolmá na os rotácie
o
, – –
parabola elipsa
e p
, ak je rovina , ak rovina
α α
rovnobežná s osou rotácie nie je kolmá na os rotácie
o o
, ani rovnobežná s osou rotácie
o
.
Tereňová
o α o o p k α e
Rezová krivka je kružnica Rezová krivka je parabola Rezová krivka je elipsa
Poznámka: Rezovú krivku môžeme zostrojiť buď bodovo ako pri reze všeobecnej rotačnej plochy (pozri príklad R11), alebo zostrojíme určujúce prvky rezovej kužeľosečky.
DWFx 2
Konštrukcia paraboly, ktorá je daná osou
o
, vrcholom
V
a bodmi
1
T
,
2
T
, ktoré sú súmerné podľa osi
o
.
o
R
Postup rysovania:
1)
Priesečník priamky
1 T 2 T
s osou
o
označíme
O
.
Na osi
o
narysujeme bod
R
, pre ktorý platí
OV
=
VR
.
2)
Priamky
1 TR
bodoch
1 T
a
2 T
.
a
2 TR
sú dotyčnice paraboly v dotykových
3)
Úsečky
1 TR
a
2 TR
rozdelíme na štyri zhodné časti (resp . podľa požadovanej presnosti na viac častí). Deliace body označíme
1
,
2
,
3
a
1'
,
2'
,
3'
.
4)
Priamky
11'
,
22'
,
33'
Presné dotykové body dotyčníc nepoznáme, ale parabolu vieme nakresliť ako obálku zostrojených dotyčníc.
sú dotyčnice paraboly.
11'
a
33'
paraboly
3 2
1 t
1 3'
V
2 t
2' 1' 1
T
Tereňová
O
2
T
3
n 2 α x 1,2
1 T 2
I s 1 α
A
1
A
2
k 2
r
k 1
Mészárosová, Tereňová
V 2
o 2 m 2
S
2
=
C
2
=
D
2
e 2
B
2
C
1
o 1
S
1
m 1
D
1
e 1
B
1 2 T 2 R12
Zobrazte rez rotačného paraboloidu rovinou
α
Daný je hlavný meridián (parabola) a os rotácie
o
(
o 1
,
o 2
)
m
(
m 1
,
m 2
) kolmá na pôdorysňu. .
Rezom je elipsa
e
. Os
o
rotačnej plochy je kolmá na pôdorysňu, preto jedna os elipsy
e
leží na tej spádovej priamke prvej osnovy roviny rezu
α
, ktorá je s osou
o
rôznobežná. Označíme ju
AB
.
Druhá os elipsy
e
leží na hlavnej priamke prvej osnovy roviny rezu
α
, označíme ju
CD
.
p 1 α
Postup rysovania:
1)
Rovina rezu
α
je kolmá na nárysňu, preto nárysom elipsy Stred
S
elipsy
e e
je úsečka
e 2
=
A 2 B 2
. sa zobrazí do stredu úsečky
AB
.
2)
Body
C
a
D
kružnici
k
ležia na rovnobežkovej , ktorá sa v náryse zobrazuje do úsečky Pôdorysom kružnice
k
3)
k 2
incidujúcej s bodom
S 2
. Pôdorysom elipsy
e
je kružnica
k 1
(
o 1
,
r
).
je elipsa
e 1
určená osami
A 1 B 1
a
C 1 D 1
.
Poznámky: 1) Ak je os rotácie
o
kolmá na pôdorysňu, tak pôdorysom rezovej elipsy
e
je kružnica.
Táto vlastnosť platí len pre rotačný paraboloid. Presvedčte sa, či ste presne rysovali.
2) Uvedený postup konštrukcie môžeme použiť aj pre eliptický rez rotačného elipsoidu alebo hyperboloidu, ak je rovina rezu kolmá na nárysňu.
4
n 2 α
T
2 C 2
k 2
o 2
V 2
k 2
D 2
p 2 m 2
A
2
k 1
A
1
k 1
C 1
T
1 V 1
p 1 o 1
D 1
Mészárosová, Tereňová
B
2
m
B
1
p 1 α 1
Zobrazte rez rotačného paraboloidu rovinou
α
Daný je hlavný meridián (parabola) a os rotácie
o
(
o 1
,
m
(
m 1
,
m 2
)
o 2
) kolmá na pôdorysňu. .
R13
x 1,2
Rovina rezu
α
je rovnobežná s osou rotácie
o
, preto rezom je parabola
p.
Zobrazíme časť rotačného paraboloidu ležiacu nad pôdorysňou, takže aj z rezovej paraboly
p
zobrazíme len jej časť.
Postup rysovania:
1)
Rovina rezu
α
je kolmá na pôdorysňu, preto pôdorysom časti paraboly
p
je úsečka
p 1
=
A 1 B 1
.
2)
Stred úsečky
A 1 B 1
, bod
V 1
, je priemetom vrchola
V
paraboly
p
. Bod
V
leží na rovnobežkovej kružnici
k
(
k 1
,
k 2
), t. j.
V 2
k 2
.
3)
Ďalšie body
C
a podobne, pomocou
D
rezovej paraboly
p
určíme rovnobežkovej kružnice
k
.
4)
Viditeľnosť rezovej paraboly
p
Rozhranie viditeľnosti tvorí bod
T
v náryse: ležiaci na hlavnom meridiáne
m
.
5
Rovinné rezy rotačného elipsoidu
Rezom rotačného elipsoidu rovinou
α
–
kružnica
k
, ak je rovina
α
je: kolmá na os rotácie
o
, –
elipsa
e
, ak rovina
α
nie je kolmá na os rotácie
o
.
o α k α e o
Tereňová
Rezová krivka je kružnica
DWFx
Rezová krivka je elipsa
6
Eliptický rez rotačného elipsoidu Dan ý je rotačný elipsoid a rovina rezu . Os rotácie
o
je kolmá na pôdorysňu .
Rovinným rezom rotačného elipsoidu je elipsa
e
.
o
n
x 1,2 o 1 p
R ückschlossová 7
Eliptický rez rotačného elipsoidu
3
o
Dan ý je rotačný elipsoid a rovina rezu . Os rotácie
o
je kolmá na pôdorysňu .
Rovinným rezom rotačného elipsoidu je elipsa
e
. Na určenie rezu použijeme tretiu pomocnú priemetňu , ktorá je kolmá na rovinu rezu aj na pôdorysňu .
n
o 1 x 1,3 p
x 1,2
R ückschlossová 8
x 1,2
Eliptický rez rotačného elipsoidu
n
Daný je rotačný elipsoid a rovina rezu . Os rotácie
o
Rovina je kolmá na pôdorysňu .
nie je kolmá na os rotácie
o
.
Rovinným rezom rotačného elipsoidu je elipsa
e
.
D 2
e 2 o 2 I s 2 α
A 2
r 2
C 2 B 2 D 1 D
I s
A
p
O
Na určenie rezu použijeme tretiu pomocnú priemetňu , ktorá je kolmá na rovinu rezu pôdorysňu .
aj na
3
o 3
Osi rezovej elipsy
e
označíme
AB
,
CD
.
Stred elipsy označíme
O
.
o
A 3
Tretí priemet elipsy
e
je úsečka
A 3 B 3
. Os
AB
leží na tej spádovej priamke prvej osnovy roviny , ktorá je s osou
o
rôznobežná.
C S S k B
e r
C 1
k e 1
B 1
r 1
O 3
=
C 3
=
D 3
r 3 e 3 k 3
B 3
x 1,3 I s 1 α
Druhá os
CD
osnovy roviny leží na tej hlavnej priamke prvej , ktorá prechádza stredom
O
elipsy
e
. Body
C
a
D
určíme pomocou rovnobežkovej kružnice
k
, ktorá leží v rovine
'
rovnobežnej s pôdorysňou a inciduje s bodom
O
.
Mészárosová, Rückschlossová 9
R14
V Mongeovej projekcii zobrazte rovinný rez rotačného elipsoidu. Rovina rezu je daná stopami, rotačná plocha je určená osou rotácie
o
(
o 1
,
o 2
) a hlavným meridiánom
m
(
m 1
,
m 2
).
o 2 m 2 n 2 α
Určujúcim meridiánom rotačnej plochy je elipsa
m
. Jej rotáciou okolo osi rotácie
o
(okolo vedľajšej osi elipsy
m
) vznikne rotačný elipsoid sploštený.
x 1,2
Rovinným rezom rotačného elipsoidu je elipsa, ktorú označíme
e
. Jej osi označíme
AB
,
CD
.
Os
o
rotačnej plochy je kolmá na pôdorysňu, preto os
AB
leží na tej spádovej priamke prvej osnovy roviny rezu, ktorá je s osou rotácie
o
rôznobežná.
Os
CD
leží na hlavnej priamke prvej osnovy roviny rezu.
Poznámka: Os
AB
nemusí byť hlavnou osou elipsy
e
, môže byť jej vedľajšou osou.
o 1 m 1 p 1 α
Mészárosová, Rückschlossová 10
V Mongeovej projekcii zobrazte rovinný rez rotačného elipsoidu. Rovina rezu je daná stopami, rotačná plocha je určená osou rotácie
o
(
o 1
,
o 2
) a hlavným meridiánom
m
(
m 1
,
m 2
).
S
2
o 2
N
2
n 2 α
Na určenie rezovej elipsy
e
pomocnú priemetňu .
použijeme tretiu Postup rysovania :
1)
Narysujeme obrys rotačnej plochy: Obrys plochy v náryse je elipsa
m 2
, Obrys plochy v pôdoryse je kružnica.
m 2
S
1
=
o 1 m 1 p 1 α
Mészárosová, Rückschlossová
P
1
=
P
3
N
1
x 1,2
2)
Tretiu pomocnú priemetňu zvolíme kolmú na pôdorysňu a aj na rovinu rezu Priemetňu združíme s pôdorysňou.
.
S
3
1
=
x 1,3
3
N 3
Zobrazíme tretí priemet roviny rezu: Rovina sa premieta do priamky
3
. Na jej určenie stačia dva body
P 3
a
N 3
.
Zobrazíme tretí priemet elipsoidu.
o 3
11
V Mongeovej projekcii zobrazte rovinný rez rotačného elipsoidu. Rovina rezu je daná stopami, rotačná plocha je určená osou rotácie
o
(
o 1
,
o 2
) a hlavným meridiánom
m
(
m 1
,
m 2
).
I s 2 α o 2
N
2
n 2 α
Postup rysovania :
3)
Tretí priemet rezovej elipsy Úsečka
AB
e
je usečka
A 3 B 3
.
leží na tej spádovej priamke prvej osnovy roviny rezu, ktorá je s osou
o
rôznobežná.
A 2
Poznámka: Bod
B 2
neleží na elipse
m 2
. Pri rysovaní skontrolujeme jeho polohu pomocou hlavnej priamky prvej osnovy roviny .
B 2
O
2
m 2
N
1
x 1,2
Stred úsečky
AB
je stredom elipsy
e.
Označíme ho
O
.
A 1
O
1 B 1
o 1 m 1
1
=
x 1,3
A 3
3
N 3
I s 1 α p 1 α
B 3
e 3
O
3
P
1
=
P
3
o 3
Mészárosová, Rückschlossová 12
V Mongeovej projekcii zobrazte rovinný rez rotačného elipsoidu. Rovina rezu je daná stopami, rotačná plocha je určená osou rotácie
o
(
o 1
,
o 2
) a hlavným meridiánom
m
(
m 1
,
m 2
).
I s 2 α o 2
A 2
n α 2
Postup rysovania :
4)
Bodom
O
preložíme rovinu s v pôdorysňou. Rovina rovnobežkovej kružnici
k
Body
C
a
D
'
'
, rovnobežnú pretína elipsoid a rovinu rezu v hlavnej priamke prvej osnovy (ozn sú priesečníky kružnice
.
k I h
).
pretína s priamkou
I h
.
D 2
I α h 2
B 2
O
2
m 2
C 2
I α h 1
D 1 A 1
x 1,2 x 1,3 I s 1 α p 1 α
O
1 r B 1
o 1 k 1 m 1
C 1
e 3
P
1
=
P
3 B 3
k 3
r
Mészárosová, Rückschlossová
' 3
3
A 3
O
3
=
C 3
=
D 3
o 3
13
V Mongeovej projekcii zobrazte rovinný rez rotačného elipsoidu. Rovina rezu je daná stopami, rotačná plocha je určená osou rotácie
o
(
o 1
,
o 2
) a hlavným meridiánom
m
(
m 1
,
m 2
).
I s 2 α II α h 2 II h 1 α I α h 1 e 2
D 2 V 2 B 2
O
2
m 2
D 1
e 1
Q
1
o 2
A 2
O
1 B 1
o 1 m 1 k 1
A 1 U C 2 2
I α h 2 e 3 n α 2 x 1,2 x 1,3
Postup rysovania :
5)
Rezová elipsa rovníku.
e
sa v pôdoryse premieta do elipsy
e 1
, ktorá je určená osami
A 1 B 1
a
C 1 D 1
.
Rozhranie viditeľnosti tvoria body
T
a
Q
ležiace na
6)
Rezová elipsa
e
sa v náryse premieta do elipsy
e 2
, ktorá je určená združenými priemermi
A 2 B 2
a
C
Osi elipsy určíme Rytzovou konštrukciou.
Rozhranie viditeľnosti tvoria body
U
a
V
ležiace
2 D 2
.
na hlavnom meridiáne
m
a na hlavnej priamke druhej osnovy roviny rezu.
I s 1 α p 1 α
P
1
=
P
3
T
1 C 1 B 3
k 3
3
O
3
T
3 A 3
=
Q
3
Poznámka: Uvedený postup konštrukcie môžeme použiť aj pre eliptický rez rotačného paraboloidu alebo hyperboloidu.
o 3
Mészárosová, Rückschlossová 14