Transcript Stability - Budapest University of Technology and Economics
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
C h a p t e r 2 Plane Buckling of Struts
Iványi: Stability
Chapter 2 / 1
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2.1. Critical Load of the Euler-column (Equilibrium Method) 2.1.1 Fundamental Solution
Compression load:
Euler-column [1744] Internal resisting moment: Equilibrium equation:
k
2
P EI M x
EI
y
EI
y
P
y
0
y
k
2
y
0 Solution of the linear homogeneous differential equation:
y
K
e m
x K
e m
x
(
m
2
k
2 ) 0
m
k
i
y
C
1
e k
x
i
C
2
e
k
x
i
e
k
x
i
cos
kx
i sin
kx A
B C
1
C
1 i
C
2
C
2 , i;
y
A
sin
kx
B
cos
kx Chapter 2 / 2
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Boundary conditions:
x
0
x
L
First of these conditions:
B
0
y
A
sin
y y
kx
0 ; 0 .
Tension load:
EI
y
P
y
0 ;
k
2
y
K
e m
x
P EI
Second of these conditions:
K
e m
x
(
m
2
k
2 ) 0
A
sin
kL
0
m
k
Trivial solution: Critical solution:
k
L
n
A
0 sin
kL
0
n
1 , 2 ,...
y
C
1
e k
x
C
2
e
k
x e
k
x
ch
kx
sh
kx n
1 :
P
n
2 2
EI L
2
P E
2
EI L
2
y
A
sin
n
x L y
A
sin
x L A B
C
1
C
1
C
2 ;
C
2 ,
y
A
sh
kx
B
ch
kx
No stability problem!
Effective length:
l
L Chapter 2 / 3
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2.1.2 Effect of Approximations
(a) Axial deformations:
Eigenvalue: Direct axial compression:
M
(
x
) 0
P kr
L
EI
EA
1 0
y
k
2
y
0
EI
( 1 0 )
y
P
y k
2
EI P
( 1 0 ) Boundary conditions:
x x
0
L
( 1 0 )
y
0 ;
y
0 .
Condition of buckling: sin( 1 0 )
kL
0 ( 1 0 )
k
L
n
0 , 1 , 2 ,...
n
1 :
n
P kr
2
EI L
2 1 1
P kr EA P kr EA
kr E
“52” steel: 0.17%
Chapter 2 / 4
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(b) Effect of Shear Deformations on Critical Loads
The applied load
P kr
will have components transverse to the bent longitudinal axis, thus introducing into the member shear forces
V
as shown. It will in turn produce additional deformation due to shear.
V
P kr
sin
V
P kr V
max
tan
P kr P kr
d
y
d
x
tan
m
P kr
y
Curvature: 1
R t
GA
d
V
d
x
GA
d 2
y
d
x
2
P kr
[Timoshenko, Gere, 1961] Cross-section circle rectangle I , shear parallel to web I , shear parallel to flange 32/27 6/5
A t
/
A w
1 , 2
A t
/
A fl Chapter 2 / 5
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Approximation: 1
R
d 2
y
d
x
2
M EI
GA
d 2
y
d
x
2
P kr (c) Effect of Large Deformations
Differential Equation:
y
P EI
y
0 Correct expression for curvature:
M x
EI
( 1
y
y
2 ) 3 / 2 Hence the DE:
y
P EI
( 1
y
2 ) 3 / 2
y
0 ELASTICA:
M
P kr
y EI
1
GA
P kr P kr
P kr GA
2
L
2 1
EI
GA
y
P kr
y
0
P kr
2 (
EI
L
) 2 2 1
P kr GA
P kr GA
For solid cross-sections this effect is unimportant, amounting to a reduction of a fraction of 1%. For lattice truss cross-sections this effect is of significant importance.
Load – deformation curve
Chapter 2 / 6
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2.2. Higher-Order Differential Equation for Columns
EI
y
P
y
V
x
M A V
M A
M B L EI
y IV
P
y
0
k
2
P
/
EI y IV
k
2
y
0
y
C
1 sin
kx
C
2 cos
kx
C
3
x
C
4
Chapter 2 / 7
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával hinged fixed free movable-fixed Different boundary conditions for DE:
x
0
x x x
0 0 0
y
0
y
0
y y
0 0
y
0
y
k
2
y
0
y y
0 0
Chapter 2 / 8
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Fixed – Free Column
Boundary conditions:
x x
0
L
y y
0 ; 0 ;
y
y
0 ;
k
2
y
0 .
sin 0
k
0
kL
1 0 cos
kL
0 0 1 0
k
2 1 0 0 0
C C
1
C C
2 3 4
0
Non-trivial solution:
k
L
( 2
n
1 ) 2 cos
kL
0
n
1 , 2 , 3 ...
P kr
2
EI
4
L
2 Effective length:
l
2
L Chapter 2 / 9
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2.3. Effective Length of Compression Members 2.3.1 Intermediate Restraints
(a) Single Restraint
x 1 P A x 1 x 1 C x 2 y C y 2 x 2 y 1 x 2 A L 1 C L 2 L y 1 Equilibrium condition:
A
B
C
0
M C
A
L
1
B
L
2 0
A
C
L
2
L B
C
L
1
L
B y 2 B P Left-hand side Equation:
C
L
2
L
x
1
P
y
1
EI
y
1 0 Right-hand side Equation:
C
L
1
L
x
2
P
y
2
EI
y
2 0
Chapter 2 / 10
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
y
1
k
2
P
/
EI A
1 sin
kx
1
B
1 cos
kx
1
C P
L
2
L
x
1 ;
y
2
A
2 sin
kx
2
B
2 cos
kx
2
C P
L
1
L
x
2 .
Boundary conditions:
x
1
x
2 0 0
x
1
x
2
L
1
L
2
y
1
y
2 0 0
y
1
y
2
C
/
c
C
/
c B
1
B
2 0 det
L
1
L
1
L L L
L
2 1 2 If
L
1
L
2
P c P c
sin
kL
1
k
cos
kL
1
L
/ 2 sin 2
k L
2
L
4 0
P c k
sin 0
kL
cos 2
kL
2 0 .
k
sin
kL
0 sin 2 2 sin cos
y
1
y
2 sin
k L
2 sin
k L
2 2
k
L
4
P c
cos
k L
2 0
C P
L
1
L L C P
L
1
L L
2 2
P c
P c
A A
2 1 sin sin
kL kL
2 1 0 ; 0 ;
C P
A
1
k
cos
kL
1
A
2
k
cos
kL
2 0 , First solution:
k
L
/ 2
n
sin
k L
2 0
P kr
n
2 2
EI
(
L
/ 2 ) 2
Chapter 2 / 11
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
L
4
P c
0
C
0
A
1
A
2 Second solution: tg
k L
2
k
L
2 1 4
P c
L A
1
A
2
c c
0 tg
k L
2
k
L
2
P kr
2 , 045
P E Chapter 2 / 12
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(b) Continuous Restraint
Half-through Bridge Compression Member with Continuous Restraint [Engesser, 1884]
Chapter 2 / 13
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Compression Member with Transversal Load
c
s
A L q
c
y
Equilibrium condition:
M x
M
0
P
y EI
y
P
y
M
0 0
EI
y IV
P
y
q
0
EI
y IV
P
y
c
y
0
y
y
0 sin
m
x L EI
y
0
m L
4 sin
m
x
P
y
0
L
m L
2 sin
m
x
c
y
0 sin
L m
x L
0
EI
L
4
P
L
2
c
0
P kr
m L
2
EI
c
m L
2 2
EI L
2
m
2
m
2
L
4
c
4
EI
Chapter 2 / 14
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával d d
m
m
2
m
2
L
4 4
c
EI
2
m
m
3 2
L
4 4
c
EI
0
m
2
L
2 2
c EI P kr
2
c
EI
[Chwalla, 1927]
Chapter 2 / 15
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Half-through Bridge (U-frame) – horizontal deflection: 2 2
A
h
2
d EI
0 2 1 3
A
h
3
EI y
U-frame stiffness:
A
d
h
2 2
EI
0 1
h
3 3
EI y Chapter 2 / 16
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2.3.2 Elastically Restrained Column
Equilibrium condition:
EI
y
P
y
M
x L
0
k
2
P
/
EI y
k
2
y
M EI
x L y
A
sin
kx
B
cos
kx
M P
x L
Boundary conditions:
x x
0
L
y y
0 0
B
0
A
M P
1 sin
kL y
M P
x L
sin
kx
sin
kL x
L
: d
y
d
x M
P
1
L
k
cos
kx
sin
kL
d
y
d
x x
L
M k
EI
k
1
L
tg 1
kL
Chapter 2 / 17
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
M
L
4
EI
tg
kL
(
k
4
k
L L
) 2 4
M
L
4
EI
k
1
L
1 tg
kL
P kr
14 .
7
EI L
2
k
L
4
k
M EI
k
1
L
1 tg
kL
Effective length: 2
l
EI
( 0 .
82
L
) 2
k
L
3 .
83 0 .
82
L
2.4. Effect of Loading System 2.4.1 Initially Bent Columns
Initial deformation:
y
0
e
0 sin
x L EI
y
P
(
y
0
y
) 0
k
2
P
/
EI y
k
2
y
k
2
e
0 sin
x L Chapter 2 / 18
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Homogenous and particular solutions:
y
y h
y p y h y p
A
sin
C
sin
kx
B
cos
kx
x L
D
cos
x L C y
e
0 1
A
sin
e
0 1
kx
B
cos
kx y p
1
e
0 1
e
0 sin sin
x L
x L
Boundary conditions:
C
k
2
L
2 2
k
2
e
0 sin
x L
D
k
2
L
2 2 cos
x L
0
C
k
2 2
e
0
k
2
L
2 1 2 /
L
2
D
0 and
D
0
P
1
P E
or
k
2 2
EI L
2
P P E
2
EI L
2
x
0
x
L
2 /
L
2 sin
kL
0
P
P E A
0 Bending deflection:
y
1 Total deflection:
y T
y
0
y
1 1
e
0 sin
x L
e
0 sin 1
e
0
L x
sin
x L
Total deflection at mid-height:
e
1
e
0
y
0
y
0 1
e
0
P P E B A
0 sin
kL
0 1
e
0
Chapter 2 / 19
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Bending Moment:
M
max
P
e
1
P
e
0 1 1
P
e
0 1 1
M
0 Load –deflection curves of initially bent columns
Chapter 2 / 20
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2.4.2 Beam-Column with Lateral Loads
[Chajes, 1974] External Moment:
M
Q
x
2
P
y EI
d 2 d
x
2
y
P
y
Q
x
2
k
2
P
/
EI y
A
sin
kx
B
cos
kx
Q
x
2
P
Boundary conditions:
x
0
x
y
L
/ 2
y y
Q
2
P
k
sin cos
kx kL
2 0 0
k
B x
A
0 2
k Q
P
1 cos
kL
2 Midspan Deflection:
y
max
Q
2
P
k
sin cos
kL
2
kL
2
k
2
L
y
max
Q
2
P
k
(tg
u
u
)
u
k
L
/ 2
y
max
Q
L
3 48
EI
3 (tg
u
u
)
u
3
Chapter 2 / 21
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Deflection with Lateral Load:
y y
max, 0
Q
L
3 48
EI
max
y
max, 0 3 (tg
u u
3
u
) tg
u
u
1 3
u
3 2 15
u
5 17 315
u
7
u
2
P
L
2 4
EI
2 , 46
P P E y
max
y
max, 0 1 0 , 987
P P E y
max, 0 1
P P E
P P E
0 , 998
P P E
2 2
y
max
y
max, 0 1 2
u
2 5 17 105
u
4 Since the sum of the geometric series 1 /[ 1
P
/
P
]
k
2
P
/
EI
and
u
k
L
/ 2
y
max
y
max, 0 1 1
P P E Chapter 2 / 22
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Restricted Superposition:
Beam-Column Load –Deflection Characteristics Bending moment at midspan:
M
max
M
0
P
Q
L
P
4
M
max
M
max
Q
4
M
0
L
1
P
Q
48
EI
0 .
18
L
3
P
1 1
P P E P E
1
P P E M
max
M
0 1 1
P P P E P E
[Dischinger, 1937]
Chapter 2 / 23
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Load Cases
M
0
P
e
0
P
e Q
L
4
q
L
2 8 0 .
128
q
L
2 2
Q
L
8
q
L
2 24 0 0.273
–0.189
0.0324
0.0324
–0.189
“1”: +0.121
“2”: –0.362
Chapter 2 / 24
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2.4.3 Guided Load System
P H
P
L
Pylon of Cable Stayed Bridge Through Truss Bridge
Chapter 2 / 25
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Cantilever with Pendelum
Chapter 2 / 26
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Bending Moment:
M x
P
y
P
m
L
x
P
1
m
tg(kL)
EI
d 2 d
x
2
y
M x
P
y
P
m
L
x
P
1
m
tg )= L k f( L (k
k
2
P
/
EI y
k
2
y
k
2
m
L
x
k
2 1
m
y
A
sin
kx
B
cos
kx
m
L
x
1
m
det sin 0 1
kL
1 0 cos
kL
1 1 1
m k
m
0
L
0 If (c) root 0
m
0 , 1
k
f( kL )= (1 + m )k L , f(k L) =k L, f(k L) =( m > 0 1+ m m =0 )kL (a) root , m <0 (b) root /2 tg
kL
( 1
m
)
k
L
L
0 .
518
P kr
0 .
268
EI L
2 2 kL
Chapter 2 / 27
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával L 3 1 2 mL P L -3 -2 -1 0 1 2 3 4 m Effective Length Factor with the Length of Pendelum mL=– mL=+
Chapter 2 / 28
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2.5. Inelastic Buckling of Columns
Tetmayer [1901] (a) Cast iron (b) Wrought iron (c) Steel (d) Ni-steel
Chapter 2 / 29
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2.5.1 Early Development of Inelastic Column Theories
[Engesser, 1889] Original Engesser Theory
Chapter 2 / 30
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2.5.2 Reduced Modulus Theory
[Considére, 1891] [Jasinsky, 1895] [Engesser, 1898]
Chapter 2 / 31
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
kr
(
L
2 /
i
)
T
2
M ext
P
y
Reduced Modulus: 1
b b
2
b
2
M
int
E t
d
1 2
d
1 3
d
1
E
d
2 2
d
2 3
d
2
T
I
3 (
E t
d
1 3 1 /
b
3 : (
E t
d
1 3
M
int
E
d
2 3 1 )
b
3 (
E t
d
1 3
E
d
3 2 )
T
I
E t
d
1
b
2
d
1
E E
d
3 2 )
d
1 2
d
2
b
d
2 2
E E t
d
2 2
I
b
(
d
1 12
d
2 ) 3
T
E t
4
E t
E E
2
E t
T
E Chapter 2 / 32
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Tests by Karman
Chapter 2 / 33
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2.5.3 The Shanley Contribution
[Shanley, 1943] [Johnston, 1961] [Tall, 1964] Shanley model column Deflection of initially straight centrally loaded column Strain distribution and column deflection
Chapter 2 / 34
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2.5.4 Tangent Modulus Theory
M
int
E t
E
2
t
d b
d
12
b
d
3 4 2 3
d E t
I
t
2
E t
(
L
/
i
) 2 Tangent Modulus Concept
Chapter 2 / 35
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Progressive stress distribution as column is loaded
Chapter 2 / 36
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2.5.5 The Csonka Contribution
[Csonka, 1951] Distribution of stresses
Chapter 2 / 37
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Buckling as of Engesser - Karman - Shanley
Chapter 2 / 38
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2.6. Critical Load of the Euler Column – Energy Method 2.6.1 Conservation of Energy Principle
A conservative system is in equilibrium if the strain energy stored is equal to the work performed by the external loads.
For an axially loaded bar it remains perfectly straight, the external work is given:
L k
1 2
P
a
a
P
L EA
Strain energy stored in the member:
L b
P
2
L
2
EA P
2
L
2
EA P
2 2
L EA L k
L b
b
S
L
d
s
d
x
2 d
y
2 1 d
y
d
x
2 d
x S
0
L
1 d
y
d
x
2 d
x
Column shortening due to axial compression and bending
Chapter 2 / 39
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Binomial theorem: (
a
b
)
n
a n
n
1 !
a n
1
b
n
(
n
1 )
a n
2 2 !
b
2 If deformations are assumed to be small.
L b
EI
2 0
L
d 2 d
x
2
y
2 d
x
Grammel-quotient: Rayleigh-quotient:
S
b
0
L
1 1 2
S
L
External work: d
y
d
x
1 2 0
L
2 d
x
d
y
d
x
2 d
x P cr
,
G
0
L
0
L y
2 d
x y
2
EI
d
x y
A
sin
x L P cr
,
R
0
L EI
0
L
y
2 d
x y
2 d
x
2
L k
P
b
P
2 0
L
d
y
d
x
d
x L k
A
2
P
2 2
L
2 0
L
cos 2
x
d
x L
A
2
P
2 4
L
Strain energy:
L b L b
1 2
L
0
M
2
EI
1 2 0
L
M
d
x
1 d
x
1 2
P kr
2
EI
y
2 d
x
1 2
P kr
2
M
EI
L
0
y
2
EI
d
x
1 d 2 d
x
2
y L b
A
2
EI
4 2
L
4
L k
L b
0
L
sin 2
x
d
x L
A
2
EI
4 4
L
3
P kr
2
EI L
2
Chapter 2 / 40
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2.6.2 Calculus of Variations
The calculus of variations is a generalisation of the max. or min. problem of ordinary calculus. It seeks to determine a function y=y(x) that extremizes a definite integral: I
x x
2 1 f(
x
,
y
,
y
, ,
y
(
n
) ) d
x
extr!
Thus the calculus of variations is not a computational tool for solving a problem. It is only a device for obtaining the governing equations of the problem.
[Hoff, 1956] [Chajes, 1974] Strain energy:
L b
0
L
EI
2 (
y
) 2 d
x
External work: Potential energy:
L k
0
L
P
(
y
) 2 d
x
2 2 0
L
EI
2 (
y
) 2
P
2 (
y
) 2 d
x
( 2 0 ) 0 Boundary condition:
y
(
x
0 )
y
(
x
L
) 0
Chapter 2 / 41
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Nearly function:
y
(
x
)
y
(
x
) (
x
) 0
L
(
EI
y IV
P
y
) d
x
0 2 0 0
L
EI
2 (
y
) 2
P
(
y
2 ) 2 d
x
EI
y
L x
0 0 Extremum value: d( 2 ) d 0 0 d( 2 ) d 0
L
EI
(
y
)
P
(
y
) d
x
0 : 0
L
(
EI
y
P
y
) d
x
0 Second term: 0
L y
d
x
0
L
y
d
x
First term: 0
L y
d
x
y
L x
0 0
L
y IV
d
x
0
L
(
EI
y IV
P
y
) d
x
EI
y
L x
0 0 (
x
0 ) 0 (
x
) 0 (
x
L
)
EI
y IV
P
y
0 Natural boundary condition:
EI
y
x
0 0 Geometric boundary condition:
y
(
x
0 ) 0 (
x
L
) 0 (
x
0 )
EI
y
x
L
0
y
(
x
L
) 0
Chapter 2 / 42
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2.6.3 Buckling Load of Column with Variable Cross-section
Rayleigh –Ritz Method
Buckled shape:
y
a
sin
x L
[Koranyi, 1965] Strain energy:
L b
2
EI
0 8
L
4 ( 0
y
) 2 d
x
EI
0 2
L L
2 ( 4
y
) 2 d
x
L
4 ( 0
y
) 2 d
x
a
2 4
L
4
L
4 0 sin 2
x
d
x L
0 , 045
a
2 4
L
3
L L
2 ( 4
y
) 2 d
x
a
2 4
L
4
L L
2 4 sin 2
x
d
x L
0 , 205
a
2 4
L
3
L b
0 , 216
EI
0
a
2 4
L
3 External work:
L k
2
P
0
L
(
y
) 2 d
x
P
a
2 2
L
2 2 0
L
cos 2
x
d
x L
P
a
2 4
L
2 Column with varying moment of inertia
Chapter 2 / 43
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával 2 0 , 216
EI
0
a
2 4
L
3
P
a
2 2 4
L
If deflection curve is: d( 2 ) d
a
0 , 432
EI
0
a L
3 4
P
a
2 2
L
0
y
a
1 sin
x
a
2 sin
L
3
x L
Critical load:
a
0 , 864
EI
0
L
2 2
P
0
P kr
0 , 735 2
EI
0
L
2 Critical load:
P kr
0 , 864 2
EI
0
L
2 Error is about 13%.
Exact answer [Timoshenko, Gere, 1961]:
P kr
0 , 65 2
EI
0
L
2 Error is about 33%.
Chapter 2 / 44
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2.7. Design of Columns 2.7.1 Historical Background
Chapter 2 / 45
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2.7.2 Ayrton –Perry formula (1886)
[Rondal, Maquoi, 1979] Initial deformation: Deflection at midspan: First yield limit state:
y
0
e
0 sin
x L e
e
0 1 1
e
0 1 1
P
/
P E P P y
M M y
1
M
P
e
P
1
e
0
P
/
P E P P y
1
P P P E
e
0
M y
1
P P y
P
e
0 1
P P y
P P E y
M y
1
P y
A
H M y
W
H P E
2
EI L
2 2
EA
2
E
E H P y P E
2
Chapter 2 / 46
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
e
0
A W
[Robertson, 1925]:
P
b
0
A
/
W z P P y
1
P y P P y
2 1
W z
I z
/
v
i z
/
v
P
/
P y
1 2 1 [Dutheil, 1947]: 0 , 003
b
0
L
/
L
/
i z
2
C
E
f y
2 ( 1 ) ( 1 2 )
C
1 12
C
2 2 2 ( 1 2 ) 1 0 [Dwight, 1972]: ( 0 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) 2 2 2 4 2 [Rondal, Maquoi, 1978]: ( 0 ) 2 0 2
Chapter 2 / 47