Transcript Stability - Budapest University of Technology and Economics

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Chapter 5
Spatial Buckling of Struts
Chapter 5 / 1
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
5.1. Lateral-Torsional Buckling of Columns
[Halasz, 1965]
[Wagner, 1936]
[Kappus, 1937]
[Goodier, 1941]
[Bleich, 1952]
[Timoshenko, Gere, 1961]
[Vlasov, 1961]
[Murray, 1984]
Chapter 5 / 2
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
5.1.1 Equilibrium Method for General Open Cross-section
Column
Chapter 5 / 3
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(a) Displacements of the cross-section
QM  a
uQ  u  a    sin 
vQ  v  a    cos
sin  
z  z
a
cos 
y  y
a
u Q  u    ( z   z );
vQ  v    ( y   y ).
Centroid C (y=z=0):
uC  u    z
vC  v    y
Chapter 5 / 4
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(b) Equilibrium equations
2
d u
k

M
z
d x2
d2 v
EI y  2   M yk
dx
d3 
d
EI 

GI

  M Tk
T
3
dx
dx
EI z 
Bending moments:
M  P  uC  P  (u    z )
k
z
M yk  P  vC  P  (v    y )
d2 u
EI z  2  P  (u    z )  0
dx
d2 v
EI y  2  P  (v    y )  0
dx
Chapter 5 / 5
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
There are two factors which contribute further torque components.
The first component is due to the fact that P retains its original direction. In the y-x plane,
therefore, P has a component P*du/dx which acts through the centroid. Together with
component of P in the z-x plane the column has thus a twisting moment about the shear centre.
dv
 du

M Tk ,1  P  
 z 
 y 
dx
dx

Chapter 5 / 6
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
The second component contribution to MT is caused by the fact that two cross-sections dz
apart will warp with respect to each other, and therefore the stress element sdA is inclined by
the angle  to the axis x.
  a
d
dx
The component of the stress element is
(s  d A)  a 
d
dx
And it causes a twist about the shear centre.
 d 
d M Tk , 2  a  (s  d A)   a 

 dx
M Tk , 2 
d
d P
d
s   a2 d A 
  I p  P  i2 
dx
dx A
dx
A
I p   a 2 d A
Moment of polar inertia for the shear centre
A
i 
I p
A
i  i y2  i z2  z2  y2
Radius of gyration for the shear centre
Chapter 5 / 7
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Saint-Venant torsion:
M SV  GI T 
(c) Solution of equilibrium equations
d
dx
EI z  u  P  (u    z )  0
Non-uniform torsion:
EI y  v  P  (v    y )  0
d3 
M    EI  3
dx
Equilibrium:
M Tk,1  M Tk,2  M SV  M
du
P  z 
 P  y
dx
d3 
 EI 
 GIT
d x3
dv
d

 P  i2 

dx
dx
d

0
dx
Boundary conditions:
P  z  u   P  y  v   P  i2    
 EI     G  I T     0

u  C1  sin
v  C 2  sin
L

  C 3  sin
L

L
x
x
x
d2 u d2 v d2 
u  v  


0
2
2
2
dx
dx
dx
Chapter 5 / 8
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Substitution of the deflections and their derivatives into the DE gives three homogeneous
simultaneous equations. The vanishing of the determinant formed by the coefficients C1, C2
and C3 gives the following buckling conditions:




2



C

P


EI

C

0

C

P

z

sin
x  0;
 1 
z 
2
3

2
L
L








2





C

0

C

P


EI

C


P

y

sin
x  0;
 1
2 
y 
3
 
2
L
L









3


2


C


P

z

C


P

y

C


P

i


EI


GI

cos
x  0.
 1

2

3 


T 
3
L
L
L
L
L
L


Non-trivial solution:

 2  EI z
P 
L2


det 
0


 Pz



0
P
 2  EI y
L2
 P  y

P  z



0
 P  y


2






EI
1

i2   P  2  
 GI T  
2
i  L

 
Chapter 5 / 9
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
PEz 
PEy 
  EI z
2
2
L
 2  EI y
L2
1
P  PEx  2
i
 Pz
1 A 1 A
B1   1    2
3 A3 9  A3
 Py
1  A2
B0 
 
27  A3
  2  EI


 

GI
T 
2
L


Third-order algebraic equation:
A3  P  A2  P  A1  P  A0  0
3
2
A3  i2  y2  z2 ;
2

 ;

2

A
1 A A
   1 2 2  0 .
6
2 A3
A3

q1  2 B1  cos ;
 2

q 2  2 B1  cos
  ;
 3

 2

q3  2 B1  cos
  ,
 3

cos 3  
B0
B1
3/ 2
A2  ( P  Py  Pz )  i2  z2  Py  y2  Pz ;
A1  ( Py  Pz  Pz  P  Py  P )  i2 ;
A0  Py  Pz  P  i2 .
1 A
Pq  2
3 A3
1 A
P1  q1   2 ;
3 A3
1 A
P2  q 2   2 ;
3 A3
1 A
P3  q3   2 .
3 A3
The critical value of P is
always less than either Pez,
Pey and P, and must
therefore be computed!
q 3  3B1  q  2B0  0
Chapter 5 / 10
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(d) Plane or spatial buckling load is minimum?
We can prove this as follows.
 P  PEz
det  0
 P  z
0
P  PEy
 P  y
P  z

 P  y   0
i2  ( P  P )
Then:
(a) P  0
F(P)  PEy  PEz  P  0
(b) P  P
Ey
y2
F(P)   P  ( PEy  PEz )  2  0
i
2
Ey
( P  PEz )  ( P  PEy )  ( P  P ) 
y2
 P  ( P  PEz )  2 
i
(c)
2
z2
 P  ( P  PEy )  2  0
i
P  PEz
z2
F(P)   P  ( PEz  PEy )  2  0
i
2
Ez
2
(d)

y2
z2 
F(P)   P  ( P  PEz )  2  ( P  PEy )  2   0
i
i 

2

Let us call the left side of det. F(P)
and assume arbitrarily that:.
PEy  PEz  P
P  P
(e)
P
F( P)  0
Chapter 5 / 11
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Pkr,1  PEy  PEz  P
Critical loads belonging to in-plane and spatial buckling
Chapter 5 / 12
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
5.1.2 Energy Method for General Open Cross-section Column
(a) Strain energy of torsion
St. Venant torsion:
Warping torsion:
d
 GI T 
dx
M SV
d Lb ,T 
d 
d Lb,T
d2 
s   E    E   2
dx
1
 M SV  d 
2
dLb, 
M SV
d x
GIT
d Lb,
2
1 M SV
 
d x
2 GIT
d Lb,T 
L
 d2  
1
1
  E   2     2 d A   EI
2
2
dx  A
L
1
 d 
 GIT  
 d x
2
d
x


1
   GI T
2 0
1
 s    d A
2 A
2
2
Lb ,T
[Galambos, 1968] [Chajes, 1974]
Lb ,
1
   EI
2 0
 d2  
  2 
dx 
2
2
 d2  
  2  d x
dx 
 d 

 dx
dx
2
Chapter 5 / 13
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(b) Total strain energy
L
L
1
1
Lb    EI z  (u ) 2 d x    EI y  (v ) 2 d x 
2 0
2 0
L
L
1
1
   GIT ( ) 2 d x    EI ( ) 2 d x.
2 0
2 0
(c) The potential energy of
external loads
 1  d uQ
d s  d x    
 2  d x

1  dv
    Q
2  dx

 1  d uQ
S   d s     
2 dx
0
0
 

1  dv
    Q
2  dx

L
L
2
2


  1


2
2


  1 d x


L
1  d uQ
  S  L    
2 0  d x

2
  d vQ
  
  dx



2

d x

Lk   s d A
A
From the Pythagorean theorem the
length ds of the deformed element is:
d s  d u Q2  d vQ2  d x 2 
 d uQ
 d x  
 dx
0
2
  d vQ
  
  dx
1
2
2

  1

  1  1  
Chapter 5 / 14
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
The total displacements of the fibre at (y,z) are therefore:
uQ  u    ( z  z)
L
vQ  v    ( y  y)

1
    (u ) 2  2u      ( z  z )  ( ) 2  ( z2  2 z  z  z 2 ) 
2 0

 (v ) 2  2v      ( y  y )  ( ) 2  ( y2  2 y  y  y 2 ) d x.
To simplify this expression, we make use of the following relations:
s 
P
A
d A  A  zd A  0  yd A  0
( A)
2
y
 d A  Iz
( A)
(A)
( A)
2
2
2
2
2
i

i

i

y

z
z
d
A

I

y
z


y

( A)
L

1
Lk      s  (u ) 2  2u      z  ( ) 2  ( z2  z 2 ) 
2 0  A

 (v ) 2  2v      y  ( ) 2  ( y2  y 2 ) d A d x.
The potential energy of external loads:
L


P
Lk     (u ) 2  (v) 2  i2  ( ) 2  2 z  u      2 y  v    d x
2 0
Chapter 5 / 15
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(d) Simple supported column
Assumed buckling shape:
Strain energy:
uv0
x0
xL
Boundary conditions:
d2 u d2 v

0
2
2
dx
dx
u  C1  sin
x
L
v  C 2  sin
x
L
d2 

0
2
dx
  C3  sin
x
L
4
4
1
1
 x
2 
2  x
2 
Lb    EI z  C1  4  sin
d x    EI y  C 2  4  sin 2
dx
2 0
L
2 0
L
L
L
L
L
1
2
1
4
 x
2  x
   GIT  C3  2  cos
d z    EI  C3  4  sin 2
d x.
2 0
L
2 0
L
L
L
L
L
 cos
2
0
 x
L
1 2
Lb  
4 L
L
d z   sin 2
0
L
 x
L
dx 
L
2
2
 2 EI z   2
EI


EI   2 
y
2
2 

 C1 
 C2 
 C3   GIT 
2
2
2

L
L
L



Chapter 5 / 16
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
PEy 
 2  EI y
PEz 
 2  EI z
1
P  2
i
L2
L2
1 2
Lb  
 (C12  PEz  C 22  PEy  C32  P )
4 L

 2  EI
  GIT 
L2




Potential energy of the external load:
P  2 2
Lk  
(C1  C 22  C32  i2  2C1  C3  z  2C 2  C3  y )
4L
Total potential energy:
Lb  Lk    
2
2

 C12  ( PEz  P)  C 22  ( PEy  P) 
4L
 C32  i2  ( P  P)  2C1  C3  P  z  2C 2  C3  P  y .

Stationary value  all the derivatives vanish:
 ( 2  )
 C1  ( PEz  P)  C3  P  z   0;
C1
 (  )
 C 2  ( PEy  P)  C3  P  y   0;
C 2
2
 ( 2  )
 C1  ( P  z  )  C 2  ( P  y  )  C 3  i2  ( P  P)  0.
C 3
0
 PEy  P
det  0
PEx  P
 P  z   P  y 
P  z

 P  y    0
i2  ( P  P )
Chapter 5 / 17
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
5.1.3 Double-Symmetric Open Cross-section
y  z   0
Pkr,1  PEz
Pkr, 2  PEy
Pkr,3  P
5.1.4 Mono-Symmetric Open Cross-section
y  0
Chapter 5 / 18
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Two possibilities considered:
(a) Euler-type flexural in-plane
buckling in x-z plane:
Pcr,1  PEy
(b) Flexural-torsional buckling:
Pcr, 2 and Pcr,3
z 2
( P  PEz )  ( P  P )  P  2  0
i
2
P
P
P2

K
1
PEz P
PEz P
z 
K  1    
 i 
2
[Gerard, Becker, 1957] [Chajes, Winter, 1965]
Chapter 5 / 19
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Parameters to be used:
  b/a
  t  l / a2
Limit curves to separate plane and spatial buckling
Chapter 5 / 20
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Design process:
Pcr, 2  Pcr,3

PEz
Pcr , 2

P  1  A  (1  A) 2  4  (1  B 2 )  A
 z2  2
1  2   P  ( PEz  P )  P  PEz  P  0
i 

i2  P
C 
PEz
2
i2
PEz
A
 2
P C

2 PEz  (1  B 2 )
B

1
z
i
2

 1  A  (1  A) 2  4  (1  B 2 )  A
z  l z / iz
i     z
Ideal slenderness
(1  B 2 )  P 2  (PEz  P )  P  PEz  P  0

Pcr, 2,3 
1
2
2

P

P

(
P

P
)

4

(
1

B
)  PEz  P
Ez

Ez

2
2  (1  B )
Pcr, 2 
P
2
2

1

A

(
1

A
)

4

(
1

B
) A
2
2  (1  B )


(Values of  coefficient
are shown
in the next slide)

Chapter 5 / 21
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Values of  coefficient for spatial (flexural-torsional) buckling
Chapter 5 / 22
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
5.1.5 Column with Closed Cross-section
[Hunyadi, 1962]
d2 u
EI z  2  M zk ;
dx
d2 v
EI y  2   M yk ;
dx
3
d
* d 
EI  3  GI T 
  M Tk ;
dx
dx
d
d
GI p 
 G  ( I T  I p ) 
 M Tk .
dx
dx
d  1  d 4  d 3 M Tk 1 
 


4
4
3

 dx
GI p 
dx
dx
4
I T
  1
Ip
d2 u
EI z  2  M zk ;
dx
d2 v
EI y  2   M yk ;
dx
4
2
d M Tk EI  d 3 M Tk
 d 
 d 
EI  
   GI T 
  


.
4
2
3
dx
GI p d x
dx
dx
Chapter 5 / 23
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
d2 u
EI z  2  P  (u    z  )  0;
dx
d2 v
EI y  2  P  (v    y  )  0;
dx
4
2
 d2 u
d2 v
d2  2 
 d 
 d 
EI   4    GIT  2    P   2  z  
 y 
 i  
2
2
dx
dx
dx
dx
dx

 d4 u
EI 
d4 v
d4  2 

 P   4  z  
 y 
 i   0.
4
4
GI p
dx
dx
dx

PEz 
PEy 
 2  EI z
2
L
 2  EI y
2
L
 Pz ;
 Py ;
1
P  PEx 
  i2

  2  EI
 

 



GI
T 
2
 L

 P  PEz
det  0
 P  z
0
P  PEy
 P  y
P  z

 P  y   0
i2  ( P  P )
EI  2

 2
GI p L
Chapter 5 / 24
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
5.1.6 Lateral-Torsional Buckling of Columns with Imperfections
[Hunyadi, 1962] [Iványi, Hunyadi, 1988]

x
L

a z  B0  sin x
L

  C 0  sin x
L
a y  A0  sin
External moments:


M zk  P  a y  u  z   (  ) ;
M yk  P  a z  v  y   (  ) ;
 d( a y  u )
d( a z  v)
d(  ) 2 
M Tk  P  
 z 
 y 
 i  .
dx
dx
 dx

Equilibrium equation:
d2 u
EI z  2  P  (a y  u )  P  z   (  )  0;
dx
d2 v
EI y  2  P  (a z  v)  P  y   (  )  0;
dx
d( a y  u )
d( a  v)
d3 
d(  )
d
EI   3  P 
 z  P  z
 y   P  i2 
 GIT 
 0.
dx
dx
dx
dx
dx
Chapter 5 / 25
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Solution:
( PEz  P)  A  P  z   C  P  ( A0  z   C 0 );
( PEy  P)  B  P  y   C   P  ( B0  y   C 0 );
 P
 A0  z  B0  y 

z
z



A

P


B

(
P

P
)

C

P



C

0 .
2
2
2
2

i
i
i
 i

z PEy  Pkr,1
A
  
B
y PEz  Pkr,1
P  Pkr,1
i2
B


C
PEz  z z PEy  Pkr ,1 y


y PEz  Pkr ,1 z
i2
A P  Pkr ,1


C Pkr ,1  y y PEz  Pkr ,1 z


z PEy  Pkr,1 y
A  A0 
B  B0 
P
Pkr,1  P
P
Pkr,1  P
C  C0 
P
Pkr,1  P
Open cross-section: P

A0 A

B0 B
B0 B

C0 C
A0 A

C0 C
Closed cross-section: P
Chapter 5 / 26
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
5.2. Lateral-Torsional Buckling of Beams
[Prandtl, 1899] [Mitchell, 1899]
[Timoshenko, 1910] [Lee, 1960]
[Nethercot, 1983]
[Trahair, Bradford, 1988]
Chapter 5 / 27
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
5.2.1 Equilibrium Method for Beams in Pure Bending
(a) Rectangular Cross-section
[Chen, Lui, 1987]
Boundary conditions:
x0
d2 u d2 v
uv

0
d x2 d x2
xL
d2 

0
2
dx
Bending and torsion:
d2 v
EI y  2   M 
dx
d2 u
EI z  2  M 
dx
GI T 
d
 M
dx
Chapter 5 / 28
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
For rectangular cross-section
it is supposed:
I  0
Moment components:
M  M y  cos  M y
M   M y  cos(  90)  M y  sin   M y  
du 
du
du

M   M y  cos 90 

M

sin

M


y
y
dx
dx
dx

Substitution of the expressions in DE,
leads to the following equations:
d2 v
EI y  2  M y  0
dx
d2 u
EI z  2  M y    0
dx
GI T 
d
du
My 
0
dx
dx
Chapter 5 / 29
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2
d2  M y
GIT  2 
  0
EI z
dx
d2 
2

k
  0
2
dx
k 
2
s cr 
M kr


 GIT  EI z
Wy
L  Wy
 0
For rectangular cross-section:
h  b3
IT 
3
A  sin kL  0
Wy 
2I y
h
b  h3
Iy 
12

h  b 3 I z  h 2 12
s cr   G  E 



L
3
4I y b  h 3

B0

 GI T  EI z
L
GI T  EI z
Boundary conditions:
xL
M cr 
M y2
  A  sin kx  B  coskx
x0
Non-trivial solution:
I
 G  E
 z
L
Iy
b
Chapter 5 / 30
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(b) “I” Cross-section
[Timoshenko, 1910]
Initial assumptions and
boundary conditions are the
same as for rectangular
section, but: I  0

d3 
M    EI   3
dx
d2 u
EI z  2  M y    0
dx
d2 v
EI y  2  M y  0
dx
d
d3 
du
GIT 
 EI 

M

0
y
dx
dx
d x3
My
d2 u


EI z
d x2
2
d4 
d2  M y
EI  4  GIT  2 
  0
EI z
dx
dx
Chapter 5 / 31
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
GI
2  T
EI

M y2
EI   EI z
  A1  e nx  A2  e nx  A3  eiqx  A4  e iqx
d4 
d2 
 2 
    0
4
2
dx
dx
C1  2  ( A1  A2 )
C2  2  ( A1  A2 )
  A  e mx
C3  2  i  ( A3  A4 )
C4  2  ( A3  A4 )
A  e mx  (m 4  2  m2   )  0
  C1  ch nx  C2  sh nx  C3  sin qx  C4  cosqx
Non-trivial solution:
m  2  m    0
4
2
Boundary conditions:
 ( x  0)   ( x  L)   ( x  0)   ( x  L)  0
m       2
0  C1  1  C 2  0  C3  0  C 4  1;
  2  
n     
2
2
q 2       2
0  C1  n 2  C 2  0  C3  0  C 4  (q 2 );
0  C1  ch nL  C 2  sh nL  C3  sin qL  C 4  cos qL;
0  C1  n 2  ch nL  C 2  n 2  sh nL  C3  (q 2  sin qL)  C 4  (q 2  cos qL).
Chapter 5 / 32
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
1
0
0
1


 n2

2
0
0

q
0
det 
 ch nL
sh nL
sin qL
cos qL 
 2

2
2
2
n

ch
nL
n

sh
nL

q

sin
qL

q

cos
qL


(n 2  q 2 ) 2  sin hnL sin qL  0
If:
n0
sh nL  0
If:
n0
sin qL  0
If:
n 1
q      2 
q  L  n 
n  1,2,...

L
My
 GIT 
GIT
2






2
2 EI 
EI   EI z  2 EI  
L
2
M
2
cr
  2 GI  2  GI  2 
T
T
  
   EI   EI z
  2 
2 EI    2 EI   
 L

M cr
2


2

EI z   GI T  EI   2
L
L




Chapter 5 / 33
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
5.2.2 Energy Method for Beams in Bending
(a) “I” Cross-section Simple Supported Beams in Pure Bending
[Chajes, 1974] [Allen, Bulson, 1980] [Chen, Lui, 1987]
Strain energy:
2
2
L
L
L
 d2 u 
 d2  
1
1
1
 d 
Lb   EI z    2  d x   GIT   
 d x   EI    2  d x
2
2
d
x
2

0dx 
0
0 dx 
2
Chapter 5 / 34
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Potential energy of external loads:
Lk  2M 

L
1  du f
f    
4 0 dx
uf  u  
2

 d x

L
ua  u   
2
1 d 
h 
f      u     d x
4 0 d x 
2 
1 d u d
  

dx
2 0 dx dx
L
L
2
1  du 
a     a  d x
4 0 dx 
h
2
L
f  a
h
h
2
2
1 d 
h 
a     u     d x
4 0 d x 
2 
L
d u d

dx
dx dx
0
L
Lk   M  
L
L
L
1
1
1
 2    EI z   (u ) 2 d x   GIT   ( ) 2 d x   EI   ( ) 2 d x  M   u     d x
2
2
2
0
0
0
0
Chapter 5 / 35
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Boundary conditions:
x0
L
 sin
u  v  u   0
v       0
xL
2
0
x
L
L
d x   cos2
0
x
L
dx 
L
2
1  GIT  B 2   2 EI  B 2   4 M 2  B 2  L 

    


3
4 
L
EI z 
L
2
u  A  sin
x
L
  B  sin
x
L
B  GIT   2 EI   4 M 2  L 
  0
 


3
2 
L
EI z 
L
EI z d 2 u
 

M d x2
GIT   2 EI   4 M 2  L


0
L
EI z
L3
L2
M
A  B 2 
 EI z
u
B  L2
2

M
x
 sin
EI z
L
M cr


2
  EI z   GIT  EI   2
L
L




2
1 B2  M 2
1
x
2 x
2 
  
  sin
d x   GIT  B  2   cos2 d x 
2
EI z
L
2
L
L 0
0
L
L
2
4
1
M 2  B2
x
2 
2 x
  EI   B  4   sin
dx
  cos2 d x.
2
L
EI z
L
L 0
0
L
L
Chapter 5 / 36
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(b) Fixed Ends Beam in Pure Bending
Boundary conditions:
x0
xL
v  v  u  0
u       0
2x 

u  A  1  cos

L


 2 


  B  1  cos
2x 

L 
1
16A  
2 2x
 EI z 

cos
dx
4

2
L
L
0
2
4
L
1
4B  
2 2x
  GIT 

sin
dx
2

2
L
L
0
2
4
L
1
16B 2   4
2 2x
  EI 

cos
dx
0
2
L
L4
2 
2

  8EI z  A  2  2M  B   0
L 
L

2 
2

  2GIT  B  8EI  B  2  2M  A   0
L 
L

4 EI z 
L
4A  B  2
2 2x
M 

sin
d x.
0
L
L2

A2   2
  4 EI z 
 GIT  B 2 
2
L

2

2 
 4 EI   B  2  2M  A  B 
L

2
 
L
2
2 
2 
  GIT  4 EI  2   M 2  0
L 
L 
2
M cr

2
2

 EI z   GIT  4 EI   2
L
L




M cr



2


 EI z   GIT  EI  
2 
z  L
(   L ) 

L
2x
L
2 2x
sin
d
x

cos
d
x

0
0
L
L
2
L
L
2
 z     0.5
Chapter 5 / 37
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(c) Uniform Bending – The Ends Free to Rotate About Horizontal and Vertical Axis,
but Fully Restrained Against the Warping of End Cross-section
Boundary conditions:
x0
v  v  u  0
u       0
xL
u  A  sin
x
L


  B  1  cos
2x 

L 
1
A2   4
1
4 2
2 πx
 1   EI z  4   sin
d x   EI z  3  A
2
L
4
L
L
0
L
2
1
4 2 L 2  2  GIT
  2   GIT  2   B 
 B2
2
L
L 2
2
1
16 4 L 2 4 4  EI
2
  3   EI  4   B 

B
2
2
L
L3
2
2 2
x
2x
2
  4   M  A  B  2   cos sin
dx 
L
L
L 0
L

8M  
 A B
3L
 4  EI z
8M  
2
 

A

 A B 
3L
4 L3
 4 4  EI  GIT   2  2
  B
 

3
L 
L

2
 4  EI z
2 L3
 A
8M  
B 0
3L
 8 4  EI 2GIT   2 
8M  
  B  0

 A  

3
3L
L
L


M cr



2


 EI z   GIT  EI  
2 
z  L
(   L ) 

 z  0.85
   0.5
This value is 3.3% more than the “exact”
result
Chapter 5 / 38
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
5.2.3 Lateral-Torsional Buckling of Beams with Initial Imperfections
[Hunyadi, 1962]
M    M y  (  );
M    M z  (  );
M  M y 
d( a y  u )
Mz 
d( a z  v)

dx
dx
d(  )

 (M y   y  M z   z )
dx
d2 u
EI z  2  M y  (  )  0;
dx
d2 v
EI y  2  M z  (  )  0;
dx
d 2 (a y  u )
d 2 (a z  v) d 2 (  )
My 
Mz 

 (M y   y  M z   z ) 
d x2
d x2
d x2
d4 
d2 
 EI   4  GIT  2  0.
dx
dx
Chapter 5 / 39
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Pz  A  M y  C  M y  C0 ;
Py  B  M z  C   M z  C0 ;
 M y  A  M z  B  B  ( M y   y  M z   z )  C 
A0 A

B0 B
 M y  A0  M z  B0  ( M y   y  M z   z )  C0 .
Pz  M z ,cr,1
A

B
Py  M y ,cr,1
B  ( M y   y  M z   z )
B

C
Py  M y2,cr ,1
 M z ,cr ,1
Pz  M z ,cr ,1
B  ( M y   y  M z   z )
A

C
Pz  M z2,cr ,1
 M y ,cr ,1
Py  M y ,cr ,1
B0 B

C0 C
A  A0 
M
;
M cr ,1  M
B  B0 
M
;
M cr ,1  M
C  C0 
M
.
M cr ,1  M
A0 A

C0 C
B
– for open cross-section
B
– for closed cross-section
Chapter 5 / 40
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
5.2.4 Design Method: Fundamental Solutions
Two components of vector of
bending moments M :
M y  M  cos
M z  M  sin 
 2 E

f y  s  1 

2
s kr,1  s
L

Bending moments:
d2 u
M    EI y  2  M y ;
dx
d2 v
M    EI z  2  M z ;
dx
Bimoment:
d2 
B   EI 
d x2
Stresses:
sy 
My
Iy
d2 v
 z  E  2  z;
dx
Mz
d2 u
sz 
 y  E  2  y;
Iz
dx
d2 
s  E 
 .
d x2
sH






2

   E s H
 s  1 

sH
f y  L2
 s kr ,1  s

f
y

s  M /W






s kr,1  M kr,1 / W
Superpose:
M My Mz


W Wy Wz
W
M  Wy  Wz
M y  Wz  M z  Wy
Chapter 5 / 41
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Open cross-section:
Closed cross-section:
G  ( I T  I p ) 
d2 
s   E  2 
dx
(a) Mono-Symmetric “I” Cross-section
d2  
s   E  2 
dx

d
d
 GI p 
 M
dx
dx
d M
d2  1 d2 
1




d x 2  d x 2   GI p d x
  g  sin
  g  sin

L

L
x
  C  sin
x

g  C

   A0  y  B0  z 
     L2

L
x

 C0   

[Hunyadi, Ivanyi, 1991]
Equilibrium DE:
EI z  u   M  (  )  0;
EI    IV  GIT    M  (a   u ) 
 M  f y  (  )  0,
Chapter 5 / 42
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
u  A  sin

L
a  A0  sin
Pz 

L
 2  EI z
L2
x
x
  C  sin

L
  C 0  sin
x
r

x
L
 2  EI
B 
 GIT
L2
Pz  A  M  C  M  C0 ;
 M  A  ( B  M   y )  C  M  ( A0   y  C0 )
B  y  y


Pz
2
2
Critical moment:
M cr,1, 2
D0
 Pz   y
  B  Pz  
 2
Pz   y

 
2

2
1
 (C 0  M  B  A0  M 2 );
D
1
C   ( A0  M  Pz  C 0  M 2  C 0  Pz  M   y ),
D
B 

M  A0   M   
r 

A
 ( M cr,1  M )  ( M cr, 2  M )
D  Pz  ( B  M   y )  M 2
M cr,1  Pz  r
A
r

M  ( M  A0  B  C 0 )
M  M  C 0  Pz  (C 0   y  A0 )

A
A0
M cr ,1
M
At the beginning of buckling:
r  A0 / C0
M cr,2  B / r
C
1
C0
M cr ,1
M
1
Chapter 5 / 43
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
n  f y / sH
Safety factor:
s
M
 z max
Iy
k 
s
sH
M1
 z max
Iy
s1 
12 
 
2
E
s1
fy
2 E
fy
 k   1   12  12
1 
s  s  E  y
fy  n
My
Iy
 z max
1 

 1  12  2E  2 
2 
L 
  A0  ymax  C0   max
max
 u  E  max  
E   2 A0  y max E   2



2
M
L
L2
cr ,1
1
nM

C 0   max
M cr ,1
1
nM
Chapter 5 / 44
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
For double-symmetric cross-section it can
be supposed:
In the previous figure:
A0  0
 max  ( z max  z )  ymax
Thus:
  AD0  y max
D  Pz  B  M 2  M cr2  M 2
AD0  k    (  0,2)
C

f y / s cr
1
 C0  M 2
D
2
At lateral-torsional buckling:
s cr  s1
 1
 r
AD 0    k z    0,2  
 1
 ky
ymax  k z  i z2
1

2E
1 
2
 1   1  1  2      0,2 
2 
1
 1

 M 


2
M
 M cr   C
C 2

C

0
0
2
M cr  M 2
 M 

1  
 M cr 
C1  C  C 0 
1
 M
1  
 M cr



2
 C0
Chapter 5 / 45
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(b) Ayrton-Perry Formula
[Costa Ferreira, Rondal, 1987]
 0  a 0  sin
Initial imperfection:
  0 
1
My
Wy
My
Wy


1
M y2
x
L
Mz  My 
M cr2
My
Mz
 fy
Wz
M y Wy  0


Wy
Wz
Wy

M y 
Wz
1
 My
1  
 M cr



2
 fy
 fy
M y Wy  0
My
M

 2

f

y
Wy
Wz
Wy
M cr  M y2
2
cr
sK 
sK 
My
Wy
Wy  0
Wz
s cr 
M cr
Wy
2
s cr
 2
 f y  sK
s cr  s 2K
Chapter 5 / 46
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
( f y  s K )  (s  s ) 
2
cr
2
K
Wy  0
Wz
Suggestion for the formula:
 sK  s
  Wy 0 / Wz
2
2
( f y  s K )  (scr
 s2K )    s K  scr
sK
fy
fy
s cr
N
2
 2  2
E
(1  N )  (1  N 2   4 )    N
[Barta, 1972]
2
cr
(i) Costa Ferreira and Rondal I.
    (  0 )
0  0.4
Cross-section

Welded
Rolled
0.60
1.20
(ii) Costa Ferreira and Rondal II.
(1  N )  (1  N  2 )    N
Cross-section

Welded
Rolled
0.32
0.78
Chapter 5 / 47
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(c) Rankine-Merchant Formula
In elastic state:
M y z  x  Kx;
M y  y  Ky;
In plastic state:
 z   z0 
M y   x  ( z   z 0 )  K z ,
1
1
M y2
M y   z  M xpl ;
M cr2
M y   x  M zpl .
M y  M ypl ;
M 
2
y
M xpl  M zpl
x  z
1
1
1


s K s pl s cr
Chapter 5 / 48
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Result:
1
1
1


2
M yK
M pl2 M cr2
Expression:
M
2
yK

M xpl  M zpl
 x   z0 


2
cr
M
2
M yK
 M cr2
1
1
1


2
s 2K s 2pl s cr

M xpl  M zpl

M xpl  M zpl
 x   z0 
M cr2
1
 x   z0
1
 2
M xpl  M zpl M cr

In general:
1
1
1

M pl2 M cr2
1
1
1


n
s nK s npl s cr
;
Fukumoto and Kubo Suggestion
n=2.5 for rolled cross-sections
n=2.0 for welded cross-sections
Chapter 5 / 49
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(d) Experimental Tests and Hungarian Standard (MSZ)
Chapter 5 / 50
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Experimental results for welded cross-sections:
 exp

1,0
ha  k  0,4

  0,3 k2  0,0513 k  1,028 ha 0,4   k  2
1
ha
2  k
 2
 k
Experimental results for hot-rolled cross-sections:
 exp

1,0
ha  k  0,4

  0,493 k  1,197 ha 0,4   k  2
1
ha
2  k
 2

 k
Hungarian Standard (MSZ) regulation:
 1 

 k  
5 
 1  k 
0, 4
Chapter 5 / 51
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(e) Effect of the Shape of Cross-section
[Trahair, 1993]
M cr
 2  EI 
 EI z  GI T
 
 1 2
L

L  GIT

Iy  Iz
Iy
Chapter 5 / 52
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Chapter 5 / 53
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
5.2.5 Design Method: General Solution
[Clark, Hill, 1961]
L

1
     EI z  (u ) 2  EI  ( ) 2  GIT  ( ) 2  2M    u  
2 0
Total potential energy:
2

 2  y  M  ( ) 2  d  p   2 d x.
From the equilibrium:
EI z  u   M    0
Transversal load:
p  M 
Transformation:
X 
x
L
m
M ( x)
M
Bending Moments
1
M2
M
  m2  2  d X  2
EI z 0
L
2
1
 1 d2 m 2

 d 
 d  



d
X

2


m

d
X



y 
2
dX 
0
 0 d X

EI 1  d 2 
GI T 1  d  
 2  
 d X  4   
L 0dX 
L 0dX 2
2
2

 d X  0.

Chapter 5 / 54
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
d2 
I   m  d X  
dX
2
d
X
0
0
1
1
2
2
 d 
0  d X  d X
C1 
I
2
1
1
(Eurocode 3)
 2  EI z
M cr  C1 

(k  L) 2

I
 C 2  d  C3   y  (C 2  d  C3   y ) 2  
Iz

  M e / M max
C1 
 GIT  (k  L) 2  
 
 1 
2
  EI   


1

2
d m 2
 d X
2

d
X
1
C2    0
2
I
Equivalent bending
moment parameter
 d 
m

0  d X  d X
C3 
I
2
1
 d 
0  d X  d X
1
k2  2 
 d2 
0  d X 2
1
2
2

 d X

  M e / M max

3M 2  4M 3  3M 4  2M max
12M max
Chapter 5 / 55
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
5.3. Lateral-Torsional Buckling of Beam-Columns
5.3.1 Stability Requirements. Experimental Results
5.3.1.1 General remarks
Chapter 5 / 56
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
5.3.1.2 Bracing requirements for continuous beams
Chapter 5 / 57
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
5.3.1.3 Bracing requirements for beam-columns
(a) Requirements in the ECCS Recommendations
(b) Proposals of British authors
Chapter 5 / 58
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Chapter 5 / 59
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Chapter 5 / 60
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
5.3.1.4 Test Results [Halász, Iványi, 1979]
(a) Effect of lateral buckling of beam-columns
(b) Effects of change in geometry
 Rankine-Merchant formula:
Chapter 5 / 61
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
5.3.2 Draft of Hungarian Specifications for Plastic Design
[Halász, Iványi, 1979]
Chapter 5 / 62
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Chapter 5 / 63
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Chapter 5 / 64
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Chapter 5 / 65