Transcript Stability - Budapest University of Technology and Economics

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Chapter 9
Semi-Rigid Connections in
Steel Construction
Chapter 9 / 1
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
9.1. Introduction: A Reasonable Principle for Connection Design
9.1.1 Introduction to Connection
9.1.2 Basic Criteria for Structural Behaviour
Strength, stiffness and
deformation capacity of
steel and connections
Chapter 9 / 2
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Moment–rotation diagram
of a beam-to-column
connection (M– curve)
Chapter 9 / 3
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(a) Strength
Analysis of the forces
on the connection
Chapter 9 / 4
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(b) Stiffness
PE 
 2 EI
(2l ) 2
Frame stability
(c) Deformation Capacity
Chapter 9 / 5
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
9.1.3 Classification as a Basis for Design
Moment–rotation
diagrams (M– curves)
Chapter 9 / 6
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Schematisation of
rotational stiffness
Chapter 9 / 7
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Various forms of M– curves
Chapter 9 / 8
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Possible idealisations for M– curves
9.1.4 An Adapted Design Philosophy for Connections
1.
Taking account of overall connection behaviour, carry out an appropriate simple
analysis to determine a realistic distribution of forces within the connection.
2.
Ensure that each component of each force path has sufficient strength to transmit
the required force
3.
Recognising that the above procedure can only give a connection where equilibrium
is capable of being achieved but where compatibility is unlikely to be satisfied,
ensure that the components are capable of ductile behaviour.
4.
Recognising that the preceding steps only relate to static ultimate capacity, ensure
that the connection will achieve satisfactory serviceability, fatigue resistance, etc.
Chapter 9 / 9
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Inconsistency in connection analysis.
(a) Bracket connection; (b) conventional elastic analyses;
(c) stress resultants
Chapter 9 / 10
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
9.1.5 Application of the Design Philosophy
“Simple” beam-to-column and beam-to-beam connections.
(a) Conventional beam-to-column connection with double-web cleat;
(b) beam-to-beam grillage connection with double-web cleats;
(c) single-web cleat connection
Chapter 9 / 11
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Analysis and strength
assessment of beam splice.
(a) Conversion of applied
loading to equivalent system of
forces;
(b) strength checks required to
demonstrate adequacy of
connection
Chapter 9 / 12
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Analysis and strength assessment of an exterior
beam-to-column connection
Fb 
M
db
Fc 
M
2d c
Fb
M

dc db  dc
2 Fc
M

db
dc  db
Chapter 9 / 13
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
9.2. Classification of Connections by Structural Eurocode
9.2.1 Classification of Framed Systems
(a) Introduction
Continuous and hinged systems
– Engineering Definition (ESDEP, 1994)
– Eurocode Definition (EC3, 1993)
Chapter 9 / 14
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
– Engineering Definition (ESDEP, 1994)
Experimental M– relations of
connections /a
Chapter 9 / 15
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Experimental M– relations of
connections /b
Chapter 9 / 16
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
– Eurocode Definition (EC3, 1993)
Eurocode classification
boundaries for rigid beam-tocolumn connections in
unbraced and braced frames
Chapter 9 / 17
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(a) Braced and unbraced Frames
Common bracing systems
[ESDEP, 1994]
Chapter 9 / 18
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
– Engineering Definition (ESDEP, 1994)
Pinned connection structure split into two sub-assemblies
Partly framed structure split into two sub-assemblies
– Eurocode Definition (EC3, 1993)
K a  0.8( K a  K b )
K a  4K b
Chapter 9 / 19
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(b) Sway and Non-sway Frames
Braced frame (but may be a sway
frame if bracing is very flexible)
Unbraced frame (but may be a nonsway frame if it is sufficiently rigid i.e.
insensitive to horizontal loading)
– Engineering Definition (ESDEP, 1994)
– Eurocode Definition (EC3, 1993)
VSd
 0.1
Vcr
Chapter 9 / 20
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
9.2.2 Influence of Connections on the Behaviour of Frames
(a) Introduction
Characteristics of beam-to-column connections
Chapter 9 / 21
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(b) Classification of Connections
– Influence of Connection Flexibility on Elastic Frame Stability
Beam-line and
connection
behaviour
Chapter 9 / 22
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Derivation of approximate moment–rotation
characteristics
Chapter 9 / 23
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
[ESDEP, 1994] [Bjorhovde, Colson, 1989]
Influence of connection rigidity on frame behaviour
Chapter 9 / 24
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
– Influence of Connection Flexibility on Frame Strength
Classification boundaries for connections in respect
to their rigidity
Chapter 9 / 25
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Relationship between  and
F E ( s 25)
F E ( s  )
– Influence of Connection Strength on Frame Behaviour
Chapter 9 / 26
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(c) Modelling of Connections
2
M Rd  1.2 M pl ,b
3
M Rd  1.2M pl ,b
Chapter 9 / 27
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Connection rigidity for
unbraced frames
Chapter 9 / 28
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(d) Relation between Frame and Connection Behaviour
[ESDEP, 1994] [Bijlaard, Zoetemeijer, 1986]
– Plastically Designed Connections in Elastically Designed Frames
– Elastically Designed Connections in Plastically Designed Frames
Chapter 9 / 29
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
9.3. Failure Tests of Two-Storey Steel Frames
9.3.1 Introduction
Full-scale frame tests:
– It enables the effect of column continuity through a loading level to be investigated
– it confirms whether the experimentally observed performance of isolated joints and
sub-frames is indeed representative of their behaviour when they form part of an
extensive frame
9.3.2 General arrangement of experiments
(a) Test Program and Description of Test Frames
– Frame COST 2: proportional loading process, horizontal load ratio: R=Hmin/Hmax=1
– Frame COST 3: pulsating loading process, horizontal load ratio: R=Hmin/Hmax=0
– Frame COST 4: alternating loading process, horizontal load ratio: R=Hmin/Hmax=-1
Chapter 9 / 30
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Overall view of test frames
Chapter 9 / 31
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(b) Loading System
Loading arrangement
Chapter 9 / 32
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(c) Measuring Techniques
Measured
displacements
Cross-sections with
relative rotation
measuring scales
Chapter 9 / 33
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
9.3.3 Some results of the experiments
(a) Test Frame COST 2: Proportional Loading Process
Load – displacement curves
Chapter 9 / 34
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Load – relative displacement curves at the column bases
Chapter 9 / 35
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Load – joint displacement curve
Chapter 9 / 36
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(b) Test Frame COST 3: Pulsating Loading Process
Vertical load – deflection curve
Chapter 9 / 37
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Vertical load – rotation curves
Chapter 9 / 38
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Vertical load – rotation curve
Chapter 9 / 39
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(c) Test Frame COST 4: Alternating Loading Process
Vertical load – deflection curve
Chapter 9 / 40
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Vertical load – rotation curves
Chapter 9 / 41
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Vertical load – rotation curve
Chapter 9 / 42
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
9.3.4 Comparison of test results to theoretical calculations
(a) Modelling of Beam-to-Column Connections and Column Bases
Layout of the connections
 M Rd 
S j  S j ,ini  

1.5  M 
2.7
Chapter 9 / 43
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Moment – rotation curves for
bolted end-plate connections
according to Eurocode 3
Moment – rotation curves for
column bases
Chapter 9 / 44
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(b) Effect of Proportional Loading
Load – displacement curve
For test frame COST 2: load-bearing capacity is P=60.2kN, test showed P=61.5kN
1st order theory - load-bearing capacity is P=69.2kN
Chapter 9 / 45
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
(c) Effect of Variable Loading
Shakedown Analysis [Kaliszky, 1989]
max
s
mb  Μ res
,i  M i  M ti
min
s
mb  Μ res
,i  M i  M ti
mb – Shakedown load parameter
max
M res
,i
min
M res
,i



min

mb   max
 M is  i  M ti  i
res ,i   i   res ,i   i
M is  i  0
mb 
M ti  i

min

 max
res ,i  i   res ,i  i
For test frame COST 3B: shakedown load is P=62.4kN, test showed P=65.0kN
For test frame COST 4B: shakedown load is P=68.3kN, test showed P=70.2kN
Chapter 9 / 46
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
9.3.5 Conclusions
–
Extensive experimental study has been carried out to analyse the
effects of semi-rigid connections
–
Four full-scale, three-dimensional multi-storey frames have been
tested
–
A condensed overview of the features of the experimental set-up
has been given and it has been briefly explained how the
complexities of the 3D nature of the tests were addressed
–
Comparison of theoretical and experimental results showed
reasonable agreement
Chapter 9 / 47
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
9.4. Use of approximate engineering methods [Iványi, Skaloud,1995]
9.4.1 Introduction
9.4.2 Modelling joints in frames
connection
web panel
component s
(endplate, bolt s)
joint = web panel + connection
Joint model of Annex JJ, Eurocode 3
Chapter 9 / 48
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
9.4.3 Influences at column bases
M
N
N
Q
Q
grout
rotation centre of base plate
rotation centre of concrete block
Column bases
Chapter 9 / 49
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
9.4.4 Use of Stability Functions
[Horne, Merchant, 1965] [Horne, Morris, 1981] [Majid, 1972]

N
EI
C
B
MB
MC
LB
F
N
F
MA = s.k. = S.; MB = s.c.k. = T.; F = -s(1+c).k./L = -U./L
Stability functions: rotation at left end
N
MC
EI
F
LB
e
B
B
MB
N
F
MA = MB = -u.k.eB/L = - U.eB/L; F = (2.u-2).k.eB/L2 = V.eB/L2
Stability functions: sway at right end
Chapter 9 / 50
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
2.LA
2.L
A
A
A
C
B
/2
/2
/2
/2
Shear deformation of web panel and its influence for
deformation of members
Chapter 9 / 51
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Table 1. Stability functions including shear deformation of
web panel – fixed bar
Joint end
infinitely rigid part
rigidity: EJ
L
C
L
A
Basic notation:
A
B
F
fixed
N
joint
centre
A
positive signs:
F
Regular end
B
M
A
MC
A

2
e
B
s.k = S
s.c.k = T
M

B

2
A
s.(1+c).k = U
(2.s.(1+c) - 2).k = V
MA
MB

L 
L  
 S  A 1  A V   S k
LB 
LB  


LA 
T  U   Tk
LB 

N
B
eB
k = EJ / LB
 = N.LB / (2.k)
MC
F


L  1
1
LA 
U   Sc  U  A V   Uk
S 
LB 
LB  LB
LB


U

LA 
U   Tk
T 
LB 

S
eA

LA  1
1
V
 Uk
U 
LB  LB
LB

U
eB

 1
L
1
 U  A V 
 U k
LB  LB
LB

U

2
2

 


S  2U  LA   2k LA 1  LA   S
L 

LB  LB 
 B


T
1
LB
U
1
LB
U

LA 
T  U   T
LB 

1
LB
1
LB
V
V
1
LB
1
LB 2
1
LB 2
 LA 

LA  1
1
S  U  Sc  U  V  U
LB  LB
LB
 LB 

Chapter 9 / 52
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Table 2. Stability functions including shear deformation of
web panel – hinged bar
Joint end
Regular end
infinitely rigid part
hinged
N
rigidity : EJ
A
L
C
L
A
Basic notation:
B
MA
A
MA
MC
A

2
e
B
s.k = S
s.c.k = T
s.(1+c).k = U

T 2
"
 Sk  k   Sk
S 

A
(2.s.(1+c) - 2).k = V
s.(1-c2).k = S"
S" - 2.k = V"
MC
F
N


2
e
B
B
k = EJ / LB
 = N.LB / (2.k)
F
T 


 Sc  S Tk   Sc


U  1
1

 U k  Tk 
 U k 
S  LB
LB


U2  1
1
 V 
 2  V  2
S  LB
LB

eA
U  1

 1
U k  S Tk  L  U k L

 B
B
T 1
1

U 1  
 S 


S LB
LB
eB
U  1
1

 U k  Tk 
 U k 
S  LB
LB

T 1
1

U  1  
  S 

S  LB
LB
Tk



 S   S T   S 


T



 S  c  T    S c
S



2
positive signs:
F

U2  1
1
V 
 2  V  2
S  LB
LB

  T  L  1
1
U 1    A V 
 U  
S  LB  LB
LB
 
Chapter 9 / 53
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Displacement Method:
q = K u 



q* is the load vector,
K* is the stiffness matrix and
u* is the displacement vector
In general form the M–
functions (moment - relative
rotation correlation at the local
flexibilities) can be written:
M  R    M1
Loading:
M
initial rigidit y R
o
M 
o o
softening
unloading with
initial rigidit y
S
( )
loading with
sec,o
secant rigidit y S sec( )
R  Ssec ( )
M1  0

Spring characteristic
Unloading: R  S sec,0
M1  M 0  Ssec,0  0
Chapter 9 / 54
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
9.4.5 Extended Use of Stability Functions and Springs
–
This above detailed method is suitable to analyse elastic members, taking
allowance for geometric non-linearities (second order effects).
–
As the spring rigidity functions theoretically can be of any shape, with this set
of expressions those cases also can be treated, when the spring rigidities
involve some plastic, hardening or softening phenomena.
–
The use the stability functions together with all of those possibilities, which
were detailed before, can be extended to carry out an elastic - plastic hinge
analysis.
–
When the frame to be analysed is carrying distributed loads, it is preferable
to substitute it with concentrated ones, because those sections, in which
plastic hinges develop in a member of distributed loading, are generally not
known in advance
–
Either non-linear behaviour of connection or plastic behaviour of the material
is the reason of the relative deformations, it should be always kept in mind,
that loading (increase of deformations accompanied by either increase or
decrease of load intensity) follows the mentioned curves, while unloading
(decrease of deformation and loading together) is always elastic (follows the
initial rigidity).
Chapter 9 / 55
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
9.4.6 Demonstrative Example
[Ivanyi Jr., 1993]
Three types of frame knees were tested: (i) no stiffeners, (ii) horizontal
stiffeners, (iii) horizontal + diagonal stiffeners. The ratio of H:V=0.5:1.
H
V
welded
connection
bolt axis
loading device
Test model built up from hot rolled sections
Chapter 9 / 56
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Allowing for the real conditions, some simplifications were made, as:
1. a strong steel device was constructed to transfer the loading and to support the
test frame – there were no foundation displacements;
2. flexibility of welded connection on the interface of beam-to-column is small –
there is no need for connection springs at beam ends,
3. beam-to-column connections are not stronger than the sections themselves – no
need for plastic hinge springs around the joints.
KS1
KS2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
m
m
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0.05
0.1

0.15
0.2
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2

Moment – rotation curves by EC 3
Chapter 9 / 57
1
2
5
6
7
8
9
Készült az ERFP
– DD2002
– 3HU – B –4 01 szerzősésszámú
projekt
támogatásával
1
 Sk 1
 S k 2
Tk 2
2
Tk  2
3
4
0
Uk 


-  LB  1
0
 Uk 
- L 
B 1
 Uk 
- L 
B 2
Sk 2
S k 3
Tk  3
0
U 
- LB 
2
Tk  3
S k 3
Sk 4
Uk 
-  L B 
Uk 


-  LB  4
 V 


 2 
 LB  1
0
Tk 1
0
 1
 S 2
T 2
-S
Uk 
 U 
L 


-  B  2 -  LB  2
4
Uk 
L 
 B 3
0
 U 


 LB  3
6
7
8
9
10
Tk 1
0
Uk 
L 
 B 3
0
 U 


- L B  1
0
0
Tk  2
0
0
 S 3
Tk  3
0
Tk  3
0
 V 


 L2 
 B 2
0
 V 


 L2 
 B 3
Sk 2
0
 S3
 U 


 LB  3
S k 3
Tk  4
 U 


- L B  1
0
0
Uk 


- L B  2
U 


 LB 
0
0
Uk

 LB
U 
 L 
- B  4
0


3
0
1


U   U 
- L   L B  3
 B 2
T 1
 S1
 U 


 LB  3
Tk  3
0
 V 


 2 
 LB  4
5
0
-
Spring1
Spring2
0
0
0
T 3
0
 S   3 Tk  4
S   4
 U 


- L B  4
U 


 LB 
U 


 LB 
4
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
T  3
 S 3
0
Spring
Tk 3 3
S  3
0
Spring4 S 
0
Stiffness Matrix
S   2
0
0
10
0
0
T- 4
4
Spring5
Chapter 9 / 58
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
0
0
0
H
V
B
V
0
0
0
0
0
Spring 2
Spring 4
2
E
A
Load Vector
F
3
G
Spring 3
48 cm
D
Frame knee models
4
1
Spring 1
H
Spring 5
Frame model built up from
springs and elastic members
Chapter 9 / 59
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
For example:
Vertical load and joint absolute rotation curves
Chapter 9 / 60
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
For example:
Vertical load and joint deflection curves
Chapter 9 / 61
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
9.4.7 Summary
This subdivision gave a short summary about the possibilities of
constructing more precise, but not too difficult connection models for
frame analysis.
It has been dealing with those simple methods, which can be useful
tools for
–
either to construct envelop curves for the elastic and for the
plastic behaviour separately,
–
or to determine the elastic-plastic response of the frame by
concentrating all of non-linearities into real or pseudo connection
springs, which are connecting the elastic members.
Chapter 9 / 62
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
9.5. Direct Design Method of Steel Frames with Semi-Rigid
Connections
9.5.1 Introduction
The most important parts in steel frames are the beam-to-column connections and the
connections between columns and foundation, since their behaviour greatly influences
the whole structural behaviour (distribution of moments and forces, displacements,
overall stability, etc.).
9.5.2 Behaviour of Beam-to-Column Connections and Column Bases
The classical plastic hinge [Kazinczy, 1914]
Chapter 9 / 63
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
“Generalised Plastic Hinge”
[Ivanyi, 1983]
The beam-to-column connection and the column base
Chapter 9 / 64
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
9.5.3 Effect of beam-to-column connections and column bases on the
behaviour of steel frames
– Modified first order approach:
F0( I )  f I M pl ; M Rd 
[Prager, 1951]
Mpl.Rd – the plastic moment of the cross section,
Mj.Rd – the moment resistance of the semi-rigid
connection or column base.
The virtual work equation furnishes:
 F
i
u   M pl  j
(I )
0
i
i
The required value of Mpl will be:
j
M pl  F
(I )
0
 u


i
i
i
j
j
– Modified second order approach: [Halasz, 1969]
F0( II )  f I M pl ; EI; M Rd ; S joint 
Mpl.Rd –
EI
–
Mj.Rd –
Sjoint –
as above,
the elastic stiffness of the cross sections,
as above,
the rotational stiffness of the semi-rigid
connection or column base.
Chapter 9 / 65
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
First and second order approach
Chapter 9 / 66
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
The second order load-deflection curve differs basically from that based on the first order approach as
follows:
(i)
the branches are curvilinear;
(ii)
the failure load (or peak load) is lower than in the case of the simple plastic
(first order) theory;
(iii)
the failure may occur before the complete yield mechanism has developed and
is followed by unstable behaviour.
In addition, the location and sequence of occurrence of the generalised hinges do not necessarily
coincide with those in the case of first order theory
9.5.4 Assumptions
Let us express the axial forces in the form:
Nk  k  F
Load-displacement
curve
Chapter 9 / 67
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
9.5.5 The case of the “direct method of design”
Load-deflection curves for
different stiffness values
Illustration of the direct method of design
Chapter 9 / 68
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Relatively rigid and relatively flexible frames
in the generalised sense
Chapter 9 / 69
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
We can distinguish two frame types:
–
“relatively rigid” frame: the failure should take place when the number of generalized hinges
has reached the number n of hinges necessary for the complete mechanism, thus i=n;
–
“relatively flexible” frame: the failure load is reached in the presence of a lower number of
generalized hinges than that transforming the structure into a complete mechanism (i<n).
The “deteriorated” critical load :
Fcr ,3 
The “required value of the frame rigidity:
 F
i
F
i
k
k
k
l
i
i
L2
EI 
FF
c
Fcr  Fcr,3
l
F
u3  u3  0
l
u i   M j  j    k ( Fcr ,3  FF )  u u  d x
j
k
FF  i ui   M j j
i
l
Pcr ,3  u u  d x   EI u u  d x
 F
FF  Fcr,3
u i   M j  j    k FF  EI u u  d x   EI u u  d x
j

cEI
L2
j
l
FF  i ui   M pl  j
i
j
M pl  FF
 u

i
i
i
j
j
Chapter 9 / 70
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
Calculation of the required value of the generalised plastic moment Mpl
Chapter 9 / 71
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
FF  Fcr  Fcr,3
M  M 0  aM
 j   0 j  a j
sign  j  sign  j
j
min
[Halasz, 1969]
[Horne, Merchant, 1965]
0
Interaction between axial
force and full plastic moment
9.5.6 A generalisation of Shanley's phenomenon
 u
i
i
0
[Hill, 1958]
[Halasz, 1967]
Chapter 9 / 72
Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával
The generalized
Shanley's
phenomenon
Bifurcation under
stable conditions
Chapter 9 / 73