Transcript Lagrange-Formalismus

Lagrange-Formalismus
• Warum Lagrange
• Benötigte Begriffe
– Zwangsbedingungen (holonome)
– Generalisierte Koordinaten
• Lagrange-Gleichungen
– 1. Art (Bestimmung der Zwangskräfte)
– 2. Art (Bestimmung der Bewegungsgleichungen) Euler-Lagrange-Gleichung
Variationsrechnung (Hamilton´s Wirkungsprinzip)
• Beispiel
Warum Lagrange
• Alternative zu Newton
Weiteres Werkzeug zur Bestimmung von Bewegungsgleichungen
Aber beliebige Koordinaten wählbar
• Zwangsbedingungen leichter implementierbar
Explizites Ausrechnen der Zwangskräfte relativ leicht möglich
Oder Elimination der Zwangskräfte durch generalisierte Koordinaten -> Reduktion der Dimension des
Problems (Freiheitsgrade)
• Zu lösenden Gleichungen invariant unter Koordinatentransformationen
Behalten immer die gleiche Form
• Bessere analytische Möglichkeiten
(zB. Symmetrien <-> Erhaltungsgrößen ; Begriff der Gesamtenergie bei v-abhängigen Potentialen)
Benötigte Begriffe
• Holonome Zwangsbedingungen
(griech.: „ganz gesetzlich“)
– Gleichungen zwischen den Ortskoordinaten
(auch explizite Zeitabhängigkeit zugelassen)
– Darstellbar als vollständiges Differential einer Funktion
Generalisierte Koordinaten
• An das Problem angepasste Koordinaten
• Können die `Dimension des Problems` verringern
Jede Zwangsbedingung entspricht dem Festhalten einer generalisierten Koordinate
-> Reduktion der Freiheitsgrade
Lagrange-Funktion
• L=T–V
T … kin. Energie
V … verallgemeinerte potentielle Energie
Die Lagrange-Gleichung(en)
• Lagrange-Gleichung erster Art
s …. Anzahl der Zwangsbedingungen Fk = 0
λk … Lagrange-Multiplikator
Koordinatentransformation
L = T –V , Q = -∇V
Lagrange-Gleichung 2.Art (Euler-Lagrange-Glg.)