Transcript Copyright

Copyright
By [email protected]
Notational Conventions
For Heading Slides:
 Background
 Hue: Red, Yellow, Green, Cyan, Blue, Magenta
as in Iris
 Saturation decreases
 Brightness increases

 Color offset to Background
 Font size
 decreases
 Position
 Shifted right
Sideline slides are grey
Notational Conventions
Unordered List Bullets
Ordered by color and the bigness of colored area
Font size decreases





内容
有限的集合
递归定义的可数集合
无限集合
 定义
 性质
 关系
 运算
很多东西放在一起
 不讲顺序
 忽略重复
有限的集合
对于有限的元素，可以通过穷举来定义集合
 ｛1，2｝
 ｛2，1｝
 ｛3，1，3，2｝
 {} Φ
 Ω:根据上下文包含我们所有谈到的事物
Element of
∈
∉
必须两者取其一，且仅取其一
 帅哥 is not a set.
否则：模糊集合、悖论
元素
集合的元素可以是任何东西，包括集合本身.
The following 4 sets are different from each
other
 {}
 {{}}
 {{},{{}}}
 {{}, {{}},{{},{{}}}
势 Cardinality
元素的个数
比如 {}的势为0，｛{}｝为1，｛｛｝，｛｛｝｝｝为
2
有限集合的势为自然数。反之亦然。
A的势记为#A或|A|
集合的关系
由于集合的定义完全由其元素是哪些决定，所以集合
的关系也在于他们的元素。
集合的基本关系
子集、真子集
⊆ ⊇
⊂ ⊃
⊄ ⊅
=
Joint
 有共同的元素
Disjoint
disjoint
Venn Diagram
Joint
Not Disjoint
Subset/superset
Proper subset/superset
equality
=
集合的运算
集合A和B的运算得到C，则
 x∈A 和x∈B运算得到x∈C的值

这是逻辑运算
Intersect
A∩B=C
 x∈A & x∈B = x∈C
满足结合律
n
A
i
i 1
Union
∪
x∈A | x∈B =
x∈C
n
A
i
满足结合律
i 1
Subtract
差集： A-B=A\B=C
 x∈A & x∉B = x∈C
对应逻辑的
↛
补集：Complement of A
 U-A
A
∆
Symmetric Difference
运算律
A B  A  B
A B  A  B
其它转换
Cartesian Product
记录学生选课情况—所
有备选情况为一个集合，
元素为元组<学生，课程
>，
此为Cartesian Product
课程1
课程2
课程3
学生1
学生2
学生
课程
1
1
N
1
2
N
1
3
Y
2
1
Y
2
2
Y
2
3
N
Power Set
A collection of all the subsets of a set.
 {1,2}
{}
 {1}
 {2}
 {1,2}

|P（A）|=2^|A|
 ‘cuz every member can be either be included or
not included.
Recurring
{}
{{}}包含前面定义的{}
{{},{{}}}包含前面定义的{}和{{}}
{{}, {{}},{{},{{}}} 包 含 前 面 定 义 的
{},{{}},{{},{{}}}
…… 包含前面所有的
……
Properties
Nothing ∈ 0
 Well-founded
 Regular
 There is an end
0∈1∈2∈3∈…… to infinity
 No end
Recurring Set vs Natural Number
{}=0
{{}}={0}=1
{{},{{}}}={0,1}=2
{{}, {{}},{{},{{}}}={0,1,2}=3
……
countable
可以和自然数N一一对应
 Countable 可数个，可列个
凡是和N一一对应的，我们统称为可数个
 你可以一个一个编号（号码是自然数）
这是我们最开始定义的无限，具有重要意义
 我们能够定义、认识无限了。

用有限定义有限，成为认识。
 无限两个字是有限的，但定义了无限这个意义
Cardinality
有限集合的势为自然数
|N|>任意的自然数
 自然数都是有限的
 N是无限的

0，1，2，……,N
等势
对于有限集合，A ⊂B 则 #A<#B
对于无限集合，则不一定成立
 #偶数=#N ！

f(n)=2n
当有无限的时候，直观往往不准；即按照直观推导会
产生悖论。
势的计算
有限个可数集合的并仍然可数
#整数=#N!
 因为整数可以按照一定的规则编号（对应自然数）

0，-1，1，-2，2
 f(n)=
 n/2 if n为偶数
 -（n+1）/2 if n为奇数
The diary of Tristram Shandy
Tristram spends two years to write about two
days…, will all his life be covered?
How to define a countable set?
Enumeration is not ok
You can recursive define
 {},{{}},{{},{{}}},…
 即：
 先定义好第一个：{}
 对于已经定义好的，给定一个转换，转换出新的一个。
 { 把以前的都放进来
}
But the definition itself must be finite
 比如上面的把以前定义的都放进来。
 以前定义的毕竟有限，所以转换会在有限步结束
 如果不能在有限步结束，我们就不知道转出来的是什么，这
个就无法定义
计算机程序
如果一个集合是可数的，则可以编制计算机程序，把
其中元素一个个列举出来。这里的一个个列举是指：
 在程序已经编定的情况下，你任意指定一个集合中的元
素，程序都会在有限的时间内列举到你指定的元素。
举例
Ienumerable<BigInteger> N(){
for(BigInteger i=0;i++;)
{
yield return i;
}
}
//上述集合虽然在计算个数等属性时不会终止，但仍
可以进行其它一部分运算，因此是有意义的
N（）.First();
N().TakeWhile(…);
可数的集合 比 任意的有限集合要大
 可数是无限的
有没有比“无限”还大的？
不可数
Uncountable-R
|R|>|N|
Proof: Suppose it’s countable, then
1. .101101001000…
2. .001100010100…
3. .110000111001…
4. .000010100111…
Write down .0110…. It can be placed nowhere!
R=2N
1. .0111111010…
2. .1001000010…
3. .0101110101…
4. .0111000011…
定义自然数子集
数位（通过整数）与自然数对应
0，1对应含不含这个元素
则 #R=2#N
实数的无限 比 自然数的无限大
虽然都是无限，但不一样。需要加以区分
 可数的
 不可数

比可数大
 有没有介于两者之间的呢？
Continuum Hypothesis
#R > #A > #N ?
 No
This cannot be proved or disproved.
R2
Points on the plane are as much as the points
on an axis
(x,y) 与 z的对应
 把z的奇数位和偶数位作为x和y
Can we have a system which generates functions
to order?
 No!
Computer language with flow controls of
 Sequential
 Switch
 Loops
Cannot express more than countable.
So human has to do the job himself; and this
means human has some more powerful means of
logic than computer language nowadays.
幂集的势总是大于对应的集合
2R
the set of all subsets of R, i.e., the power
set of R, written P(R) or 2R
RR=2R
the set RR of all functions from R to R
Na
For each set S, #P(S)>#S
{Function SS }=#S#S
No upper bound
我们发现集合的无限可以没有穷尽
 有当我定义了一个无限后，就产生了更大的无限
The cardinality of the natural numbers is (read
aleph-naught, aleph-null, or aleph-zero),
the next larger cardinality is aleph-one , then
and so on.
Infinite
#A>#B
 if
there is an injective function,
bijective function, from B to A.
but
no
我们定义了有限的集合，可数的，Aleph系列的集合
可见一个对象如果是集合，那这个对象可以很大。
集合可以无限地无限大，是不是就能装下所有的东西
呢？
如果我们把所有的集合放在一块，称之为集合X。
由于X是集合，而X包含所有的集合，所以 X∈X。
可不可以呢？
如果按照前面讲的，0∈1∈2∈3∈……
 左侧必须到头，右侧可以无穷的话，X∈X就不可能！
 不存在包含所有集合的集合。
那么包含所有集合的东西就不是集合，或者说X∈X这
样的集合不存在（虽然X∈X若不是集合的话可能存在
）
 存在比集合还大的概念！

哪怕集合可以无限地无限大
 这种定义叫做类
类 Class
类是 用谓词定义的。
 X>2 表示一类数，显然这也是个集合
 集合是个类。所有的集合 叫做 集合 类。但集合类 概
念本身 不是 集合
否则就陷入循环定义
 这也是在集合理论领域，集合是不加定义的原因
 集合是在类中定义的一类事物

Russell’s Paradox
用谓词定义
 R={x|x ∈ x} 不存在这样的X

所以R这个类是若是集合必定是空集。
 R={x|x∉x}
 Then R∈R⇔R∉R

可见谓词定义的不一定是集合。
若想用谓词定义集合又能一致，必须符合一定的约束
 不能随便定义
哪些约束可以呢？不同的人有不同的看法。
 流行的是ZF (Zermelo-Fraenkel Set Theory)公理+选
择公理(Axiom of Choice)
 这些公理都可以表示成一阶逻辑
1. 外延公理: 两个集合相同，当且仅当它们拥有相同的元素。
2. 空集公理: 存在着一个不包含任何元素的集合，我们记这个
空集合为{}。
3. 配对公理: 假如 x , y 为集合，那就有另一个集合{ x , y }包含 x
与y作为它的仅有元素。
4. 并集公理: 每一个集合也有一个并集。也就是说，对于每一
个集合x，也总存在着另一个集合 y，而y的元素也就是而且只
会是x的元素的元素。
5. 无穷公理: 存在着一个集合x，空集{}为其元素之一，且对于
任何x中的元素y，y U {y}也是x的元素。
6. 分类公理（或子集公理）：给出任何集合及命题P( x )，存在
着一个原来集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。
7. 替代公理
8. 幂集公理: 每一个集合也有其幂集。那就是，对于任何的x，
存在着一个集合y，使y的元素是而且只会是x的子集。
9. 正规公理 (or axiom of foundation): 每一个非空集合 x，
总包含着一元素y，使x与y为不交集。
选择公理: (Zermelo‘s version) 给出一个集合x，
其元素皆为互不相交的非空集，那总存在着一个集合y
（x的一个选择集合），包含x每一个元素的一个元素
。
ZF & Axiom of Choice
Godel理论证明了C是独立于ZF的
即根据ZF公理不能证明C错或者对
 其实可以假设C不成立，这套公理系统仍然一致。
所以我们可以不同的公理体系，也许在有些公理下，
原来成立的就不在成立，比如可以存在包含一切（包
括自身）的集合
集合的定义
枚举
递归
公理下的运算（运算意味着属于关系的逻辑运算）
 幂集等集合运算
 谓词
Set theory is the foundation of computation
E.g.
 Number
 Natural Number
 Real
 Relation
 Function

Sequence
Set theory is the foundation of computation
E.g.
 Data Structure
 Type
Tuple
Order is important
 <x,y> is different from <y,x>
Bag-Multiset
Not distinct
 {1,1,2} is different from {1,2}
Convertible to {<object,#>,…}
 {<1,2>,<2,1>}
Table is a bag of tuples
Id
Name
Sex
Class
1
Zhangsan
M
1
2
LI Si
F
2
…
Array
In Memory
 Continuous
 Elment of same width
Benefits:
 Random Access
 Speedy, Easy
Disadvantage
 Fixed Length

For allocation and leaving space for others
 Can’t hold different types.
 Have to be continuous
LinkedList
Distributable
Slower/ more complex than array
Address
 Limited count
 Taking space
Stack
No random access
Fast access
Different type
Dictionary
Key value pair
Can hold data of different sizes
Type
Typed Tuple
 <Student, Course>
 <张三，语文> ✔
 <1,教室203>
✗
Table
A collection of typed(named) tuples
学生
课程
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
Key: Y = Behavior supported, N = Behavior not supported
COLLECTIONS
Indexed
Variable-size
Duplicates
Sorting
Holds
Bag
N
Y
Y
N
Any object
Set
N
Y
N
N
Any object
List
Y
Y
Y
Dictionary
N
Y
N
N
Key + any object
Array
Y
N
Y
N
Any object
OrderedCollection
Y
Y
Y
N
Any object
SortedCollection
Y
Y
Y
Y
Any object
String
Y
N
Y
N
Characters
Symbol
Y
N
N
N
Characters
Thanks
The end
Countable Infinite
|Q|=|N|=|Z|=ℵ0
 Countable Infinite
for(var i;;i++){
yield return i;
}
//note in finite time, your number will show up.
And equinumerosity
Finite
A={1,2,3,7}
 |A|=4
It’s easy to compare among finite sets.
Infinite
#A=#B
 if there is a bijective function
Bertrand Russell invented the first type theory
in response to his discovery that Gottlob
Frege's version of naive set theory was
afflicted with Russell's paradox. This theory
of types features prominently in Whitehead and
Russell's Principia Mathematica. It avoids
Russell's paradox by first creating a hierarchy
of types, then assigning each mathematical (and
possibly other) entity to a type. Objects of a
given type are built exclusively from objects
of preceding types (those lower in the
hierarchy), thus preventing loops
Weak type
 Dynamic
 Underlying type
Strong type
 Static
 Topmost type
 well-defined is not very well defined.
 to avoid these paradoxes, set theory
axiomatized based on first-order logic
was
Aximorize
ZFC
 Ernst Zermelo
 Abraham Fraenkel
 Axiom of Choice
Type Theory
 Type is acyclic hierachy
Universal/Empty
∅
 {}

Ω
!= {{}}
Special Instances
P
N
Z
Q
R
C