Transcript Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones
lineales
Prof. Adrian Sedano De La Cruz
Método gráfico
La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales,
es una recta . Por lo que el método gráfico:
Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para
determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan.
Ejemplo 7 Resolver gráficamente el sistema
Solución

x  y  1
2x  y  1
Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas.
Observe:
y  2x  1
y  x 1
x
0
–1
x
0
2
y
1
0
y
–1
3
Representando gráficamente las parejas ordenadas (x, y) de cada tabla
en el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas para
determinar la solución. Observe:
y
3
(2, 3)
1
–1
0
–1
2
x
El punto de coordenadas (2, 3) es la intersección de las rectas que son
gráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es:
x  2,
y 3
Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado,
compatible, consistente o independiente y se caracteriza en que las
rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se intersecan
exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a la solución
del sistema.
Ejemplo 8
El sistema

x  3y  1
tiene solución única. Observe:
x  4y  8
y
x  4y  8
2
(4, 1)
1
0
1
x  3y  1
2
4
x
Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de
soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente, y se
caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la
misma recta.
Ejemplo 10 El sistema
y

x

 1

2


 2x  y  2
tiene infinidad de soluciones. Observe:
y
x 
y
1
2
0
1
2x  y  2
2
x
Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema
inconsistente o incompatible, y se caracteriza en que las gráficas de
las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí.
Ejemplo 11 El sistema
y

x

 1

2


 2x  y  3
no tiene solución. Observe:
y
x 
y
1
2
1
x
0
-2
2x  y  3
-3
Interpretación geométrica
Cada ecuación representa una recta:
- y
-
2x + y = 8
.
x + 2y = 7
2x + y = 8
El punto de
corte es la
única solución.
Sistema
compatible determinado
(3,2)
-
x + 2y = 7
C.S. = {(3;2)}
x
Interpretación geométrica
2x
+
-
y
4y = 14
x + 2y = 7
2x + 4y =
14
Rectas
coincidentes:
infinitas
soluciones
-
x + 2y = 7
Sistema
compatible indeterminado
x
C.S. = {(x;y) Є R2 / x + 2y = 7}
Interpretación geométrica
-
y
x + 2y =
7
2x + 4y =
Rectas paralelas:
x + 2y = 7
no admite solución.
8
Sistema
Incompatible
-
C.S. = Ø
2x + 4y = 8
x
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
COMPATIBLE
Determinado:
solución única.
Indeterminado :
infinitas soluciones.
INCOMPATIBLE
CONJUNTO SOLUCIÓN VACIO
Sistemas de Ecuaciones
Ejemplos:
Resuelve cada sistema de ecuacioes por el método gráfico
1)
 2x  y  5

x  y  1
y
Solución :  2 , 1 
x
2x  y  5
x y 1
11
Sistemas de Ecuaciones
2)
x  y  2

x  y  0
y
4
x y 2
3
2
Solución :  1 , 1 
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x5
-1
-2
x y 0
-3
-4
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Sistemas de Ecuaciones
x  y  2
3) 
2 x  2 y  0
Las dos líneas son
paralelas, no tienen
puntos de intersección.
El conjunto de soluciones
es vacío.
y
4
3
2
C .S .  
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x5
-1
-2
-3
-4
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Sistemas de Ecuaciones
x  y  2
4) 
2 x  2 y  4
y
4
3
x y 2
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x5
C .S .    x , 2  x  : x   
-1
-2
4
El sistema es
dependiente y tiene
infinitas soluciones.
Las soluciones se
pueden encontrar
buscando puntos de
cualquiera de las
líneas.
2 x  2 y  4
-3
-4
14
x
AÑOS
ESTAMOS HECHOS UNOS
JOVENCITOS . ENTRE LOS
DOS , 150 AÑOS.
SÍ, RAIMUNDO, PERO YO
SIGO SIENDO 6 AÑOS
MÁS JOVEN QUE TÚ .
y
AÑOS
x+ y= 150
x– y= 6
2
3
2 a+ 2b= 10
3 a+ 2b= 18
+
+2
= 10
= 18
Sistemas de Ecuaciones
Aplicaciones:
1. El precio de un boleto para cierto evento es de
$2.25 para adultos y $1.50 para niños. Si se venden
450 boletos para un total de $ 777.75; ¿cuántos
boletos de cada tipo se vendieron?
S o lu ció n :
S ea x el n ú m ero d e b o leto s ven d id o s d e ad u lto s.
S ea y el núm ero de boletos vendidos de niños.
Obtenemos
el sistema
:
 x  y  450

 2.25 x  1.50 y  777.75
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Sistemas de Ecuaciones
2. Una lancha de vapor operada a toda máquina
hizo un viaje de 4 millas contra una corriente
constante en 15 minutos. El viaje de regreso (con
la misma corriente y a toda máquina) lo hizo en 10
minutos. Encuentra la velocidad de la corriente y la
velocidad equivalente a la lancha en aguas
tranquilas en millas por hora.
S o lu ció n :
S ea x la velocidad de la corriente.
S ea y la velocidad de la lancha.
y  x  velocidad
de la lancha en contra de la corriente.
y  x  velocidad
de la lancha a favor de la corriente. 17
Sistemas de Ecuaciones
U sando la fórm ula para distancia d  vt y
cam biando el tiem po a horas tenem os que:
15 minutos
10 minutos


hora 
1
60
4
10
hora 
1
15
60
1
4
1
6
y  x  4

y  x  4
hora
hora
6
1
1
 4 y  4 x  4

1 y  1 x  4
 6
6
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,
18
Sistemas de Ecuaciones
x  4 millas
y  20 millas
hora
hora
La velocidad de la corriente es, x  4 m ph.
La velocidad de la lancha es, y  20 m ph.
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Sistemas de Ecuaciones
Pos Prueba: Sistemas de ecuaciones
1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
4x + y = 0
-4x + y = -8
2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.
5x - 2y = -1
7x + 4y = 53
3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
2x + 6y = -16
-2x - 13y =
37
4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.
5x + 13y =
12x - 11y =
8
-23
20
Sistemas de Ecuaciones
5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.
3x + y =13
2x - 7y =-7
6. Resuelve el ejercicio.
Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y
obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad el
Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo
invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuánto
deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos
de $ 15,100 al año?
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Sistemas de Ecuaciones
Respuestas
1)
2)
3)
4)
5)
6)
x = 1, y = -4
x = 3, y = 8
x = 1, y = -3
x = -1, y = 1
x = 5, y = -2
$ 110,000 al 11% y $ 60,000 al 5%
22
Fin