Transcript Intervalos de confianza

Estadística Administrativa I
Período 2014-2
Intervalos de confianza
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Estimador puntual
Es un valor deducido de una muestra para
estimar un valor de una población.
Ejemplo…..
Se elige una muestra de 50 ejecutivos de mandos intermedios y le
pregunta a cada uno la cantidad de horas que laboró la semana
pasada.
› Se calcula la media de esta muestra de 50 y se utiliza el valor de
la media muestral como un estimador puntual de la media
poblacional desconocida.
› Un estimador puntual es solamente un valor.
› Aunque se espera que el estimador puntual se aproxime al
parámetro poblacional, es conveniente medir cuán próximo se
encuentra de la realidad.
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Intervalo de confianza
Es un conjunto de números deducidos de
estimadores puntuales que se espera que
estimen el parámetro poblacional.
Estimadores puntuales e intervalos de
confianza de una media
› Se conoce la desviación estándar de la población
𝜎
› Se desconoce la desviación estándar de la población.
– En este caso se sustituye la desviación estándar de la muestra
como un estimador puntual de la desviación estándar
poblacional
𝑆
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Error estándar de la media
› Es la desviación estándar de una población sobre la
raíz cuadrada de la muestra que se esta
observando.
𝜎
𝜎𝑋 =
𝑛
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Ejemplo…..
› En una población se obtuvo una muestra de 20 ejecutivos de
cuenta de una distribuidora de elevadores. Se sabe que la
desviación estándar de la población es de 1.25.
› ¿Cuál es el error estándar de la media?
𝜎
1.25
𝜎𝑋 =
=
= 0.177
𝑛
20
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Nivel de confianza
• Probabilidad de que la media poblacional se
encuentre en el rango especificado.
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Cálculo de Z
› Si se tiene un nivel de confianza,
significa que ya se tiene la
probabilidad.
› El siguiente paso es determinar
cuál es el valor de Z en la curva
normal (distribución de
probabilidad normal).
– Se busca en la tabla normal, dada
una probabilidad, el valor de z.
› Calcular el rango dentro del cual
se encuentra la media
poblacional
𝜇 = 𝑋 ± Z(𝜎𝑋 )
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Ejemplo 1….
› Del Monte Foods distribuye duraznos en trozo en latas de 4
onzas. Para asegurarse de que cada lata contenga por lo
menos la cantidad que se requiere, Del Monte establece que el
proceso de llenado debe verter 4.01 onzas de duraznos y
almíbar en cada lata. Suponer que la desviación estándar del
proceso es de 0.02 onzas y que el proceso se rige por la
distribución de probabilidad normal. Se selecciona una muestra
aleatoria de 16 latas y se determina la media de la muestra que
da como resultado un promedio de 4.025 onzas de duraznos y
almíbar. Calcular el intervalo de confianza del 95% para
determinar si el proceso se está cumpliendo de acuerdo al
estándar establecido.
𝜇 = 4.01
𝜎 = 0.02
𝑛 = 16
𝑛𝑐 = 95%
𝑋 = 4.025
10
. . .Ejemplo 1
› Calcular el error estándar
𝜎
0.02 0.02
𝜎𝑥 =
=
=
= 0.005
4
𝑛
16
› Calcular z
–
–
–
–
–
Nivel de confianza 95%
La mitad del nivel de confianza 47.5%
La probabilidad de 47.5% es 0.4750
Buscar el valor 0.4750 en la tabla 1.9 y 0.06
Sumar ambos valores 1.9 + 0.06 = 1.96
𝜇 = 4.01
𝜎 = 0.02
𝑛 = 16
𝑛𝑐 = 95%
𝑋 = 4.025
› Calcular el intervalo de confianza
𝑋 ± 𝑧 ∗ 𝜎𝑋 = 4.025 ± 1.96 ∗ 0.005
= 4.025 ± 0.0098
4.025 + 0.0098 = 4.0348
4.025 − 0.0098 = 4.0152
› Diagnóstico: La muestra no está dentro del intervalo permitido, la media
poblacional 4.01 es menor que el dato menor del intervalo.
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Ejemplo 2. . .
Se toma una muestra de 49 observaciones de una población normal con
una desviación estándar de 10. La media de la muestra es de 55.
Determinar el intervalo de confianza de 99% para la media poblacional.
- Error estándar :
𝜎
10
10
𝜎𝑥 =
=
=
= 1.4286
7
𝑛
49
- Determinar Z para el 99%
- 99% entre 2 = 49.5%
- La probabilidad de 49.5 es 0.4950
- Los valores para armar z son 2.5 y 0.08.
Z = 2.58
- Calcular el intervalo de confianza
𝑋 ± 𝑧 ∗ 𝜎𝑋 = 55 ± 2.58 ∗ 1.4286
= 55 ± 3.6857
55 + 3.6857 = 58.6857
55 − 3.6857 = 51.3143
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Intervalos de confianza
nominales
• Cuando los resultados posibles solamente son
dos.
Éxito o Fracaso
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Intervalo de confianza para proporciones
1. Proporción de la muestra
𝑋
𝑝=
𝑛
2. Intervalo de confianza
𝑝(1 − 𝑝)
𝑝±𝑧∗
𝑛
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Ejemplo 1. . .
› La junta directiva de HSBC considera la propuesta de fusión con
Davivienda. De acuerdo al reglamento, por lo menos tres cuartas partes
de los accionistas deben aprobar cualquier tipo de fusión. Una muestra
aleatoria de 2,000 accionistas actuales revela que 1,600 planean votar
por la propuesta. Determinar un intervalo de confianza del 95% para la
proporción poblacional y determinar si será un hecho la fusión.
› n es el tamaño de la muestra = 2,000
› X es la cantidad de accionistas que están de acuerdo con la propuesta =
1,600
› Nivel de confianza es del 95%
– 95/2 = 47.5% = 0.4750
:
z = 1.96
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. . .Ejemplo 1
Proporción de la muestra
𝑋 1600
𝑝= =
= 0.80
𝑛 2000
Cálculo de z
- 95% = 47.5 = 0.4750
z = 1.96
Intervalo de confianza
𝑝(1 − 𝑝)
0.8 ∗ (0.20)
𝐼𝐶 = 𝑝 ± 𝑧
= 0.8 ± 1.96
𝑛
2000
= 0.8 ± 1.96 ∗
0.16
2000
= 0.8 ± 1.96 ∗ 0.008944
0.8 + 0.018 = 0.818
= 0.8 ± 0.018 =
0.8 − 0.018 = 0.782
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Ejercicios del libro
› Páginas 301 - 302
– Ejercicio 2
– Ejercicio 5
– Ejercicio 6
– Ejercicio 7
– Ejercicio 9
› Página 312
– Ejercicio 15
– Ejercicio 16
– Ejercicio 17
– Ejercicio 18
 Página 319
Ejercicio 31
Ejercicio 32
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