Transcript მათემატიკა

საქართველოს აგრარული უნივერსიტეტი
გიორგი მიხელიძე

ნატურალური, ირაციონალური, ნამდვილი რიცხვები
კოორდინატთა სისტემა
პროპორცია, პროცენტი
ფუნქცია და მისი გრაფიკი (წრფივი, კვადრატული)
წრფივი, კვადრატული განტოლება
წრეწირი, სამკუთხედი
ფართობის გაანგარიშება (სამკუთხედი, პარალელოგრამი, ტრაპეცია, პირამიდა,
ცილინდრი და ა.შ.)
საშუალო არითმეტიკული, მოდა, მედიანა, საშუალო კვადრატული გადახრა

ლექტორი - გიორგი მიხელიძე e-mail: [email protected]








სლაიდები, საკითხავი მასალა და სხვა საჭირო ინფორმაცია ატვირთული იქნება
ვებ გვერდზე: http://gmikhelidze.yolasite.com

ნატურალური რიცხვები - მთელი რიცხვები,
ერთიდან უსასრულობამდე:
N = { 1; 2; 3; ...}


0 არ არის ნატურალური რიცხვი
N - ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლე
Z0 - მოიცავს N და 0
𝑵 ⊂ 𝒁𝟎




•
შეკრება: ნატურალური რიცხვების ჯამი კვლავ
ნატურალური რიცხვია (ეკუთვნის N-ს)
სხვაობა: თუ m<n, მაშინ m-n არ არის
ნატურალური რიცხვი
გამრავლება: m*n=m+m…+m n-ჯერ
m*0=0 თუ m*n=0, მაშინ ერთერთი მამრავლი
მაინც 0-ის ტოლია
გაყოფა: m:n არის რიცხვი (x), რომელიც
აკმაყოფილებს პირობას - n*x=m
• 0-ზე გაყოფა არ განიმარტება
• 9:2=? 4, ნაშთი 1 (4 ½)

ახარისხება: mn m რიცხვის n-ური ხარისხი, სადაც m
არის ფუძე, n ხარისხის მაჩვენებელი
mn=m*m*m… n-ჯერ (n≥2)




m1=m; m0=1
ǀ საფეხურის მოქმედებები: შეკრება, გამოკლება
ǁ საფეხურის მოქმედებები: გამრავლება, გაყოფა
ǀǀǀ საფეხურის მოქმედებები: ახარისხება
პირველ რიგში სრულდება უფრო მაღალი საფეხურის
მოქმედება!

23+6:3-1=?


შეკითხვები?
არის თუ არა ყოველთვის რიცხვი ნატურალური
რომელიც მიიღება:
•
•
•
•
◦
ნატურალური რიცხვების შეკრებით
არის
არა
ნატურალური რიცხვების გამოკლებით
ნატურალური რიცხვების გადამრავლებით
არის
ნატურალური რიცხვების გაყოფით
არა
ნატურალური რიცხვის ახარისხებით (ნატურალური
რიცხვით) არის

ლუწი რიცხვები: 0, 2, 4, 6, ...
კენტი რიცხვები: 1, 3, 5, ...

რომელი რიცხვი იყოფა უნაშთოდ:

◦ 2-ზე - რიცხვი, რომელიც ლუწი ციფრით ბოლოვდება
◦ 3 - რომლის ციფრთა ჯამი იყოფა 3-ზე
◦ 4 - ბოლო 2 ციფრით შედგენილი რიცხვი უნდა იყოფოდეს 4ზე (სამციფრა ან მეტციფრა რიცხვებისთვის)
◦ 5 - უნდა ბოლოვდებოდეს 5-ით ან 0-ით
n ნატურალური რიცხვი არის m ნატურალური
რიცხვის გამყოფი თუ m იყოფა n-ზე უნაშთოდ
 ყველა ნატურალური რიცხვი იყოფა თავის
თავზე და 1-ზე
 მარტივი რიცხვები - აქვს მხოლოდ 2 გამყოფი

მაგალითად: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...


შედგენილი რიცხვები - აქვს 3 ან მეტი გამყოფი
მარტივ მამრავლებად დაშლა - გავყოთ უმცირეს გამყოფზე,
მიღებული რიცხვი კვლავ გავყოთ უმცირეს გამყოფზე და ა.შ.
სანამ არ მივიღებთ 1-ს
მაგალითი: დაშალეთ 36

საერთო გამყოფი - ორი ან მეტი ნატურალური რიცხვის საერთო გამყოფი
არის ნატურალური რიცხვი, რომელზეც თითეოული მათგანი იყოფა უნაშთოდ
 24 და 36 - საერთო გამყოფები?
უდიდესი საერთო გამყოფი?

ნატურალური რიცხვის (მაგ:n) ჯერადი - რიცხვები, რომლებიც
აღნიშნულ რიცხვზე (n) იყოფა
◦ მაგალითად: 3-ის ჯერადი რიცხვებია 6, 18
7-ის ჯერადი რიცხვებია 14, 21

უმცირესი საერთო ჯერადი: უმცირესი ჯერადი, რომელიც
თითოეულ რიცხვზე უნაშთოდ იყოფა
◦ მაგალითად: 2, 4, 6 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი?
12
◦ როგორ ვიპოვოთ? დავშალოთ თითოეული რიცხვი მარტივ
მამრავლებად. ამოვწეროთ პირველი რიცხვის მამრავლები,
მივუწეროთ მეორე რიცხვის განსხვავებული მამრავლები და ა.შ.
შემდეგ გადავამრავლოთ მიღებული მარტივი მამრავლები
უარყოფითი რიცხვები: -1, -2, -3 ...
 მოპირდაპირე რიცხვები: 1 და -1, 3 და -3



ნატურალურ რიცხვებს, მათ მოპირდაპირე რიცხვებს და 0ს მთელი რიცხვები ეწოდება (აღინიშნება Z-ით)
𝑵⊂𝒁
-(-m)=m, ანუ 2 თუ გამოვაკლებთ -2, 2-(-2)=2+2
დადებითი ციფრები მეტია უარყოფითზე: 3>-4,
5>-2...
 რაც უფრო დიდია დადებითი რიცხვი, მით
პატარაა მისი მოპირდაპირე რიცხვი: 5 არის 2-ზე
დიდი, ანუ მისი მოპირდაპირე -5 არის -2-ზე
პატარა: -5<-2






შესაკრებთა გადანაცვლებით ჯამი არ იცვლება:
5-2=(-2)+5=3
[და არა 5-2=2-5]
ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლი დადებითია
დადებითი და უარყოფითი რიცხვის ნამრავლი უარყოფითია
ორი უარყოფითი რიცხვის ნამრავლი დადებითია
ნებისმიერი რიცხვის 0-ზე ნამრავლი უდრის 0-ს
◦ m x (-n)= - (m x n) = -mn; (-m) x (-n) = -(-mn) = mn
◦ m : (-n) = (-m) : n = -(m : n)

3:7=?
არ არის ნატურალური რიცხვი, საჭიროა განვმარტოთ რა
არის წილადი
◦ 1/n 1-ის n-ური ნაწილი, ანუ 1 არის n ნაწილად დაყოფილი


m მრიცხველია, ხოლო n მნიშვნელი
m/n დაყოფილია n ნაწილად და აღებულია ასეთი m რაოდენობის
ნაწილი
◦ 3 : 7 = 3/7
1 დაყოფილია 7 ნაწილად და აღებულია 3 ასეთი ნაწილი, ანუ 3/7

წესიერი წილადი: 2/5 რადგან 2<5 (ანუ რიცხვი 1-ზე ნაკლებია)
არაწესიერი წილადი: 6/5 რადგან 6>5 (ანუ წილადი 1-ზე მეტია) 5/5

ასევე არაწესიერი წილადია
წილადი n/m წესიერია თუ n<m და არაწესიერია თუ n≥m



10/5=? თუ m უნაშთოდ იყოფა n-ზე,
ვიღებთ ნატურალურ რიცხვს: 10/5=2
5/2=? უნაშთოდ არ იყოფა! შეგვიძლია
◦ წარმოვადგინოთ შერეული რიცხვის სახით (2 ½)
◦ როგორ წარმოვადგინოთ შერეული რიცხვი წილადის
სახით? მაგალითი:
1
3∗2+1 7
3 =
=
2
2
2
◦ ანუ მთელი რიცხვი (3) გავამრავლეთ წილადის
მნიშვნელზე (2) და დავუმატეთ წილადის მრიცხველი
(1) - მივიღეთ ახალი წილადის მრიცხველი (7).
მნიშვნელი უცვლელი რჩება (7/2)

როგორ შევადაროთ წილადები?
◦ თუ მნიშვნელი ერთი აქვთ, ის წილადია დიდი, რომლის
მრიცხველიც მეტია: 3/7>1/7
◦ თუ მრიცხველი ერთია, ის წილადია დიდი, რომლის მნიშვნელიც
ნალკებია: 3/4>3/10


3/4 და 7/9 რომელია მეტი?
თუკი წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს გავამრავლებთ ან გავყობთ
ერთსა და იმავე (0-ისგან განსხვავებულ) რიცხვზე, წილადის სიდიდე
არ შეიცვლება:
3
3∗2 6
=
=
4
4∗2 8

10
10: 2 5
=
=
12
12: 2 6
იმისათვის რომ შევადაროთ 3/4 და 7/9 საჭიროა
გაერთმნიშვნელიანება

3/4 თუ 7/9?
3
3 ∗ 9 27
7
7 ∗ 4 28
=
=
=
=
4
4 ∗ 9 36
9
9 ∗ 4 36
◦ ახლა შედარება ადვილია: 27/36<28/36 ანუ 3/4<7/9

როგორ შევკრიბოთ ერთმნიშვნელიანი წილადები: უბრალოდ, უნდა
დავაჯამოთ მრიცხველები, მნიშვნელი იგივე დარჩება:
7 1
7+1 8
+ =
=
9 9
9
9

3/4 + 1/8? გავაერთმნიშვნელიანოთ!
3 1
3∗2 1 6 1 7
+ =
+ = + =
4 8
4∗2 8 8 8 8
ან
3 1
3 ∗ 8 1 ∗ 4 24 4
28 7
+ =
+
=
+
=
=
4 8
4 ∗ 8 8 ∗ 4 32 32 32 8

წილადების გამრავლება: მრიცხველი გადავამრავლოთ
მრიცხველზე, ხოლო მნიშვნელი მნიშვნელზე
◦ 2/3 x 4/5 = 8/15

წილადების გაყოფა - იგივეა, რაც გასაყოფი წილადის
გამრავლება გამყოფის შებრუნებულ წილადზე
◦ 2/3 : 3/4 = 2/3 x 4/3 = 8/9

როგორ შევკრიბოთ, გადავამრავლოთ ან გავყოთ შერეული
წილადები?
 საჭიროა შერეული წილადი გადავაქციოთ არაწესიერ წილადად და შემდგომ
შევასრულოთ მოქმედება!
•
•
მაგალითი?
ყველა წილადს m/n - სადაც m მთელი რიცხვია, ხოლო n
ნატურალური რიცხვი, რაციონალური რიცხვები ეწოდებათ და
აღინიშნება Q სიმბოლოთი.


ათწილადი - წილადი, რომლის მნიშვნელიც არის 10n (10, 100,
1000...)
ათწილადად გამოსახვისათვის საჭიროა მძიმით გამოვყოთ იმდენი
ციფრი, რამდენი ნულიცაა მნიშვნელში:
◦ 23/10=2,3 23/100=0.23

ათწილადების შეკრება სრულდება მთელი რიცხვების მსგავსათ:
◦ 1,5 + 3,2 = 4,7


ათწილადების გადასამრავლებლად საჭიროა გადავამრავლოთ რიცხვები ისე, როგორც
მთელი რიცხვები, შემდგომ კი მძიმე გამოვყოთ იმდენი ნიშნით, რამდენი ათწილადი
ნიშანიცაა ორივე თანამამრავლში ერთად:
◦ 1,5 x 0.3 = 0.45
ათწილადების გაყოფა: 0,5 : 0,02 = 50 : 2 = 25
გამყოფი ვაქციეთ მთელ რიცხვად (გადავიტანეთ მძიმე მარცხნივ), ხოლო
გასაყოფის მძიმე გადავიტანეთ იმავე რაოდენობით მარჯვნივ, შემდეგ
შევასრულეთ გაყოფა



უსასრულო ათწილადი - 7/9 = 0.77777...
პერიოდული ათწილადი - უსასრულო ათწილადი, რომლის ერთი ან რამოდენიმე ციფრი
უცვლელად მეორდება უსასრულოდ (7/9=0.77...)
ყველა სასრული ათწილადი, ასევე პერიოდული ათწილადი შესაძლოა
წარმოვადგინოთ წილადის სახით, მაშასადამე ისინი ეკუთვნიან
რაციონალურ რიცხვებს!


კვადრატის 1 გვერდი 2 სმ-ია. რა არის მისი ფართობი?
კვადრატის ფართობი 2 სმ2-ია, რას უდრის კვადრატის გვერდი?
2 = 1.41421356
◦ აღნიშნული რიცხვი წილადით არ გამოისახება, შესაბამისად ირაციონალური
რიცხვია.

რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეების
გაერთიანებას ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე ეწოდება და აღინიშნება
R სიმბოლოთი

1. დალაგების თვისებები

2. შეკრების თვისებები

3. გამრავლების თვისებები
◦ ა) ან a=b ან a<b ან a>b
◦ ბ) თუ a<b, მოიძებნება ისეთი რიცხვი, რომ a<c<b
◦ ა) a+b=b+a
◦ ბ) (a+b)+c=a+(b+c)
◦ გ) თუ a=b, მაშინ a+c=b+c
◦
◦
◦
◦
◦
ა) ab=ba
ბ)(ab)c=a(bc)
გ) თუ a=b, მაშინ ac=bc
დ) (a+b)c= ac +bc
ე) a x 1/a = 1 (a≠0)



რიცხვითი წრფე
რიცხვითი შუალედები
მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა
 განხილული
იქნება ლექციაზე
საკითხავი მასალა: ს.თოფურია, &9

რიცხვის მოდული, ეს არის რიცხვის
აბსოლიტური მნიშვნელობა - 𝑎 უდრის a-ს,
თუკი იგი დადებითია და უდრის -a, თუკი
უარყოფითია. მაგალითად: 3 = 3
−3 = 3

ორი რიცხვის ჯამის მოდული არ აღემატება ამ რიცხვების
მოდულების ჯამს
ორი რიცხვის მოდულების სხვაობის მოდული არ აღემატება ამ
რიცხვების სხვაობის მოდულს
ორი რიცხვის ნამრავლის მოდული უდრის ამ რიცხვების
მოდულების ნამრავლს


 მაგალითები?

შეკითხვები?
•
•
ნატურალური რიცხვები?
მთელი რიცხვები?
რაციონალური რიცხვები?
ირაციონალური რიცხვები?
ნამდვილი რიცხვები?
•
მარტივი? შედგენილი? საერთო გამყოფი? ჯერადი?
•
როგორ
როგორ
როგორ
როგორ
•
•
•
•
•
•
შევადაროთ წილადები?
შევკრიბოთ წილადები?
გადავამრავლოთ წილადები?
შევასრულოთ იგივე მოქმედებები ათწილადებისთვის?

დავალება:
◦ გაარჩიეთ სლაიდები
◦ ს. თოფურია 1-10& - წასაკითხად
◦ სავარჯიშოები 1.1-1.6
 დავალება უნდა შესრულდეს ორშაბათამდე

შემდეგი ლექცია: 19 ოქტომბერი, 11.00 საათი
აუდიტორია 202