Transcript მათემატიკა
საქართველოს აგრარული უნივერსიტეტი გიორგი მიხელიძე განვლილ ლექციაზე: ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ N - ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლე Z0 - მოიცავს N და 0 Z - მთელ რიცხვთა სიმრავლე Q - რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე R - ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე R Q Z Zo N გაერთმნიშვნელიანება: ◦ 3/4 და 7/9 რომელია მეტი? 3 3 ∗ 9 27 = = 4 4 ∗ 9 36 7 7 ∗ 4 28 = = 9 9 ∗ 4 36 ◦ 27/36<28/36 - გაერთმნიშვნელიანების შემდეგ შედარება მარტივია, უბრალოდ უნდა შევადაროთ მრიცხველი. ◦ 3/4+7/9? შევკრიბოთ გაერთმნიშვნელიანებული წილადები 27 28 27 + 28 55 + = = 36 36 36 36 წილადების გამრავლება: მრიცხველი გადავამრავლოთ მრიცხველზე, ხოლო მნიშვნელი მნიშვნელზე ◦ 2/3 x 4/5 = 8/15 წილადების გაყოფა - იგივეა, რაც გასაყოფი წილადის გამრავლება გამყოფის შებრუნებულ წილადზე ◦ 2/3 : 3/4 = 2/3 x 4/3 = 8/9 როგორ შევკრიბოთ, გადავამრავლოთ ან გავყოთ შერეული წილადები? საჭიროა შერეული წილადი გადავაქციოთ არაწესიერ წილადად და შემდგომ შევასრულოთ მოქმედება! მოქმედებები ათწილადებზე: ◦ 1,5 + 3,2 = 4,7 დათვლის წესი? ◦ 1,5 x 0.3 = 0.45 ? ◦ 0,5 : 0,02 = 50 : 2 = 25 ? კვადრატის ფართობი 10 სმ2-ია, რას უდრის მისი ერთი გვერდი? ◦ 10 = 3,162277 … უსასრულო არაპერიოდული ათწილადი, ანუ ირაციონალური რიცხვი რიცხვითი წრფე - რა გვჭირდება მის ასაგებად? ◦ ◦ ◦ ◦ წრფე მიმართულება სათავე - წრფის ნულოვანი წერტილი სიგრძის ერთეული a(-2); b(5) - როგორ დავთვალოთ მანძილი a-დან b-მდე? ◦ |-2| + |5| = 7 - ანუ უნდა შევკრიბოთ აბსოლიტური სიდიდეები [a;b] - დახურული შუალედი; (a;b) - ღია შუალედი განსხვავება? მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა - რა გვჭირდება? ◦ 2 ურთიერთმართობული წრფე, რომლებსაც აქვთ მიმართულება ◦ სათავე, სიგრძის ერთეული ნატურალური, ირაციონალური, ნამდვილი რიცხვები კოორდინატთა სისტემა პროპორცია, პროცენტი ფუნქცია და მისი გრაფიკი (წრფივი, კვადრატული) წრფივი, კვადრატული განტოლება წრეწირი, სამკუთხედი ფართობის გაანგარიშება (სამკუთხედი, პარალელოგრამი, ტრაპეცია, პირამიდა, ცილინდრი და ა.შ.) საშუალო არითმეტიკული, მოდა, მედიანა, საშუალო კვადრატული გადახრა ლექტორი - გიორგი მიხელიძე e-mail: [email protected] სლაიდები, საკითხავი მასალა და სხვა საჭირო ინფორმაცია ატვირთული იქნება ვებ გვერდზე: http://gmikhelidze.yolasite.com პროპორცია: ◦ ორი ფარდობის ტოლობას 𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑑 , სადაც a,b,c,d Ԑ R (b≠0; d≠0), პროპორცია ეწოდება ◦ a, d - პროპორციის კიდურა წევრები; c,b - პროპორციის შუა წევრები 𝑎 𝑐 = => ad=bc პროპორციის კიდურა წევრების 𝑏 𝑑 ნამრავლი უდრის შუა წევრების ნამრავლს. გავყოთ ორივე მხარე cd-ზე: 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 წარმოებული პროპორციები: ◦ ჩვენ შეგვიძლია განტოლების ორივე მხარეს დავუმატოთ ან გამოვაკლოთ ერთი და იგივე რიცხვი, ამით ტოლობა არ შეიცვლება ◦ დავუმატოთ პროპორციის ორივე მხარეს 1: 1+ 𝑎 𝑐 𝑏+𝑎 𝑐+𝑑 = + 1 => = 𝑏 𝑑 𝑏 𝑑 ◦ გამოვაკლოთ პროპორციის ორივე მხარეს 1: 𝑎 𝑐 𝑎−𝑏 𝑐−𝑑 − 1 = − 1 => = 𝑏 𝑑 𝑏 𝑑 ტოლ ფარდობთა თვისება: 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 = =⋯= = 𝑏1 𝑏2 𝑏𝑛 𝑏1 + 𝑏2 + ⋯ + 𝑏𝑛 ◦ როგორ ვაჩვენოთ? ◦ 𝑎1 𝑏1 𝑎2 აღვნიშნოთ k-თი, მაშასადამე 𝑏 ასევე უდრის k-ს. 2 ◦ პროპორციის თვისების თანახმად ◦ დავაჯამოთ 𝑎1 = 𝑘 => 𝑎1 = 𝑘𝑏1 𝑏1 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 𝑘𝑏1 + 𝑘𝑏2 + ⋯ + 𝑘𝑏𝑛 = 𝑘(𝑏1 + 𝑏2 + ⋯ + 𝑏𝑛 ) ◦ გავყოთ ორივე მხარე (𝑏1 + 𝑏2 + ⋯ + 𝑏𝑛 ) , მივიღებთ ზემოთ მოცემულ ტოლობას როგორ გვესმის ტერმინი “პროპორციული”? ◦ დავუშვათ გვაქვს 2 რიცხვი, a და b. იზრდება თუ არა ეს რიცხვები პროპორციულად, თუ: 1. a ყოველ პერიოდში (მაგალითად წელიწადში) იზრდება 2ჯერ, b ასევე იზრდება 2-ჯერ თითოეულ პერიოდში a და b პროპორციულად იზრდება 2. a ყოველ პერიოდში იზრდება 5-ით, ასევე b a და b პროპორციულად არ იზრდება ◦ პროპორციული ზრდა - a/b დროთა განმავლობაში არ იცვლება, ანუ a იზრდება იმდენჯერ (და არა იმდენით), რამდენჯერაც b ◦ უკუპროპორციული: a-ს k-ჯერ გაზრდა იწვევს b-ს k-ჯერ შემცირებას პროპორციულ ნაწილებად დაყოფა ◦ მოცემული გვაქვს რიცხვი (მაგ. 30) და გვინდა დავყოთ გარკვეული რიცხვების პროპორციულ ნაწილებად (მაგ. 1:2:3) ◦ ანუ გვაქვს სულ 6 ნაწილი (1+2+3), პირველი რიცხვი უნდა იყოს დასაყობი რიცხვის (30-ის) 1/6, მეორე 2/6 და მესამე 3/6 ◦ გადავამრავლოთ დასაყოფი რიცხვი შესაბამის ნაწილებზე, მივიღებთ: 5, 10, 15 პროცენტები ◦ რიცხვის1 პროცენტი იგივეა რაც ამ რიცხვის 1/100 ◦ რიცხვის k% - ანუ ამ რიცხვის k/100 როგორ ვიპოვოთ რიცხვის (მაგ. 20-ის) k% - გავყოთ ეს რიცხვი 100-ზე და გავამრავლოთ k-ზე. ◦ 120-ის 5% არის 120 x 5/100=120/100 x 5 = 12 x 5 = 60 პროცენტული ფარდობა: ანუ ერთი რიცხვი მეორის რამდენი პროცენტია? ◦ ათი 100-ის რამდენი პროცენტია? 10% ◦ როგორ დავთვლიდით ზეპირად რომ არ გვცოდნოდა? 10/100 და შემდეგ გავამრავლებდით 100-ზე ◦ იმისათვის რომ გავიგოთ ერთი რიცხვი მეორის რამდენი პროცენტია, საჭიროა პირველი რიცხვი გავყოთ მეორეზე და გავამრავლოთ 100-ზე დავუშვათ ვიცით, რომ რიცხვის 50% არის 10. ◦ ◦ ◦ ◦ რას უდრის ეს რიცხვი? 20! თუ 10% არის 10? 100! თუ 20% არის 10? 50! ჩვენ ვასრულებდით შემდეგ მოქმედებას: მოცემულ რიცხვს ვამრავლებდით 100-ზე, და ვყოფდით შესაბამის პროცენტის სიდიდეზე იმისათვის, რომ ვიპოვოთ რიცხვი რომელი რიცხვის k%-ს წარმოადგენს, საჭიროა გავამრავლოთ 100/k-ზე • რატომ? x-ის 5% არის 17, ანუ 𝑥∗ 5 100 = 17 => 5 ∗ 𝑥 = 17 ∗ 100 => 𝑥 = 17 ∗ 100 5 დავალება: ◦ გაარჩიეთ სლაიდები - ლექცია 2 ◦ ს. თოფურია 11& - წასაკითხად ◦ სავარჯიშოები 1.37-1.48 ამოხსენით თითეოულში მე-2 მაგალითი (მაქსიმუმ დასჭირდება 30 წუთი, თუ მაქამდე სლაიდებს გაარჩევთ) დავალება უნდა შესრულდეს სამშაბათამდე შემდეგი ლექცია: 22 ოქტომბერი, 13.00 საათი აუდიტორია 202