Transcript f - ADI SETIAWAN

HOMOMORFISMA GRUP

Dalam mempelajari sistem, perlu juga
mempelajari tentang suatu fungsi yang
mengawetkan operasi aljabar.

Sebagai contoh, dalam aljabar linier dipelajari
tentang alih ragam linier ( linier transformation ).
Fungsi ini T : V  W mengawetkan penjumlahan
dan pergandaan skalar.
Definisi VII.1
 Diketahui pemetaan/fungsi f : A  B. Fungsi f
dikatakan surjektif jika dan hanya jika untuk setiap
y  B terdapat x  A sehingga y = f(x).
Contoh VII.1 :
 Diketahui fungsi f : R  R dengan f(x) = x.
Fungsi f merupakan fungsi yang surjektif.
Sedangkan fungsi f : R  R dengan f(x) = x2
bukan fungsi surjektif karena -2  R tetapi
tidak ada x  R sehingga f(x) = x2 = -2.
Definisi VII.1
 Diketahui pemetaan/fungsi f : A  B.
 Fungsi f dikatakan injektif jika dan hanya jika
untuk setiap x, y  A dengan f(x) = f(y)
berlaku x = y.
Contoh VII.2 :
 Diketahui fungsi f : R  R dengan f(x) = x3.
Fungsi f merupakan fungsi yang injektif karena
untuk setiap x, y  R dengan f(x) = f(y) maka
x3 = y3 sehingga berlaku x = y.
 Sedangkan fungsi f : R  R dengan f(x) = x2
bukan fungsi injektif karena ada -2 , 2  R
dan
-2 ≠ 2 tetapi f(-2) = (-2)2 = 4 = 22 = f(2).
Definisi VII.1
 Diketahui pemetaan/fungsi f : A  B. Fungsi f
dikatakan bijektif jika f injektif dan f surjektif.
Contoh VII.3 :
 1. Fungsi f : R  R dengan f(x) = x merupakan
fungsi bijektif.
 2. Fungsi f : R  R dengan f(x) = x2 merupakan
bukan fungsi bijektif karena f tidak injektif.
 3. Fungsi f : R  R dengan f(x) = 2 x + 3
merupakan fungsi bijektif.
 4. Fungsi f : R  R dengan f(x) = x3 merupakan
fungsi bijektif.
 5. Fungsi f : R  R+ dengan f(x) = ex merupakan
fungsi bijektif.
Definisi VII.1
 Misalkan < G, * > dan < H, .> grup.
 Pemetaan f : G  H dinamakan homomorfisma
grup jika f mengawetkan operasi yaitu asalkan
bahwa f(x * y) = f(x) . f(y) untuk semua x, y  G.
Contoh VII.4
 Misalkan < G, . > suatu grup abelian dan n bilangan
bulat tertentu.
 Akan ditunjukkan bahwa aturan f(x) = xn
mendefinisikan suatu homomorfisma
f : G  G.
 Karena f(xy) = (xy)n = xn yn = f(x) f(y) maka f
mengawetkan operasi.
 Khususnya,  : Z10*  Z10* dengan  (x) = x2. Hal itu
berarti (1) = 1, (3) = 9, (7) = 9, dan (9) = 1.
Contoh VII.5
 Determinan sebenarnya merupakan homomorfisma
dari M2x2* ke R* karena determinan mempunyai sifat
det(AB) = det(A) . det(B) yang berarti fungsi
determinan mengawetkan operasi. Dalam hal ini
determinan juga merupakan fungsi yang surjektif.

Suatu homomorfisma grup yang bijektif (surjektif
dan injektif) dinamakan isomorfisma grup, sedangkan
isomorfisma dari grup G ke dirinya sendiri
dinamakan automorfisma.

Dalam teori grup automorfisma dapat digunakan
untuk menghubungkan grup bagian dari suatu grup
G dengan grup bagian yang lain dalam upaya
menganalisis struktur dari grup G. Salah satu bentuk
automorfisma yang penting adalah sebagai berikut:
untuk setiap b dalam G terdapat suatu automorfisma
fb yang membawa x ke konjugatnya yaitu b-1xb. Peta
dari sebarang grup bagian S dibawah automorfisma
fb adalah b-1Sb = { b-1 s b | s dalam S }.

Dalam hal ini merupakan grup bagian dari G yang
isomorfis dengan S. Berbagai grup bagian b-1Sb
dinamakan konjugat dari S.

Manfaat utama dari homomorfisma f : G  H
yaitu dengan melihat sifat-sifat dari petanya
(image) dapat disimpulkan sifat-sifat dari grup
G.
Definisi VII.3
 Peta Im(f) atau f(G) dari homomorfisma grup
f : G  H didefinisikan sebagai
Im(f) = f(G) = { f(g) | g  G }.
 Peta dari homomorfisma f sama dengan H jika
f surjektif atau f pada (onto) H.
Teorema VII.1
 Jika f : G  H homomorfisma grup maka Im(f) grup bagian dari
H.
Bukti
Akan dibuktikan bahwa f(G) tertutup.
 Ambil sebarang f(a), f(b) dalam f(G). Karena f homomorfisma
maka f(ab) = f(a) f(b).
 Tetapi a, b dalam G sehingga ab dalam G (sebab G grup).
 Jadi f(a) f(b) = f(ab) dalam G dengan ab dalam G atau
f(G)tertutup.
Akan dibuktikan bahwa e dalam f(G)
 Anggota e adalah identitas dalam H untuk membedakan
dengan e dalam G.
 Misalkan f(b) sebarang anggota dalam Im(f).
 Karena f(b) dalam Im(f) maka f(e) f(b) = f(eb) = f(b) = e f(b).
 Dengan menggunakan hukum kanselasi kanan didapat f(e) = e.
Akan dibuktikan f(G) mengandung invers dari
anggota f(G).
 Misalkan f(x) dalam f(G).
 Anggota f(x-1) merupakan invers dari f(x)
karena
f(x) f(x-1) = f(xx-1) = f(e) = e.
 Dengan cara yang sama, didapat
f(x-1) f(x) = e dan f(x-1) invers (yang tunggal)
dari f(x) dengan f(x-1) dalam f(G).
Latihan

Tentukan fungsi ini homomorfisma atau
bukan.
◦ f : Z  R* dengan f(k) = 2 .
◦ f : R  R dengan f(x) = x .
◦ f : Z  Z dengan f(k. 1) = k. 1.
Jika pada soal nomor 1 di atas
homomorfisma maka tentukan peta.
 Jika G dan H sebarang grup dan f : G  H
dengan f(x) = e untuk semua x dalam G
buktikan bahwa f homomorfisma.


Diketahui Z3* = { 1, 2 } dan f : Z3*  Z3*
dengan f(x) = x2.
Apakah f homomorfisma bijektif ?