Transcript f - ADI SETIAWAN

HOMOMORFISMA GRUP (Lanjutan)
Teorema VII.2
Misalkan < G, . > grup dan < B,* > sistem aljabar dengan operasi *.
Maka fungsi f : G  B mengawetkan operasi maka Im(f) merupakan
grup terhadap operasi * yang termuat dalam sistem B.
Bukti:
 Dengan sedikit perubahan pada pembuktian Teorema VII.1 maka
dapat dibuktikan sifat ketertutupan, identitas dan hukum invers.
Tinggal dibuktikan bahwa hukum assosiatif berlaku.
 Misalkan f(a), f(b), f(c) dalam f(G).
 Pada satu sisi,

( f(a)*f(b) ) * f(c) = f(ab)*f(c) = f((ab)c)
 Sedangkan pada sisi lain,
 f(a) * (f(b)*f(c)) = f(a)*f(bc) = f(a(bc))
 Karena G grup maka (ab) c = a (bc) sehingga kedua hasil di atas
sama.
Definisi VII.4
 Misalkan f : G  H homomorfisma grup.
Inti dari f atau Ker(f) didefinisikan sebagai
anggota G yang dipetakan oleh f ke anggota
identitas dari H yaitu
Ker(f) = { x  G | f(x) = e }.
Contoh VII.7
 Bila didefinisikan pemetaan f : Z20*  Z20*
dengan f(x) = x2 maka dengan menggunakan
metode trial and error akan diperoleh
Ker(f) = { 1, 9, 11,19 }.
Teorema VII.3
Jika f : G  H homomorfisma grup maka
Ker(f) grup bagian dari G.
Bukti :
Akan dibuktikan bahwa e dalam Ker(ƒ).
 Telah ditunjukkan bahwa f(e) = e.
 Akibatnya identitas e dalam G merupakan
anggota Ker(f).
Akan ditunjukkan bahwa Ker(ƒ) tertutup.
Misalkan x, y dalam Ker(f).
Karena x, y dalam Ker(f) maka f(x) = e dan f(y) = e
sehingga
(xy) = f(x) f(y) = e e= e.
Oleh karena itu , xy dalam Ker(f).
Akan ditunjukkan bahwa Ker(ƒ)mengandung invers dari
anggotanya.
Misalkan x dalam Ker(f).
Karena x dalam Ker(f) maka f(x) = e sehingga
f(x) = e
f(x) f(x-1) = e f(x-1)
f(x x-1) = f(x-1)
f(e)= f(x-1)
e= f(x-1)
Berarti x-1 dalam Ker(f).■
Teorema VII.4
 Misalkan f : G  H homografisma grup
dengan peta f(g). Sifat-sifat berikut ini
berlaku :
 Jika G berhingga maka orde dari f(G)
membagi orde G.
 Jika G siklik maka f(G) siklik.
 Jika a  G mempunyai orde berhingga maka
order dari f(a) membagi order a.
 Jika G abelian maka f(G) abelian.
Contoh VII.8 :
 Fungsi f : dengan f(x) = 8x merupakan
homomorfisma 2 ke 1.
 Karena f(0) = 0 dan f(5) = 0 maka
K=Ker(f) = { 0, 5 }.
Koset dari K dibawa ke anggota dari peta f
yaitu 10 anggota dibawa dalam 2 ke 1 cara
ke 5 anggota peta f.
{ 0 ,5 }  0
{ 1 ,6 }  8
{ 2 ,7 }  6
{ 3 ,8 }  4
{ 4 ,9 }  2
Teorema VII.5
Misalkan f : G  H homomorfisma grup
dengan inti Ker(f) dan peta f(G).
Sifat-sifat berikut ini berlaku :
 Fungsi f injektif jika dan hanya jika
Ker(f)={ 0 }
 Jika f injektif maka G isomorfis dengan
f(G).
Contoh VII.9 :
 Didefinisikan pemetaan f : Z  Z dengan
aturan f(x) = 3x.
 Karena f(x+y) = 3(x+y) = 3x+3y = f(x) + f(y)
maka f homomorfisma.
 Penyelesaian persamaan 3x = 0 adalah x = 0
sehingga Ker(f) = { 0 } atau f injektif.
 Dengan menggunakan teorema maka Z
isomorfis dengan
Im(f) = { 3x | x dalam Z } = (3)
yang merupakan grup bagian sejati dari Z.■
Soal VII.1
 Misalkan diketahui R himpunan bilangan real
dan R* = R – {0}.
 Didefinisikan f : R*  R* dengan f(x) = x2
Buktikan f homomorfisma tetapi f tidak
injektif.
Jawab :
 Berdasarkan Contoh VII.4, dengan mengingat
R* grup terhadap operasi perkalian maka f
homomorfisma tetapi
Ker(f) = { x  R* | f(x) = x2 = 1 }
= { 1, -1 } ≠ { 1 }
sehingga f tidak injektif.
Latihan

Tentukan fungsi ini homomorfisma atau
bukan.
◦ f : Z  R* dengan f(k) = 2 .
◦ f : R  R dengan f(x) = x .
◦ f : Z  Z dengan f(k. 1) = k. 1.

Jika pada soal nomor 1 di atas
homomorfisma maka tentukan intinya.

Diketahui f : R  R+ dengan f(x) = 2-x.
Tunjukkan bahwa f homomorfisma yang
injektif dengan uji kernel.