Transcript GRUP - WordPress.com

MATEMATIKA
ALJABAR ABSTRAK
Dosen Pembimbing
Gisoesilo Abudi
LOGO
Materi Pokok
A
L
J
A
B
A
R
A
B
S
T
R
A
K
OPERASI BINER
GRUP
SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP
SUB GRUP
GRUP SIKLIK
Tujuan Instruksional Umum
Setelah mempelajari materi ini, Anda
dapat memahami tentang operasi
biner, grup dan sifat-sifat sederhana
dari grup, subgrup serta tentang grup
siklik
Pertemuan Kedua
Grup
1. Definisi
2. Teorema
3. Contoh
Soal
4. Latihan /
Tugas
Ke Materi Ketiga
Defenisi 1
Suatu himpunan G yang tidak kosong dan suatu
operasi biner o yang didefinisikan pada G
membentuk suatu grup bila dan hanya bila
memenuhi sifat-sifat berikut :
1. Operasi o pada G bersifat asosiatif, yaitu untuk
setiap a, b, c ∈ G, maka (a o b) o c = a o (b o c)
2. G terhadap operasi biner o mempunyai elemen
identitas, yaitu ada a ∈ G sedemikian hingga a
o u = u o a = a untuk setiap a ∈ G.
Defenisi 1
3. Setiap elemen G mempunyai invers terhadap
operasi biner o dalam G, yaitu untuk setiap a ∈
G ada a-1 ∈ sedemikian hingga a o a-1 = a-1o a
= u. u adalah elemen identitas dari G.
Jika himpunan G terhadap operasi biner o
membentuk suatu grup, maka grup G ini
dinyatakan dengan notasi (G; o). Tidak setiap
grup memiliki sifat komutatif terhadap operasi
binernya.
Defenisi 1
Jika grup (G; o) masih memenuhi sifat bahwa :
4. Operasi biner o pada G bersifat komutatif yaitu
untuk setiap a, b, ∈ G maka a o b = b o a.
Maka grup (G; o) disebut grup abelian (grup
komutatif).
Contoh 1
1. Himpunan bilangan bulat B = {…, -2, -1, 0, 1, 2,
…} terhadap operasi biner penjumlahan (+)
(a) Sifat asosiatif dipenuhi yaitu penjumlahan
bilangan-bilangan bulat bersifat asosiatif
(b) B terhadap operasi + mempunyai elemen
identitas yaitu 0, sebab untuk setiap a ∈ B
maka a + 0 = 0 + a = a
(c) Setiap elemen B mempunyai invers terhadap
operasi +, yaitu setiap a ∈ b ada a-1 = - a ∈ B
sehingga :
Contoh 1
a + (-a) = (-a) + a = 0
Jadi B dengan operasi + merupakan suatu grup
dan ditulis (B; +) suatu grup.
(d) Sifat komutatif dipenuhi pula, yaitu untuk setiap
a, b ∈ B maka a + b = b + a. Jadi (B; +) suatu
grup abelian.
Contoh 1
2. D = {1, -1} terhadap operasi perkalian x, operasi
x pada D merupakan operasi biner (mengapa ?)
(a) Sifat asosiatif perkalian pada D dipenuhi
(Buktikan)
(b) D terhadap operasi perkalian mempunyai
elemen identitas, yaitu 1.
(c) Setiap elemen D terhadap operasi perkalian
mempunyai invers, yaitu a2-1 = +1 dan (-1)-1 = -1
Jadi (D; x) suatu grup.
Suatu grup dengan operasi biner perkalian disebut
grup multiplikatif dan jika operasinya
penjumlahan disebut grup aditif.
Banyaknya elemen suatu grup G ditulis dengan n
(G) dan disebut order dari grup G. Suatu grup
yang banyaknya elemen tak berhingga (infinite)
disebut grup tak berhingga (grup infinte), sedang
suatu grup yang banyaknya elemen berhingga
disebut grup berhingga (grup finite)
Contoh 2
1. M = {1, 2, 3, 4} dan operasi perkalian modulo 5.
Hasil operasi perkalian modulo 5 pada M
ditunjukkan dalam tabel berikut :
x
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
1
3
3
3
1
4
2
4
4
3
2
1
Tampak pada tabel di atas bahwa operasi
perkalian modulo 5 pada M merupakan operasi
biner. Mengapa ?
Contoh 2
2. K = {a, b, c, d} dan operasi biner o pada k
didefinisikan sbb : o
a
b
c
d
a
b
d
a
c
b
d
c
b
a
c
a
b
c
d
d
c
a
d
b
Tunjukkan :
a) Apakah o pada K bersifat asosiatif !
b) Apakah mempunyai sifat invers, dan
c) Apakah dapat membentuk grup, buktikan !
Latihan
Petunjuk :
Untuk latihan soal dibawah tentukan
benar ataukah salah pernyataanpernyataan berikut. Jika benar
buktikanlah dan apabila salah,
mengapa ?
Latihan
Soal
1. Himpunan bilangan rasional terhadap operasi perkalian
merupakan suatu grup !
2. Himpunan bilangan real positif terhadap operasi
perkalian merupakan suatu grup !
3. Himpunan
bilangan
bulat
terhadap
operasi
pengurangan merupakan suatu grup !
4. Himpunan T = {u, a, b} terhadap operasi biner o
didefinisikan sbb :
Himpunan
T
terhadap
o
u
a
a
operasi o merupakan suatu
u
u
a
b
grup
a
a
b
u
b
b
u
b
Latihan
5. Perhatikan bangun dibawah !
R adalah rotasi dengan pusat dan sudut putaran 90°
(berlawanan arah dengan arah perputaran jarum jam),
ditulis R (0, 90°) = R; R o R = R2 = R(0, 180°); R2 o R =
R3 = R(0, 270°); R4 = R(0, 360°) = I
I menyatakan transformasi identitas yaitu baling-baling
pada pada posisi semula. G = {I, R, R2, R3} terhadap
operasi perkalian o merupakan suatu grup abelian.
Latihan
6. G = {(1), (1 2), (1 2 3)} yaitu himpunan
permutasi tiga elemen 1, 2, dan 3. Yang
merupakan himpunan bagian dari S3. S3
adalah himpunan semua permutasi tiga
elemen 1, 2, dan 3. Maka G terhadap operasi
perkalian o pada permutasi merupakan suatu
grup abelian.
7. M = {1, 4, 7, 13} adalah himpunan residu
terkecil modulo 15. Maka M terhadap operasi
perkalian modulo 15 merupakan suatu grup
abelian.
LOGO
Selamat Belajar