Transcript Проценты УМК Муравиных - МАОУ СОШ № 77 г. Хабаровск

ПРОЦЕНТЫ
ИЗ УЧЕ Б НИ К А « М А Т Е МАТИ КА -6» Г . К . МУ РА ВИ Н , О. В. М У Р А ВИ НА
Г ОР ОД Х А Б А РОВСК
2 0 14 Г ОД
Из учебника «Математика-6»
Г.К.Муравин, О.В.Муравина
Решение задач на проценты
В условиях многих текстовых задач соотношение между величинами описывается словами
«больше на…». Пусть, например, сказано, «число а на 5 больше, чем число b». Это можно
записать, например, так: 𝑎 = 𝑏 + 5.
Заметим, что это же равенство соответствует условию «число b меньше числа а на 5». В
обоих случаях числа а и b отличаются друг от друга на одно и то же число 5.
Когда соотношение между величинами задается с помощью процентов, нужно в первую
очередь понять, какая из сравниваемых величин принимается за 100%.
За 100% принимается та из величин, с которой сравнивается другая.
Так, если число а на 5% больше, чем число b, то за 100% принимается b. В этом случае 5%
от b равно 0,05b, и 𝑎 = 𝑏 + 0,05𝑏 = 1,05𝑏.
Заметим, что равенство 𝑎 = 1,05𝑏, в котором число а и b отличаются на 0,05b, не
соответствует условию «число b на 5% меньше, чем число а». Здесь уже b сравнивается с а,
значит, за 100% принимается число а, 5% от а равно 0,05а и число 𝑏 = 𝑎 − 0,05𝑎.
Поскольку число а больше числа b, то и 5% от а больше, чем 5% от b.
Из учебника «Математика-6»
Г.К.Муравин, О.В.Муравина
568. Известно, что число с на 12% меньше числа d.
1) Какая величина принимается за 100%?
2) Чему равна разность 𝑑 − 𝑐?
3) Выразите число с через число 𝑑.
569. Запишите соотношение между числами а и b, если известно, что:
1) а на 3% больше, чем b;
2) а на 7% меньше, чем b;
3) а на 35% меньше, чем b;
4) а на 77% больше, чем b.
570. Известно, что число а больше числа b:
1) в 2 раза;
2) в 1,5 раза;
3) в 1,25 раза.
а) На сколько процентов а больше, чем b?
б) На сколько процентов b меньше, чем а?
571. На сколько процентов:
1) число 5 больше, чем число 4;
2) число 4 меньше, чем число 5;
3) число 10 больше, чем число 9;
4) число 9 меньше, чем число 10?
572. 1) Кофейные зерна при жарке теряют 12,5% своей массы. Сколько килограммов сырых зерен надо
взять, чтобы получить 35 кг жаренных зерен?
2) Масса муки составляет 70% от массы выпеченного из нее хлеба
а) Сколько получится хлеба, если взять 10,5 ц муки?
б) Сколько муки надо взять, чтобы выпечь 200 кг хлеба?
Из учебника «Математика-6»
Г.К.Муравин, О.В.Муравина
Проценты встречаются в задачах о сплавах, смесях или растворах. В этих задачах используется
понятие процентного содержания.
Процентным содержанием вещества в сплаве называется отношение массы этого вещества к
массе всего сплава, выраженное в процентах.
Так, если в 10 кг сплава меди с оловом содержится 6 кг меди, то ее процентное содержание в этом
6
сплаве равно 10 ∙ 100% = 60%.
573. Каково процентное содержание меди в ее сплаве с оловом, если в 50 кг сплава содержится:
1) 30 кг меди;
2) 30 кг олова?
574. Одним из первых сплавов, который люди стали использовать,
был электр – сплав золота с серебром, в котором процентное
содержание серебра составляло 20-30%. На фотографии изображен
шумерский шлем из электра, изготовленный более 500 лет назад.
1) Сколько килограммов серебра нужно добавить к 1,4 кг золота,
чтобы получить электр с содержанием серебра, равным 30%?
2) Сколько килограммов золота нужно добавить к 1,2 кг серебра,
чтобы получить электр с содержанием серебра 30%?
Из учебника «Математика-6»
Г.К.Муравин, О.В.Муравина
575. Бетон – один из самых древних строительных материалов.
Его использовали уже в Древнем Египте более 5000 лет назад.
Бетон применялся и при возведении Великой Китайской стены
в III в. до н.э. Для приготовления бетона смешивают воду,
цемент, песок и щебень в отношении 2 : 4 : 9 : 17.
1) Каково в этой смеси процентное содержание:
а) цемента;
б) песка;
в) щебня?
2) Сколько цемента понадобится для приготовления 16 т
бетона?
Из учебника «Математика-6»
Г.К.Муравин, О.В.Муравина
Процентное содержание вещества в растворе называют концентрацией.
576. 1) Сколько граммов сахара содержится в 100 г 25%-го сахарного сиропа?
2) Сколько граммов соли содержится в 100 г 13%-го водного раствора соли?
3) Сколько граммов йода содержится в 100г 4%-го спиртового раствора йода?
577. 1) В 200 г солевого раствора содержится 10 г соли. Какова концентрация соли в
растворе?
2) В 120 г воды растворили 30 г сахара. Какова концентрация сахара в растворе?
3) Для приготовления клюквенного морса взяли 200 г клюквы, 150 г сахара и 1 л воды
(1 л воды имеет массу 1 кг). Каково процентное содержание сахара в морсе?
4) Какой будет концентрация соли в растворе, если в 100 г воды растворить 25 г соли?
5) Какой будет концентрация сахара в сиропе, если в 150 г воды растворить 50 г сахара?
Из учебника «Математика-6»
Г.К.Муравин, О.В.Муравина
Рассмотри задачи, при которых за 100% принимаются разные величины.
Задача 1. Ширину прямоугольника увеличили на 20%, а длину увеличили на 25%. На
сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?
Решение.
1) Пусть ширина прямоугольника а. Тогда после увеличения на 20% она стала равной 1,2а.
2) Пусть длина прямоугольника b. Тогда после увеличения на 25% она стала равной 1,25b.
3) Площадь исходного прямоугольника была равна ab. После увеличения длин сторон его
площадь стала равной 1,2𝑎 ∙ 1,25𝑏 = 1,5𝑎𝑏. Площадь увеличилась в 1,5 раза, т.е. на
50%.
Ответ: на 50%.
В этой задаче за 100% сначала принималась ширина, затем длина, и наконец, площадь
исходного прямоугольника.
Из учебника «Математика-6»
Г.К.Муравин, О.В.Муравина
Задача 2.
В течение года цена проезда на общественном транспорте повышалась дважды: сначала
на 20%, а затем еще на 25%. На сколько процентов выросла цена проезда за год?
Решение. Пусть в начале года цена проезда была равна а р. Тогда после первого
повышения на 20% она стала равной 1,2а р. При втором повышении на 25% увеличивается
уже новая цена, т.е. за 100% принимается 1,2а р. Окончательная цена равна
1,2𝑎 ∙ 1,25 = 1,5𝑎 (р.). За год цена увеличилась в 1,5 раза, т.е. на 50%.
Ответ: на 50%
Из учебника «Математика-6»
Г.К.Муравин, О.В.Муравина
578. Ширину прямоугольника увеличили на 10%, а его длину уменьшили на 10%.
Изменилась ли при этом площадь прямоугольника? Если изменилась, то увеличилась она
или уменьшилась?
579. 1) Цена товара составляла 12 тыс.р. Через месяц товар подорожал на 5%, а еще через
месяц его цену снизили на 10%. Какой стала цена товара через два месяца?
2) Цена товара составляла 12 тыс.р. Через месяц цена снизилась на 5%, а через месяц
после этого – ещё на 10%. Какой стала цена товара через 2 месяца?
580. В первом магазине цену товара снизили сначала на 10%, а затем еще на 10%. Во
втором магазине цену аналогичного товара сразу снизили на 20%. В каком из этих двух
магазинов данный товар стал дешевле?
Из учебника «Математика-6»
Г.К.Муравин, О.В.Муравина
581. В банк на срочный вклад положили 30 тыс.р. Банк начисляет на сумму вклада 10% в
год. Если клиент не снимает деньги со своего счета, то через год проценты по вкладу
прибавляются к сумме вклада. Какая сумма будет на счете клиента, который не снимал
деньги:
1) через год; 2) через два года;
3) через 3 года?
582. Ежемесячный доход семьи увеличился в первом квартале на 7%, а во втором – на 10%.
На сколько процентов увеличился ежемесячный доход семьи за два квартала?
583. 1) Каким будет процентное содержание сахара в сиропе, который получится после
того, как к 150 г 75%-го раствора сахара добавить 100 г воды?
2) Каким будет процентное содержание сахара в сахарном растворе, который получится
после того, как к 120 г 50%-го сахарного сиропа добавить 80 г воды?
Из учебника «Математика-6»
Г.К.Муравин, О.В.Муравина
Рассмотрим задачи на сплавы, смеси и растворы, при решении которых приходится составлять
уравнения.
Задача 3. После добавления к 10 кг сплава меди с оловом 2 кг олова процентное содержание
меди в сплаве понизилось на 10%. Сколько килограммов меди в сплаве?
Решение. Пусть в сплаве содержится x кг меди. Тогда до добавления олова ее процентное
𝑥
содержание в сплаве было равно ∙ 100%.
10
После добавления олова масса меди в сплаве не изменилась, а масса сплава увеличилась
𝑥
на 2 кг и стала равной 12 кг. Процентное содержание меди в новом сплаве равно ∙ 100%.
12
По условию задачи новое процентное содержание меди на 10% меньше начального, значит,
𝑥
𝑥
5𝑥
∙ 100 − ∙ 100 = 10. Решаем полученное уравнение: 𝑥 − = 1, 6𝑥 − 5𝑥 = 6, 𝑥 = 6 (кг).
10
12
Ответ: 6 кг.
6
Из учебника «Математика-6»
Г.К.Муравин, О.В.Муравина
584. К 4 кг сплава золота с серебром добавили 1 кг золота.
1) При этом процентное содержание золота в сплаве увеличилось на 15%. Сколько
килограммов золота было в сплаве первоначально?
2) При этом процентное содержание серебра в сплаве понизилось на 10%. Сколько
килограммов серебра в сплаве?
585. После добавления 2 кг меди к 10 кг сплава меди с оловом процентное содержание
меди в сплаве повысилось на 10%. Сколько килограммов меди стало в сплаве?
586. 1) Сколько граммов сахара нужно добавить к 100 граммам 25%-го сахарного раствора,
чтобы получился 50%-й сахарный раствор?
2) Сколько грамм воды нужно добавить к 120 граммам 75%-го сахарного сиропа, чтобы
понизить концентрацию сахара в сиропе до 25%?
587. Сколько граммов 30%-го сахарного сиропа следует развести водой, чтобы получить
100 г 15%-го сахарного сиропа?
588. Чтобы получить 6%-й столовый уксус, 70%-ю уксусную эссенцию разбавляют водой.
1) Сколько граммов воды нужно добавить к 30 г уксусной эссенции, чтобы получить
столовый уксус?
2) Сколько граммов уксусной эссенции нужно взять для получения 200 г столового уксуса?
Из учебника «Математика-6»
Г.К.Муравин, О.В.Муравина
Задачи на смекалку
589. Вчера число учеников, присутствующих в классе, было в 8 раз больше, чем
отсутствующих. Сегодня не пришли еще 2 ученика, и оказалось, что число отсутствующих
составляет 20% от числа присутствующих. Сколько учеников в классе?
590. Каждая девочка в классе дружит с тремя мальчиками, а каждый мальчик дружит с
двумя девочками. Сколько процентов от числа всех учащихся в этом классе составляют
девочки?
591. На сколько процентов увеличится численность населения города за 5 лет, если
ежегодно она увеличивается на 3%?
Из учебника «Математика-6»
Г.К.Муравин, О.В.Муравина
592. К 200 г 15%-го сахарного сиропа добавили 300 г 40%-го сахарного сиропа. Какова
концентрация сахара в полученной смеси?
593. Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Через несколько дней, когда он несколько
усох, содержание воды в нем понизилось до 98%. Какой стала масса арбуза?
594. Числа а составляет 80% числа b, а число с составляет 140% числа b. Найдите числа a, b
и с, если известно, что число с больше а на 72.
Из учебника «Математика-6»
Г.К.Муравин, О.В.Муравина
Контрольные вопросы и задания
1. На сколько процентов:
1) число 10 больше, чем число 8;
2) число 8 меньше, чем число 10?
2. Сколько граммов сахара содержится в 100 г сахарного сиропа, имеющего концентрацию:
1) 25%; 2) 50%?
3. На вклад положили 5000 р. под 4% годовых. Сколько денег будет на вкладе через 2 года,
если не снимать с него денег?
4. Сколько граммов сахара нужно растворить в 300 г воды, чтобы получился сироп с
концентрацией сахара 25%?