Transcript FSA

FINITE STATE AUTOMATA
Teknik Informatika STTA
2013
Yenni Astuti, S.T., M.Eng.
Jenis FSA
• Deterministik
pada setiap input, hanya ada satu keadaan
(state) tujuan dari keadaan saat ini.
• Nondeterministik
pada setiap input terdapat lebih dari satu
keadaan tujuan dari keadaan saat ini.
D-FSA
1. Himpunan keadaan (Q).
2. Himpunan simbol input ()
3. Fungsi transisi (), memuat satu keadaan asal
dan satu simbol input dan satu keadaan tujuan.
4. Keadaan awal (q0)merupakan salah satu dari
Q.
5. Himpunan keadaan final atau yang diterima,
dinotasikan dengan F (FQ)
5-TUPLE D-FSA
DFSA A, terdiri atas 5 tuple, yaitu:
A = (Q, , , q0, F)
Notasi Lain DFSA
1. Diagram Transisi
• Tiap keadaan merupakan simpul
• Tiap keadaan q  Q dan tiap simbol a  , dituliskan
sebagai (q,a) = p. Artinya, diagram transisi memiliki
panah dari q ke p, yang berlabel a.
• Keadaan awal (q0) ditandai dengan adanya panah
tanpa sumber.
• Simpul yang menjadi keadaan final ditandai dengan
lingkaran bergaris tepi ganda
Notasi Lain DFSA
2. Tabel Transisi
• Representasi daftar dari suatu fungsi
• Baris menunjukkan keadaan dan kolom
menunjukkan input.
• Isi dari baris menunjukkan keadaan q dan isi dari
kolom input a menunjukkan keadaan (q,a)
Contoh:
DFSA yang dapat menerima string berakhiran 01
A = ({q0, q1, q2}, {0,1}, , q0, {q2})
dengan fungsi transisi  diberikan dalam bentuk
tabel:
0
1

*
q0
q2
q0
q1
q1
q1
q2
q2
q1
1
q0
0,1
0
0
q1
1
q2
Perluasan Fungsi Transisi untuk String
• DFSA mendefinisikan bahasa sebagai himpunan
semua string yang hasilnya dalam bentuk urutan
transisi keadaan dari keadaan awal sampai
keadaan final (yang diterima)
Perluasan Fungsi Transisi untuk String (lanj.)
• Fungsi Transisi Diperluas
• Mendeskripsikan yang terjadi ketika suatu keadaan
dimulai dan sembarang urutan input diikuti.
• Jika  adalah fungsi transisi, maka fungsi transisi
diperluas dinotasikan dengan 𝛿
• Fungsi transisi diperluas merupakan fungsi saat
keadaan q untuk masukan berupa string w, dan
menghasilkan keadaan p (keadaan yang dicapai
otomaton ketika memulai di keadaan q dan memproses
urutan input w)
Definisi Formal dari Fungsi Transisi Diperluas
Basis: 𝛿(q, ) = q
Jika kita berada pada keadaan q dan tidak
membaca adanya input, maka kita tetap berada di
keadaan q.
Definisi Formal dari Fungsi Transisi Diperluas
Induksi: Misal w adalah string yang berbentuk xa;
yakni a merupakan simbol terakhir dari w, dan x
merupakan string selain simbol terakhir.
Maka: 𝛿(q,w) = (𝛿(q,x), a)
• Untuk memproses 𝛿(q,w), pertama proses dahulu 𝛿(q,x),
hasilnya adalah keadaan yang otomaton tempati setelah
memproses semua simbol selain simbol terakhir dari w.
• Misal, keadaan ini adalah p, yakni 𝛿(q,x) = p
• Maka 𝛿(q,w) adalah yang kita peroleh dengan melakukan
transisi dari keadaan p dengan input a (simbol terakhir dari
w)
Contoh
Desain suatu DFSA yang dapat menerima bahasa:
L = {w | w memiliki jumlah 0 ganjil dan jumlah 1 ganjil}
Bahasa dari DFSA
Bahasa dari DFSA A = (Q, , , q0, F), dinotasikan
dengan L(A), didefinisikan sebagai
L(A) = {w | 𝛿(q0,w) berakhir di F}
Bahasa dari A merupakan himpunan semua string
w yang memiliki keadaan awal q0 dan berakhir di
keadaan final (yang diterima)
Jika L adalah L(A) dari suatu DFSA, maka L
adalah bahasa reguler
Nondeterministik Finite State Automata
(NFSA)
• Suatu NFSA memiliki kelebihan yakni berada di
beberapa keadaan pada saat yang sama.
• Kelebihan ini sering diekspresikan sebagai
kemampuan untuk “menebak” sesuatu mengenai
inputnya.
• Tiap NFSA menerima suatu bahasa yang juga
dapat diterima oleh suatu DFSA.
• NFSA lebih sederhana daripada DFSA.
NFSA (lanj.)
• NFSA dapat selalu diubah ke DFSA, namun
menghasilkan jumlah keadaan baru yang
jumlahnya eksponensial (kasus yang jarang
terjadi)
• Perbedaan antara DFSA dan NFSA adalah jenis
fungsi transisinya ()
• Pada NFSA,  merupakan fungsi yang memuat satu
keadaan, dan simbol input (seperti fungsi transisi
DFSA), namun menghasilkan himpunan nol atau lebih
dari satu keadaan (daripada menghasilkan tepat satu
keadaan, seperti yang harus dilakukan DFSA)
Contoh: NFSA yang dapat menerima semua
string berakhiran 01
0,1
q0
0
q1
1
q2
Definisi Formal NFSA
5-tuple NFSA dituliskan sebagai
A = (Q, , , q0, F)
• Q adalah himpunan terbatas atas keadaan
•  adalah himpunan terbatas atas simbol input
• q0  Q adalah keadaan awal
• F (F  Q) adalah himpunan keadaan final (yang
diterima)
•  (fungsi transisi) adalah fungsi yang mengandung
satu keadaan dari Q dan simbol input dalam  untuk
menuju ke beberapa keadaan dalam Q.
Definisi Formal NFSA (lanj.)
Satu-satunya perbedaan antara NFSA dan DFSA
adalah banyaknya hasil yang diperoleh dari 
Contoh: NFSA yang dapat menerima semua
string berakhiran 01
A = ({q0, q1, q2}, {0,1}, , q0, {q2})
Dengan fungsi transisi () diberikan dalam bentuk
tabel:

*
0
1
q0
{q0,, q1}
{q0}
q1

{q2}
q2


0,1
q0
0
q1
1
q2
Fungsi Transisi Diperluas
Basis: 𝛿(q,) = {q}
Tanpa mendapat simbol input, kita tetap berada di keadaan semula.
Induksi:
• Misalkan w adalah string dalam bentuk xa; dengan a merupakan
simbol terakhir dari w, dan x suatu string yang ada dalam w selain
simbol terakhir.
• Misalkan 𝛿(q,x) = {p1, p2, …, pk}
• Bila
𝑘
𝛿 𝑝𝑖, 𝑎 = {𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑚}
𝑖=1
• Maka: 𝛿(q,w) = {r1, r2, …, rm}
• Kita kerjakan 𝛿 (q,w) dengan mengerjakan 𝛿 (q,x) kemudian ikuti
transisi dari keadaan yang dihasilkan ke keadaan yang berlabel a.
Contoh: NFSA yang dapat menerima semua
string berakhiran 01
0,1
q0
0
q1
1
q2
Untuk w = 00101
1. 𝛿(q0,) = {q0}
2. 𝛿(q0,0) = {q0,0} = {q0, q1}
3. 𝛿(q0,00) = {q0,0}  {q1,0} = {q0, q1}   = {q0, q1}
4. 𝛿(q0,001) = {q0,1}  {q1,1} = {q0}  {q2} = {q0, q2}
5. 𝛿(q0,0010) = {q0,0}  {q2,0} = {q0, q1}   = {q0, q1}
6. 𝛿(q0,00101) = {q0,1}  {q1,1} = {q0}  {q2} = {q0, q2}
Bahasa NFSA
Bahasa suatu NFSA A = (Q, , , q0, F) dinotasikan
dengan L(A) yang didefinisikan sebagai
L(A) = {w | 𝛿(q0,w)  F   }
Bahasa dari A merupakan himpunan string w *
sehingga 𝛿(q0,w) mengandung setidaknya satu
keadaan yang diterima.
Meskipun w dapat menuju suatu keadaan yang tidak
diterima atau tidak menuju ke suatu keadaan
manapun, tidak menghalangi w untuk diterima oleh
NFSA.
Ekivalensi DFSA dan NFSA
• Setiap bahasa yang dapat dideskripsikan oleh
NFSA, dapat dideskripsikan pula oleh suatu
DFSA.
• Pada prakteknya, DFSA memiliki jumlah keadaan
yang sama dengan NFSA, meskipun transisinya
lebih banyak.
• Pada kasus tertentu, DFSA dapat memiliki 2n
keadaan (untuk NFSA dengan n keadaan)
Bukti: DFSA dapat melakukan semua
yang dilakukan NFSA
Pembuktian melibatkan konstruksi yang disebut
konstruksi himpunan bagian karena melibatkan
pembuatan semua himpunan bagian dari
himpunan dari keadaan – keadaan NFSA.
Dari NFSA ke DFSA
• Kita memiliki NFSA N = (QN, , N, q0, FN)
• Tujuannya untuk membuat DFSA D = (QD, , D,
{q0}, FD) sehingga L(D) = L(N)
Konstruksi Himpunan Bagian
• Input alfabet nya sama
• Himpunan keadaan awal di D merupakan himpunan yang memuat
•
•
•
•
keadaan awal dari N.
QD merupakan himpunan dari himpunan bagian dari QN, yakni QD
merupakan himpunan pangkat dari QN. Jika QN memiliki n keadaan,
QD memiliki 2n keadaan. Tidak semua keadaan dapat diakses dari
keadaan awal.
FD merupakan himpunan dari himpunan bagian S dari QN sehingga S
 FN  . Sehingga FD merupakan semua himpunan dari keadaan N
yang memuat setidaknya satu keadaan yang diterima dari keadaan
N.
Untuk tiap himpunan S  QN dan untuk tiap simbol input a 
D(S,a) = 𝑝∈𝑆 𝛿𝑁(𝑝, 𝑎)
Untuk menghitung D(S,a), kita lihat semua keadaan p dalam S,
perhatikan perubahan keadaan N dari p ketika diberikan input a, dan
ambil gabungan dari keseluruhan keadaan tersebut.
Contoh
0,1
q0
0
q1
1
q2
QN = {q0, q1, q2}, maka QD = {, {q1}, {q2}, {q0, q1},
{q0,q2}, {q1,q2},{q0,q1,q2}} sehingga QD memiliki 8
keadaan (tiap keadaan berkaitan dengan
himpunan bagian dari QN)
Contoh (lanj.)
0,1
0
q0
1
q1
q2
0
1



{q0}
{q0, q1}
{q0}
{q1}

{q2}
{q2}


{q0, q1}
{q0, q1}
{q0, q2}
*
{q0, q2}
{q0, q1}
{q0}
*
{q1, q2}

{q2}
*
{q0,q1,q2}
{q0, q1}
{q0, q2}

*
Contoh: dengan nama baru
• Catatan: keadaan D berkaitan dengan himpunan
bagian dari keadaan N, namun kita dapat
notasikan keadaan D menggunakan A – F.
0
1
A
A
A
B
E
B
C
A
D
D
A
A
E
E
F
*
F
E
B
*
G
A
D
*
H
E
F

*
Transformasikan
NFSA berikut
menjadi DFSA.
Langkah ke – 1.
Membuat state DFSA
Himpunan state yang
baru :
Q’ = {, {1}, {2}, {3},
{1,2}, {1,3}, {2,3},
{1,2,3}}
Langkah ke – 2.
Membuat Initial State DFSA
Initial state yang baru :
q0’= {1,3}
Langkah ke – 3.
Membuat Final State DFSA
Final state yang baru :
F’= {{1}, {1,2}, {1,3},
{1,2,3}}
Langkah ke – 4.
Membuat Diagram Transisi DFSA
=

1
2
3
1,2
1,3
2,3
1,2,3
a


2,3
1,3
2,3
1,3
1,2,3
1,2,3
b

2
2,3

2,3
2
2,3
2,3
1
b
2
a, b

a, b
a
3
Langkah ke – 5.
Penghapusan State tak-perlu
a
b



1

2
2
2,3
2,3
3
1,3

1,2
2,3
2,3
1,3
1,3
2
2,3
1,2,3
2,3
1,2,3
1,2,3
2,3
Langkah ke – 5.
Penghapusan state tak-perlu
Langkah ke – 5.
Penghapusan state tak-perlu
Langkah ke – 5.
Penghapusan state tak-perlu