Transcript INVESTIGACION OPERATIVA

INVESTIGACION
OPERATIVA
ING. MSC. MARIA SLUSARCZYK A.
HISTORIA
La necesidad de tomar decisiones es
tan antigua como el hombre mismo
La realidad humana se fue
complicando poco a poco y las
decisiones que en un principio eran
triviales, se convirtieron en
decisiones difíciles. Con la llegada
de la Revolución Industrial, la
sociedad se hizo mucho más
compleja y las decisiones habían de
tomarse con más cuidado porque
involucraban a más personas en
sus consecuencias.
HISTORIA
 Investigación Operativa nace
en Inglaterra en 1935, radar, II
Guerra Mundial, control de
espacio aéreo, simulación de
los aviones enemigos,
 Pioneros: A.P.Rowe, P.M.S.
Blackett,
 Se abre una sección de IO
dentro de la armada
 USA – entra en la guerra,
grupo de lucha antisubmarina
DEFINICION
 Investigación Operativa (Investigación de Operaciones), es una
rama de las matemáticas consistente en el uso de modelos
matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un
proceso de toma de decisiones. Frecuentemente, trata el
estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de
mejorar (u optimizar) el funcionamiento del mismo.
 Es una moderna disciplina científica que se caracteriza por la
aplicación de teoría, métodos y técnicas especiales, para
buscar la solución de problemas de administración,
organización y control que se producen en los diversos
sistemas que existen en la naturaleza y los creados por el ser
humano
 El objeto de estudio de la Investigación Operativa es la toma
científica de decisiones mediante el empleo de técnicas
cuantitativas. Es una ciencia interdisciplinaria.
 La investigación de operaciones sólo se aplicará en los
problemas para los cuales el buen sentido se revela impotente.
AREAS DE ESTUDIO QUE UTILIZA
LA INVESTIGACION OPERATIVA
Áreas o secciones habituales en el estudio de la IO son:
 La Programación Lineal fue una de las primeras herramientas
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cuantitativas con la que contó la IO y hasta hoy es la mas importante.
Programación entera
Problemas de transporte
Análisis de grafos y de redes. PERT y CPM.
Programación dinámica
Introducción a la IO
Teoría de juegos.
Programación no lineal.
Teoría de colas.
Teoría de inventarios
Procesos markovianos de decisión. Análisis de decisión.
Simulación
Fiabilidad
ELEMENTOS DE LA
INVESTIGACION OPERATIVA
Las subdivisiones en las que se establece la IO, tienen
los siguientes elementos en común:
 Son necesarios amplios conocimientos de
matemáticas, es decir, del manejo de muchas
técnicas matemáticas, aunque con inmediata
aplicación a la realidad.
 Es necesario que, al final de cada problema definido,
haya una decisión que tomar.
 Es preciso definir un modelo que dé cauce a la toma
de decisiones.
APLICACIONES
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Ámbito militar
Marqueting
Ámbito industrial
Dirección de Producción
Transporte urbano
Administración de justicia
Construcción de edificios
públicos
 Educación
 Hospitales y servicios sociales
 Agricultura
Investigación operativa – arte de modelar
Problema
real
Problema
ideal
Modelo
matemático
Un estudio de
investigación
operativa
consiste en
construir un
modelo de la
situación física.
Utilizar
herramienta
matemática
Informe
técnico para la
toma de
decisiones
Análisis de
resultados
Un modelo de investigación de operaciones se
define como una representación idealizada
(simplificada) de un sistema de la vida real.
Modelo matemático
El tipo mas importante de modelo de IO es el modelo
simbólico o matemático.
Los símbolos matemáticos se utilizan para representar
variables, las cuales están relacionadas con las
funciones matemáticas apropiadas para describir el
comportamiento del sistema.
Luego la solución del modelo se logra por manipulación
matemática apropiada.
Modelo matemático
Modelo matemático
Variables (de decisión – x1, x2, …xn, de
holgura y artificiales) y parámetros
Función objetivo
Parámetros representan las
variables controlables del sistema
Restricciones limitan las variables
de decisión a sus valores factibles
o permisibles. Esto se expresa en
la forma de funciones matemáticas
restrictivas.
Restricciones
Función objetivo define la medida de
efectividad del sistema como una función
matemática de sus variables de decisión.
Variables de decisión son las
incógnitas que deben de
determinarse con la solución del
modelo ej. x1
Objetivo: Se debe determinar los valores de las
variables de decisión xj , j = 1,2,3…n, los cuales
optimizaran ( máximo o mínimo) función
Z = f (x1, x2, …xn )
con sujeción a gi(x, x, …xn ) <= bi, , i = 1,2…..m
xj >= 0 , j = 1,2 ……N
Maximizar:
Z ( X1 , X2 ) = 1,5X1 + X2
y las restricciones
vendrán dadas por:
20X1 + 30X2 <=100*60
20X1 + 10X2 <= 80*60
X1 >= 0
X2 >= 0
Programación lineal
 La característica distintiva de los modelos de programación
lineal es que las funciones que representan el objetivo y las
restricciones son lineales.
 En cualquier empresa, muchas de las decisiones que se
toman tienen por objeto hacer el mejor uso posible
(optimización) de los recursos de la misma. Por recursos
de una empresa entendemos la maquinaria que ésta posea,
sus trabajadores, capital financiero, instalaciones, y las
materias primas de que disponga.
 La Programación Lineal (PL) es una técnica matemática
diseñada para ayudar a los directivos en la planificación y
toma de decisiones referentes a la asignación de los
recursos.
Ejemplos de problemas donde la PL
desarrolla un papel fundamental
 A partir de los recursos disponibles, determinar las
unidades a producir de cada bien de forma que se
maximice el beneficio de la empresa.
 Elegir materias primas en procesos de alimentación, para
obtener mezclas con unas determinadas propiedades al
mínimo coste.
 Determinar el sistema de distribución que minimice el coste
total de transporte, desde diversos almacenes a varios
puntos de distribución.
 Desarrollar un plan de producción que, satisfaciendo las
demandas futuras de los productos de una empresa,
minimice al mismo tiempo los costes totales de producción
e inventario.
Características de un problema de PL
Todos los problemas de PL tienen cuatro propiedades comunes
1. Pretenden optimizar (maximizar o minimizar) alguna cantidad (función
objetivo). Así, por ejemplo, el principal objetivo de un banquero sería
maximizar beneficios, mientras que el principal objetivo de una
empresa transportista podría ser minimizar los costes de los envíos.
2. Habrá que tener en cuenta las restricciones que limitan el grado en el
cual es posible modificar las variables que afectan a nuestra función
objetivo. Así, a la hora de decidir cuántas unidades de cada bien se
han de producir, deberemos considerar, entre otras, las limitaciones de
personal y maquinaria de que disponemos.
3. El problema debe presentar distintas alternativas posibles: si una
compañía produce cuatro bienes diferentes, la dirección puede usar
PL para determinar las cantidades de recursos que asigna a la
producción de cada uno de ellos (podría optar por hacer una
asignación ponderada, dedicar todos los recursos a la producción de
un único bien abandonando la producción del resto, etc.).
4. En PL, la función objetivo debe ser una función lineal, y las
restricciones deben ser expresables como ecuaciones o inecuaciones
lineales.
Planteamiento de un problema de PL
Ejemplo: Una empresa fabrica dos modelos de mesas para ordenador, M1 y
M2. Para su producción se necesita un trabajo manual de 20 minutos para
el modelo M1 y de 30 minutos para el M2; y un trabajo de máquina de 20
minutos para M1 y de 10 minutos para M2. Se dispone de 100 horas al
mes de trabajo manual y de 80 horas al mes de máquina. Sabiendo que el
beneficio por unidad es de 1,5 y 1 € para M1 y M2, respectivamente,
planificar la producción para obtener el máximo beneficio.
Nos limitaremos a plantear formalmente el problema ( lo resolveremos más
adelante):
Llamando: X = “nº unidades producidas al mes de M1”, e Y = “nº unidades
producidas al mes de M2 ”,
nuestra función objetivo sería: Maximizar:
Z ( X1 , X2 ) = 1,5 X1 + X2
y las restricciones vendrán dadas por:
20X1 + 30X2 <=100*60
20X1 + 10X2 <= 80*60
X1 >= 0
X2 >= 0
Resolución gráfica de un problema de PL
El método gráfico de resolución tan sólo es aplicable a
problemas con dos variables (X e Y).
Para aquellos casos en que el número de variables del
problema sea superior a dos, no será
posible encontrar la solución a partir de un gráfico
bidimensional y, por tanto, tendremos que
usar métodos de resolución más complejos.
Volviendo al ejemplo de las mesas de ordenador, dado
que en él tenemos sólo dos variables, podremos
representar cada una de las restricciones en el plano
real. Estas restricciones son semiespacios (por ser
lineales), la intersección de los cuales se denomina
región factible
Resolución gráfica de un problema de PL
Maximizar:
Z (X1 ,X2 ) = 1,5 X1 + X2
y las restricciones
vendrán dadas por:
20X1 + 30X2 <=100*60
20X1 + 10X2 <= 80*60
X1 >= 0
X2 >= 0
Maximizar:
Z (X1 ,X2 ) = 1,5 X1 + X2
y las restricciones
vendrán dadas por:
20X1 + 30X2 = 6000
20X1 + 10X2 = 4800
X1 >= 0
X2 >= 0
Dibujamos las lineas
20X1 + 30X2 = 6000
20X1 + 10X2 = 4800
20X1 + 10X2 = 4800
20X1 + 30X2 = 6000
Si X1 = 0
Si X2 = 0
Si X1 = 0
Si X2 = 0
X2 = 480
X1 = 240
X2 = 200
X1 = 300
Resolución gráfica de un problema de PL - graficamos
Área factible
(cualquier punto
dentro del área
cumple las
restricciones)
Resolución gráfica de un problema de PL
La teoría matemática
establece que, dado un
problema de PL que
tenga solución, ésta
vendrá dada por uno
de los vértices (o
puntos extremos) del
polígono que configura
la región factible.
Por tanto, será suficiente hallar las coordenadas de dichos vértices
(intersecciones de rectas) y determinar (sustituyendo en la función objetivo)
cuál de ellos es la solución óptima. En nuestro ejemplo, tendríamos sólo cuatro
puntos candidatos a ser solución del problema (los cuatro vértices del
polígono), sustituyendo sus coordenadas en la función objetivo obtenemos:
Z(0,0) = 0; Z(0,200) = 200; Z(210,60) = 375; y Z(240,0) = 360
El metodo Simplex
En teoría de optimización
matemática, el algoritmo Simplex,
creado por el matemático
norteamericano George Bernard
Danzing en 1947, es una técnica
popular para dar soluciones
numéricas del problema de la
programación lineal.
Permite encontrar una solución
óptima en un problema de
maximización o minimización,
buscando en los vértices del
polígono
El metodo Simplex
 El método Simplex es un método secuencial de optimización y puede
ser empleado, así como el método univariado, tanto para maximizar
como para minimizar una respuesta.
 El método usa el concepto de un simplex , que es un politopo de N + 1
vértices en N dimensiones
 Un simplex es una figura geométrica de n dimensiones, constituido de
n+1 puntos. Cada dimensión corresponde a una variable a ser
optimizada.
 Por ejemplo, un 0-simplex es un punto ; un 1-simplex un segmento de
una línea; un 2-simplex (en dos dimensiones) un triangulo ; un 3simplex (en tres dimensiones) es un tetraedro ; y un 4-simplex es un
pentacoron.
 El método puede ser extendido para mayores dimensiones, pero la
visualización del simplex no será fácil. A pesar de esto, el método
Simplex puede ser aplicado, teóricamente, para la optimización de
cualquier número de variables.
El metodo Simplex
El procedimiento de
optimización, en el
método Simplex,
comienza por la
elección de los n+1
puntos donde será
hecha la evaluación de
la respuesta.
El metodo Simplex
El estándar n-simplex es el subconjunto de Rn+1
dado por:
Removiendo la restricción ti ≥ 0 en la condición anterior
da una n-dimensional subespacio afín de Rn+1
conteniendo el estándar n-simplex. Los vértices del
estándar n-simplex son los puntos:
e0 = (1, 0, 0, …, 0),
e1 = (0, 1, 0, …, 0),
.
.
en = (0, 0, 0, …, 1).
Metodo Simplex - resolución
SW para la IO
 LINDO
 GAMS/MINOS
 XPRESS-LP; y el lenguaje MPL (Mathematical Programming
Language)
 En los años noventa fueron apareciendo otras utilidades
informáticas, como son las hojas de cálculo y sus
complementos asociados, capaces de resolver programas
lineales.
Entre algunos de estos complementos se pueden citar los
siguientes: Solver, VINO, What's Best? y XA.
 PHPSimplex es una herramienta online para resolver
problemas de programación lineal. Su uso es libre y
gratuito. PHPSimplex es capaz de resolver problemas
mediante el Método Simplex y el Método de las Dos Fases,
y no cuenta con limitaciones en el número de variables de
decisión ni en las restricciones de los problemas.
Instalación de Solver
 En el menú Herramientas, elija
Complementos.
 En el cuadro de diálogo
Complementos, seleccione la
casilla de verificación Solver.
SOLVER
La planilla de cálculo Excel tiene incorporada una
poderosa herramienta para optimización, llamada
Solver, que le permite:
 Encontrar valores de celdas que igualan un valor
numérico, es decir, resuelve sistemas de ecuaciones.
 Encontrar valores de celdas que hacen máxima o
mínima una función sujeta a restricciones, es decir,
resuelve modelos de optimización restringida.
 En este último caso, se puede trabajar con modelos
lineales, con el método Simplex, o no lineales,
usando métodos más generales.
SOLVER
 Con Solver, se puede buscar el valor óptimo
para una celda, denominada celda objetivo,
en donde se escribe la fórmula de la función
objetivo f (x1, x2, ..., xn).
 Solver cambia los valores de un grupo de
celdas, denominadas celdas cambiantes, y
que estén relacionadas, directa o
indirectamente, con la fórmula de la celda
objetivo. En estas celdas se encuentran los
valores de las variables controlables x1, x2,
..., xn.
SOLVER
 Puede agregar restricciones a Solver, escribiendo
una fórmula gj (x1, x2, ..., xn) en una celda, y
especificando que la celda deberá ser mayor o igual,
igual, o menor o igual que otra celda que contiene la
constante cj.
 También puede especificar que los valores sean
enteros
 Solver ajustará los valores de las celdas cambiantes,
para generar el resultado especificado en la fórmula
de la celda objetivo.
Algoritmos y Métodos Utilizados por
Solver
Microsoft Excel Solver utiliza diversos métodos de
solución, dependiendo de las opciones que seleccione.
 Para los problemas de Programación Lineal utiliza el
método Simplex.
 Para problemas lineales enteros utiliza el método de
ramificación y límite, implantado por John Watson y
Dan Fylstra de Frontline Systems, Inc.
 Para problemas no lineales utiliza el código de
optimización no lineal (GRG2) desarrollado por la
Universidad Leon Lasdon de Austin (Texas) y la
Universidad Allan Waren (Cleveland).
Nuestro ejemplo en Solver
Definimos el problema en el Excel, en este caso el numero de mesas
producidas ponemos según nuestro aparecer ej. 100 cada uno, solamente
para poder definir la función objetivo que se encuentra en la celda F5
Nuestro ejemplo en Solver
Definimos las
funciones y
parámetros en la
ventana de Solver.
Solver encontró la
solución
Solucion en Solver
Solución
Numero de mesas M1 = 210
Numero de mesas M2 = 60
Beneficio total = 375
Nuestro ejemplo en Solver