Transcript File - Programa de Educação Tutorial Estatística

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN
Centro de Ciências e Exatas da Terra – CCET
Departamento de Estatística – DEST
Programa de Educação Tutorial - PET
Cálculo Diferencial e Integral
Limite
•
•
•
•
•
•
Limites de funções (introdução intuitiva)
Limites laterais
Funções contínuas (introdução intuitiva)
Limites infinito e limites no infinito
Propriedades de limites e técnicas para calcular limites
Limites de funções trigonométricas
Limites de funções (introdução intuitiva)
• O estudo de limite visa estabelecer o comportamento de uma função
quando o seu argumento se aproxima de um determinado valor.
y
Exemplo 1:
lim 𝑥² = 4
𝑥→2
4
2
x
• Observando o gráfico notamos que para valores de x próximos de 2,
maiores ou menores que 2, o valor da função se aproxima de 4, no
entanto lim 𝑥² = 4 .
𝑥→2
• Também podemos observar essa aproximação atribuindo valores para x
próximos de 2.
• Atribuindo a x valores próximos de 2, porém menores que 2, temos:
x
1,9
1,99
1,999
f(x)
3,61
3,96
3,996
• Se atribuirmos a x valores próximos de 2, porém maiores que 2, temos:
x
2,1
2,11
2,111
f(x)
4,41
4,04
4,004
• Observa-se em ambas as tabelas que, quando x se aproxima cada vez mais
de 2, f(x) aproxima-se cada vez mais de 4, isto é, quanto mais próximo de 2
estiver x, tanto mais próximo de 4 estará f(x).
Exemplo 2:
Seja a função:
y
𝑓 𝑥 = 𝑥² 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 2
2 𝑠𝑒 𝑥 = 2
Calcule lim 𝑓(𝑥).
4
𝑥→2
2
2
x
• Como no cálculo do limite de uma função, quando x tende a 𝑎, interessa o
comportamento da função quando x se aproxima de 𝑎 e não o que ocorre
com a função quando x=𝑎, temos que lim 𝑓(𝑥) = 4.
𝑥→2
Limites laterais
• Quando nos tratamos de limites laterais, estamos interessados em saber o
comportamento da função quando o seu argumento se aproxima de um
determinado valor numa dada direção.
• Se x se aproxima de 𝑎 através de valores maiores que 𝑎 ou pela sua
direita, escrevemos:
lim 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑎+
• Se x se aproxima de 𝑎 através de valores menores que 𝑎 ou pela sua
esquerda, escrevemos:
lim 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑎−
Exemplo 3:
Seja a função:
𝑓 𝑥 =
1 𝑠𝑒 𝑥 > 0
0 𝑠𝑒 𝑥 = 0
−1 𝑠𝑒 𝑥 < 0
A partir desta função obtemos
o gráfico a direita:
y
1
x
-1
• Observando o gráfico podemos perceber que quando x se aproxima de 0
para valores maiores que 0, a função assume o valor 1, mas quando x se
aproxima de 0 para valores menores que 0 a função assume o valor -1,
então dizemos que lim+ 𝑓(𝑥) = 1 e lim− 𝑓(𝑥) = −1.
𝑥→0
𝑥→0
Teorema
• Seja 𝐼 um intervalo aberto contendo 𝑎 e seja 𝑓 uma função definida para
𝑥 ∈ 𝐼 − 𝑎 . Temos lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 se, e somente se, existirem lim+ 𝑓(𝑥) e
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
lim 𝑓(𝑥) e forem ambos iguais a 𝐿.
𝑥→𝑎−
• No exemplo 3 vimos que lim+ 𝑓(𝑥) ≠ lim− 𝑓(𝑥) , então não existe
𝑥→0
𝑥→0
lim 𝑓(𝑥) e nos exemplos 1 e 2 vimos que lim 𝑓(𝑥) existe, logo
𝑥→0
lim+ 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥).
𝑥→2
𝑥→2
𝑥→2
𝑥→2
Funções contínuas (introdução
intuitiva)
• Dizemos que uma função é contínua se o gráfico puder ser desenhado em
todos os pontos pertencentes ao domínio sem levantar o lápis.
Exemplo 4:
y
x
Percebe-se que ao desenhar o
gráfico ao lado teríamos que
levantar o lápis quando x=0 para
prosseguir o desenho, com isso a
função ao lado não é contínua no
seu domínio.
Exemplo 5:
y
x
Veja que na função ao lado,
em
nenhum
momento
levantaríamos o lápis para
desenha-la em todo o seu
domínio, com isso não é
difícil notar que a função é
contínua.
• OBS: Em contextos avançados, este critério que estamos utilizando para
identificar se uma função é ou não contínua é errado, mas para o
momento tal análise é suficiente.
Definição de função contínua utilizando limites:
• Uma função 𝑓 é contínua num ponto 𝑎 se são satisfeitas as três condições
seguintes:
i.
ii.
iii.
𝑓 é definida num intervalo aberto contendo 𝑎.
lim 𝑓(𝑥) existe
𝑥→𝑎
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
• Se 𝑓 não é contínua em 𝑎, dizemos que é descontínua em 𝑎, ou que tem
uma descontinuidade em 𝑎.
• Nos exercícios 1 a 3, é dada uma função 𝑓. Calcule os limites indicados se
existirem; se os limites não existirem, especifique a razão.
1.
a)
2.
a)
3𝑥 − 2 𝑠𝑒 𝑥 > 1
𝑓 𝑥 = 2
𝑠𝑒 𝑥 = 1
4𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 < 1
lim 𝑓(𝑥)
𝑥→1+
𝑓 𝑥 =
a)
lim 𝑓(𝑥)
c) lim 𝑓(𝑥)
𝑥→1
b) lim − 𝑓(𝑥)
c) lim 𝑓(𝑥)
b) lim − 𝑓(𝑥)
c) lim 𝑓(𝑥)
𝑥→−1
𝑥→−1
𝑥+1
𝑥+1
lim 𝑓(𝑥)
𝑥→−1+
𝑥→1
3 − 2x se x ≥ −1
4 − x se x < −1
𝑥→−1+
3. 𝑓 𝑥 =
b) lim− 𝑓(𝑥)
𝑥→−1
𝑥→−1
Limites infinito e limites no infinito
1
• Considere a função𝑓 𝑥 = , vamos observar o que acontece com o valor
𝑥
da função quando 𝑥 → ∞ e quando 𝑥 → 0+ .
x
1
10
100
1000
f(x)
1
0,1
0,01
0,001
x
1
0,1
0,01
0,001
f(x)
1
10
100
1000
• A tabela acima sugere que o valor da função fica cada vez mais próximo de
0 quando 𝑥 → +∞, quando isto ocorre escrevemos lim 𝑓(𝑥) = 0. A
𝑥→+∞
tabela sugere também que o valor da função fica cada vez mais próximo
de ∞ quando 𝑥 → 0+ , quando isto ocorre escrevemos lim+ 𝑓(𝑥) = +∞.
𝑥→0
• O gráfico abaixo sugere que o valor da função fica cada vez mais próximo
de 0 quando 𝑥 → +∞, isto é, lim 𝑓(𝑥) = 0 e sugere também que o
𝑥→+∞
valor da função fica cada vez mais próximo de +∞ quando 𝑥 → 0+ , isto é,
lim+ 𝑓(𝑥) = +∞.
𝑥→0
y
x
1
• Considere a mesma função𝑓 𝑥 = , vamos observar o que acontece com
𝑥
o valor da função quando 𝑥 → −∞ e quando 𝑥 → 0− .
x
-1
-10
-100
-1000
f(x)
-1
-0,1
-0,01
-0,001
x
-1
-0,1
-0,01
-0,001
f(x)
-1
-10
-100
-1000
• A tabela acima sugere que o valor da função fica cada vez mais próximo de
0 quando 𝑥 → −∞, quando isto ocorre escrevemos lim 𝑓(𝑥) = 0. A
𝑥→−∞
tabela sugere também que o valor da função fica cada vez mais próximo
de −∞ quando 𝑥 → 0− , quando isto ocorre escrevemos lim− 𝑓(𝑥) = −∞.
𝑥→0
• O gráfico abaixo sugere que o valor da função fica cada vez mais próximo
de 0 quando 𝑥 → −∞, isto é, lim 𝑓(𝑥) = 0 e sugere também que o
𝑥→+∞
valor da função fica cada vez mais próximo de −∞ quando 𝑥 → 0− , isto é,
lim− 𝑓(𝑥) = −∞.
𝑥→0
y
x
Limites do tipo 𝒙𝒏 e
𝟏
𝒙𝒏
no infinito
• Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 , n = 1, 2, 3 …, então:
lim 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→+∞
lim 𝑓(𝑥) =
𝑥→−∞
+∞ se 𝑛 for par
−∞ 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 í𝑚𝑝𝑎𝑟
• Seja 𝑓 𝑥 =
1
,n
𝑥𝑛
𝑥 𝑛 𝑠𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑥 𝑛 𝑠𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟
1
𝑠𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑥𝑛
1
𝑠𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟
𝑥𝑛
= 1, 2, 3 …, então:
lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) = 0
𝑥→+∞
𝑥→−∞
Propriedades de limites e técnicas para
calcular limites
• Sejam 𝑓1 e 𝑓2 duas funções de x, e que existam 𝐿1 e 𝐿2 tais que
𝐿1 =lim 𝑓1 e 𝐿2 =lim 𝑓2 (quando 𝑥 → 𝑎, 𝑥 → 𝑎+ , 𝑥 → 𝑎− , 𝑥 → +∞, 𝑥 → − ∞)
Valem as propriedades:
lim(𝑓1 + 𝑓2 ) = 𝐿1 + 𝐿2
lim(𝑓1 − 𝑓2 ) = 𝐿1 − 𝐿2
lim(
𝑛
lim(𝑓1 𝑓2 ) = 𝐿1 𝐿2
𝑓1 𝐿1
lim =
𝑠𝑒 𝐿2 ≠ 0
𝑓2 𝐿2
𝑓1 ) = 𝑛 𝐿1 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝐿1 ≥ 0 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟
Técnicas para calcular limites
• Se 𝑓 é uma função definida por uma única equação que está definida no
ponto 𝑎, então lim 𝑓 = 𝑓(𝑎).
𝑥→𝑎
Exemplos:
lim ( 𝑥² − 5𝑥 + 3) = −1
𝑥→4
2𝑥−3
𝑥→−2 𝑥−4
lim
=
5𝑥−1
−
𝑥→1 𝑥²+3
lim
7
6
8𝑥 = −7
• Se 𝑓 é uma função racional, indefinida no ponto 𝑎 tal que 𝑓(𝑎) implicaria
𝑐
em uma indeterminação do tipo , sendo 𝑐 uma constante, então os
0
limites laterais tendem para +∞ ou −∞.
Exemplos:
3𝑥+2
2 =+
(𝑥−1)
𝑥→1
1
lim+ 3 = +∞
𝑥→1 𝑥
lim+
∞
3𝑥+2
𝑥→1 (𝑥−1)2
1
lim− 3 = −∞
𝑥→1 𝑥
lim−
3𝑥+2
𝑥→1 (𝑥−1)2
=+∞
lim
=+∞
• Se 𝑓 é uma função racional, indefinida no ponto 𝑎 tal que 𝑓(𝑎) implicaria
0
em uma indeterminação do tipo , para calcular lim 𝑓 devemos mexer
0
𝑥→𝑎
algebricamente na função de modo que elimine a indeterminação para
depois substituir 𝑥 por 𝑎.
Exemplos:
𝑥²−4
𝑥→2 𝑥−2
lim
(𝑥−2)(𝑥+2)
𝑥−2
𝑥→2
= lim
= lim ( 𝑥 + 2) = 4
𝑥²−7𝑥+10
𝑥→2 𝑥 2 −4
= lim
5− 𝑥
𝑥→25 25−𝑥
5− 𝑥 5+ 𝑥
𝑥→25 25−𝑥 5+ 𝑥
lim
lim
𝑥→2
(𝑥−2)(𝑥 −5)
𝑥→2 (𝑥−2)(𝑥+2)
= lim
(𝑥 −5)
𝑥→2 (𝑥+2)
= lim
=
−3
4
25−𝑥
𝑥→25 (25−𝑥)(5+ 𝑥)
= lim
=
1
10
• Seja a função polinomial 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 +
𝑎0 . Então:
lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑎𝑛 𝑥 𝑛
𝑥→±∞
𝑥→±∞
• De forma análoga para g 𝑥 = 𝑏𝑛 𝑥 𝑚 + 𝑏𝑛−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏2 𝑥 2 + 𝑏1 𝑥 +
𝑏0 , temos:
𝑓(𝑥)
𝑎𝑛 𝑥 𝑛
lim
= lim
𝑥→±∞ 𝑔(𝑥)
𝑥→±∞ 𝑏𝑛 𝑥 𝑚
Exemplos:
lim (2 𝑥² + 𝑥 − 3) = lim 2 𝑥²
𝑥→∞
𝑥→∞
lim 3𝑥 3 − 4𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = lim 3𝑥³ = −∞
𝑥→−∞
2𝑥 4 +𝑥−1
lim
𝑥→2 𝑥³+𝑥²+4
𝑥→−∞
=
2𝑥 4
lim
𝑥→2 𝑥³
= lim 2𝑥 = ∞
𝑥→2
Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos limites.
Produtos notáveis:
1. 𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎: 𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²
2. 𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎: 𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
3. 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎: 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎² − 𝑏²
4. 𝐶𝑢𝑏𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎: 𝑎 + 𝑏 3 = 𝑎³ + 3𝑎²𝑏 + 3𝑎𝑏² + 𝑏³
5. 𝐶𝑢𝑏𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎: 𝑎 + 𝑏 3 = 𝑎³ − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3
Fatorações:
1. 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚: 𝑎𝑥 ± 𝑎𝑦 = 𝑎 𝑥 ± 𝑦
2. 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝑎² − 𝑏 2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏
3. 𝑇𝑟𝑖𝑛ô𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑜 2º 𝑔𝑟𝑎𝑢: 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑎 − 𝑥 ′ 𝑎 − 𝑥 ′′ ,
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 ′ 𝑒 𝑥 ′′ 𝑠ã𝑜 𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐵ℎá𝑠𝑘𝑎𝑟𝑎 (𝑥 =
𝑏 2 − 4𝑎𝑐)
4. 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠: 𝑎³ + 𝑏³ = 𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2
5. 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠: 𝑎³ − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
Conjugado de radicais:
1. 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑎 − 𝑏 é 𝑎 + 𝑏, 𝑝𝑜𝑖𝑠
3
3
3
𝑎− 𝑏
3
2. 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 3 𝑎 − 𝑏 é 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 , 𝑝𝑜𝑖𝑠
𝑎−𝑏
−𝑏±
2𝑎
Δ
, onde Δ=
𝑎+ 𝑏 =𝑎−𝑏
3
3
𝑎− 𝑏
3
3
3
𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 =
Exercícios
Calcule os limites abaixo:
4−𝑥²
𝑥→2 2+𝑥
a) lim
d)
𝑥²−4𝑥+3
𝑥→3 𝑥²−𝑥−6
c) lim
𝑥 4 −16
lim
𝑥→2 8−𝑥³
f) lim
2− 𝑥−3
𝑥→7 𝑥²−49
i) lim
2𝑥−4
𝑥→3 (𝑥−3)²
l) lim
3−𝑥
𝑥→2 𝑥²+𝑥−6
o) lim+
b) lim
8+𝑥³
lim
𝑥→−2 4−𝑥²
e)
1−𝑥²
𝑥→−1 𝑥+ 2+𝑥
h) lim
g) lim
𝑥²
𝑥→2 𝑥−2
j) lim
3−𝑥
𝑥→5 𝑥−5
m) lim+
k) lim
n) lim+
𝑥³−1
𝑥→1 5𝑥−5
𝑥−1
𝑥→1 𝑥−1
3− 5+𝑥
𝑥→4 1− 5−𝑥
2𝑥−7
𝑥→3 (𝑥−3)²
𝑥²
𝑥→5 2𝑥−10
𝑥−2
lim+
𝑥→1 𝑥²+𝑥−2
q)
s) lim
𝑥²+2𝑥³
𝑥→−∞ 5𝑥+3−𝑥 4
t) lim
w) lim 𝑥 4 + 5𝑥 − 6
x) lim
p)
𝑥→−∞
2
(𝑥 2
3
𝑥→+∞ 𝑥
z) lim
+ 1)
𝑥 5 +3𝑥
lim
𝑥→+∞ 2𝑥+1
2𝑥³−1
lim
𝑥→+∞ 5𝑥³+𝑥+1
r)
𝑥²
𝑥→−∞ 1−5𝑥²
u) lim 𝑥 5 − 𝑥³
𝑥→+∞
𝑥+2− 𝑥
𝑥→−∞
3
𝑥
𝑥→+∞ 𝑥
y) lim
Limites de funções trigonométricas
Limite fundamental trigonométrico
• O limite fundamental trigonométrico trata de um limite cuja
0
indeterminação é do tipo envolvendo a função trigonométrica 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥.
0
Este limite é muito importante, pois com ele resolveremos outros
problemas.
𝑠𝑒𝑛𝑥
lim
=1
𝑥→0 𝑥
Exemplos
lim
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑥→0 𝑥
= lim 2
𝑠𝑒𝑛3𝑥
𝑥→0 𝑠𝑒𝑛5𝑥
= lim ∙
lim
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
lim
𝑥→0 𝑥²
𝑠𝑒𝑛2𝑥
2𝑥
=2∙1=2
3 𝑠𝑒𝑛3𝑥
3𝑥
𝑥→0 5
=
∙
5𝑥
𝑠𝑒𝑛5𝑥
3
5
= ∙1∙1=
(1−𝑐𝑜𝑠𝑥)(1+𝑐𝑜𝑠𝑥)
lim
𝑥²(1+𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑥→0
=
3
5
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
lim
𝑥→0 𝑥²
∙
1
1+𝑐𝑜𝑠𝑥
=
1
2
Exercícios
𝑠𝑒𝑛4𝑥
𝑥→0 3𝑥
a) lim
1−𝑠𝑒𝑐𝑥
𝑥→0 𝑥²
d) lim
𝑐𝑜𝑠𝑥 −1
𝑥
𝑥→0
c) lim
𝑡𝑔𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
𝑥→0
f) lim
b) lim
e) lim
𝑡𝑔𝑥
𝑥→0 𝑥
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥→0 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥