Matemática I



Prof. Laurence D. Hoffmann.

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Prof. GeraLd L. Bradley



Professora. Patrícia Carly

Limite de uma função

 Se f(x) tende a um número L quando x tende a um número c tanto pela esquerda como pela direita, L é limite de f(x) quando x tende a c, o que, em notação matemática, é escrito como:

Lim f(x)= L x c

 Para as três funçoes , o limite de f(x) quando x tende F(c)=4  Para as três funções, o limite de f(x) quando x tende a 3 é igual a 4.

F ( c)=é diferente de 4 F(c)= não é definido

Propriedade algébrica dos limites: se lim f(x) e lim g(x) existem x c x c

Limite de duas funções lineares

 Para qualquer constante k.

  Lim k = k e lim x =

c

x c x c   O limite de uma constante é a própria constante.

o limite de f(x)=x quando x tende a c é

c .

Limite de duas funções lineares

Y=k y y c (c,k ) (c,c) x c x x x c x Lim k = k lim x = c x c x c x

Calcule o limite

  A)Lim 2 x 1   B) lim x x 2

Solução Y=2 y y 2 (1,2 ) (2,2) x 1 x x x 2 x x A)Lim 2 x 1 B) lim x x 2 Lim k = k lim x = c x c x c

Calcule lim (3x³-4x +8) x -1   Solução: Usando a propriedade e limite p p p lim (3x³-4x +8)= 3(lim x)³- 4(lim x) + lim 8 x -1 x -1 x -1 x -1 = 3(-1) ³ - 4(-1) + 8 = 9

Calcule lim (2x³+4x +7) x -1

Calcule lim (2x³+4x +7) x -1   Solução: Usando a propriedade e limite p p p lim (2x³+4x +7)= 2(lim x)³+ 4(lim x) + lim 7 x -1 x -1 x -1 x -1 = 2(-1) ³ + 4(-1) + 7= 1

Calcule lim 3x³ -8/ x-2 x 1   Lim (x-2)= o X 1     Lim 3x³ -8 = 3( lim x)³ -lim 8 x 1 x – 2 x 1 x 1 lim x - lim 2 x 1 x 1 =3-8 / 1-2 = 5

Calcule lim 3x³ -8/ x-3 x 2

solução

  Lim (x-3)= o X 2     Lim 3x³ -8 = 3( lim x)³ -lim 8 x 2 x – 3 x 2 x 2 =24-8 / 2-3 = 16/-1=- 16 lim x - lim3 x 2 x 2

Limite de Polinômio e funções Racionais    Se p(x) e q(x) são polinômios, Lim p(x)=p(c ) X c  Lim p(x) = p(c )  x c q(x) q(c ) se q( c) = 0

Calcule lim x+1 x 2 x-2      Solução A regra do quociente não se aplica, neste caso, o limite do denominador é lim(x-2)=0 X 2 O limite do numerador é lim(x+1) =3  X 2  Que é diferente de zero, chegamos à conclusão que o limite não existe.

Calcule lim x²-1 x 1 x²-3x+2   Solução Tanto o numerador quanto o denominador de uma fração dada tende a zero. Quando isso acontece, muitas vezes é possível simplificar algebricamente a fração para obter o limite desejado.

solução

   Calcule lim x²-1 x 1 x²-3x+2 =(x-1)(x+1) x=1 (x-1)(x-2)

x

   =lim(x+1) x 1 lim (X-2) x 1 =2/-1=-2

ax

2 

b

2  4

ac

2

a

    

x

1   

b

2  4

ac

2

a b

2  4

ac

2

a



x

1 )(

x



x

2 )

Método para determinar o Limite no Infinito de f(x) =p(x) /q(x)  1 passo: divida todos os termos de f(x) pela maior potência de x que aparece no polinômio do denominador, q(x).

 2 passo: calcule lim f(x) ou lim f(x)  x +∞ x -∞  usando as propriedades algébricas dos limites e as regras das potências inversas.

Calcule lim 2x²+3x+1 x +∞ 3x²-5x+2   Solução: A maior potência de x no denominador é x². dividindo o numerador e denominador por x², obtemos:

Calcule lim 2x²+3x+1 x +∞ 3x²-5x+2   Solução: A maior potência de x no denominador é x², obtemos: lim 2x²+3x+1 x +∞ 3x²-5x+2 = lim 2x²/x²+3x/x²+1/x² x +∞ 3x²/x²-5x/x²+2/x² =2/3

Limite Infinito

 Dizemos que lim f(x) é um um limite infinito se f(x) aumenta ou diminui sem limite quando x c. escrevemos  Se f(x) aumenta sem limite quando x c e  Se f(x) diminui sem limite quando x c Lim f(x) =+ ∞ X c Lim f(x) =- ∞ X c

Exemplo calcule lim - x³+2x+1 x +∞ x-3   lim - x³+2x+1 x +∞ x-3 = lim - x³/x+2x/x+1/x x +∞ x/x-3/x = lim - x²x+2+1/x x +∞ 1-3/x =- ∞ lim - 1 -3/x x +∞ lim - x³+2x+1 x +∞ x-3 =1 =- ∞

Limites unilaterais e continuidade

   Limites Unilateria Se f(x) tende a L quando x tende a c pela esquerda (xescrevemos

lim f(x)=L

   x c Se f(x) tende a M quando x tende a c pela direita (x>c), escrevemos

lim f(x)=M

 x c +

Exemplo limite uniliterais envolvendo um estoque just in time.

Lim I(t)= L2 e lim I(t) =L1 t t1 t t2+

Exemplo de limite unilaterias

   F(x) = 1-x² para 0≤x <2 2x+ para x≥2 Determine os limites lim f(x) e lim f(x)  x 2‾ x 2†



solução

f(x)= 1-x² para 0≤x <2 temos:   lim f(x) = lim (1-x²) = 1-4 = -3 x 2‾ x 2‾  Como f(x)=2x+1 para x≥2, temos:   lim f(x) = lim (2x+1)= 4+1 =5 x 2† x 2† y 5 3 1 2 x

Existência de um limite

   O limite limf(x) existe se e apenas se os limites uniliterais lim f(x) e lim f(x) existem e são iguais,caso que x c‾ x c†   Lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) X c x c ‾ x c†

 Exemplo determine se lim f(x) existe, onde x 1   F(x) = x+1 para x<1 -x²+4x -1 para x≥1

Solução calculando os limites unilateria em x=1       F(x)= x+1 x<1 lim f(x) = lim (x+1) =1+1=2 x 1‾ x 1‾ F(x) = -x²+4x-1 x≥1 Lim f(x) =lim (-x²+4x-1)=-(-1)²+4(-1)-1=2 x 1† x 1†   Lim f(x) = lim f(x)= lim f(x)=2 X 1 x 1 ‾ x 1†

Exercício determine se lim f(x) existe, onde x 3   F(x) = x²+1 para x≤3 2x+4 para x>3

solução

  Lim (x²+1)=9+1=10 x 3 10   Lim (2x+4)=6+4=10 x 3 4 1 x²+1 2x+4 3

 Continuidade: Uma função f é continua no Ponto c se três condições são satisfeitas.

      A) f(c ) é definida.

B) Lim f(x)=f(c ) x c C) lim f(x) existe x c Se f(x) não é contínua no ponto c, dizemos que o ponto c é um ponto de descontinuidade.

exempo: mostre que a função racional f(x)=(x+1)/(x-2) é continua em x=3

Solução: f(x)=(x+1)/(x-2) é continua em x=3   Observe que f(3)=(3+1)/(3-2)=4 Com lim (x-2)=0

x

lim  3

f

(

x

)  ( 3  1 ) ( 3  2 )  4 lim

x

 3 (

x

 2 )  0 lim

x

 3

f

(

x

)  lim

x

 3 lim

x

 3 (

x

 1 ) (

x

 2 )  4 1  4 

f

( 3 )