Transcript VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

ÍNDICE
 Unidades de volumen.
 Volumen, capacidad y masa.
 Densidad.
 Volumen de un ortoedro.
 Volumen de prismas y cilindros.
 Volumen de pirámides y conos.
 Volumen de la esfera.
·Unidades de volumen
El metro cúbico es la unidad principal de medida de
volumen.
Se escribe 𝑚3 .
Los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico
son:
En las unidades de volumen, cada unidad es
1.000 veces mayor que la inmediata inferior y
1.000 veces menor que la inmediata superior.
EJEMPLO
1)Expresa en metro cúbicos.
46 𝑑𝑎𝑚3 → 46 · 1.000 = 46.000 𝑚3
82 𝑑𝑚3 → 82 ∶ 1.000 = 0,082 𝑚3
5,6 ℎ𝑚3 → 5,6 · 1.000.000 = 5.600.000 𝑚3
4,3 𝑐𝑚3 → 4,3 ∶ 1.000.000 =
0,0000043 𝑚3
e) 0,2 𝑚𝑚3 → 0,2 ∶ 1.000.000.000 =
a)
b)
c)
d)
·Forma compleja e incompleja
Las medidas de volumen se pueden expresar en
una sola unidad, forma incompleja, o con varias
unidades, forma compleja.
EJEMPLO
2)Expresa 35.622,31 𝒄𝒎𝟑 en forma compleja.
→ 35 𝑚3 622 𝑑𝑚3 310 𝑐𝑚3
3)Expresa 7𝒌𝒎𝟑 𝟖, 𝟐 𝒉𝒎𝟑 𝟐𝟑𝒅𝒎𝟑 𝒆𝒏 𝒅𝒂𝒎𝟑 .
7𝑘𝑚3 → 7 · 1.000.000 = 7.000.000𝑑𝑎𝑚3
8,2ℎ𝑚3 → 8,2 · 1.000 = 8.200𝑑𝑎𝑚3
23𝑑𝑚3 → 23 ∶ 1.000.000 = 0,000023𝑑𝑎𝑚3
7.000.000 + 8.200 + 0,000023
= 7.008.200,000023𝑑𝑎𝑚3
·Volumen de un cuerpo
El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio
que ocupa.
EJEMPLOS
a)𝑉𝐴 = 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑
1
𝑏) 𝑉𝐴 = 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑
3
4)Determina el volumen de los cuerpos A, B
y C.
a) Tomando el cuerpo A como unidad.
b) Tomando el cuerpo B como unidad.
𝑉𝐵 = 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑉𝐵 = 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑉𝐶 = 9 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑉𝐶 = 3𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
5)Calcula el volumen de
un cubo cuya arista
mide 2 cm.
Este cubo contiene 8
cubitos de 1𝑐𝑚3 .
El volumen es 8𝑐𝑚3 .
• Volumen de un cuerpo.
·Relación entre las unidades de
volumen y capacidad.
Al establecer el Sistema Métrico Decimal, se definió
el litro como la capacidad de un cubo de 1 dm de
arista, es decir, 1𝑑𝑚3 .
Un litro es la capacidad de un cubo de 1dm de
arista. 1𝑑𝑚3 = 1𝑙.
Así, las equivalencias entre las unidades de
volumen y capacidad son:
·Relación entre las unidades de
volumen y masa.
Un litro de agua destilada pesa 1kg. Como 1l = 1
𝑑𝑚3 ,el peso de 1 𝑑𝑚3 de agua destilada es 1kg.
Un kilo es la masa que tiene 1 𝑑𝑚3 de agua
destilada.
3
Las equivalencias entre las unidades de volumen
y masa son:
EJEMPLO:
6)Expresa estas medidas de volumen de agua
destilada en litros y kilos.
a) 32 𝑑𝑚3 = 32 𝑙 = 32 𝑘𝑔
b) 3,2 𝑚3 = 3,2 𝑘𝑔 =
3,2 𝑡
3,2𝑘𝑙→3,2·1.000=3.200𝑙
3.200𝑘𝑔
Cuando se trata de agua destilada, el número que
expresa la masa en kilogramos es el mismo que el
expresado por su volumen en 𝑑𝑚3 .
5kg de agua destilada = 5 𝑑𝑚3 de agua destilada.
Esto no ocurre con otras sustancias, como, por
ejemplo:
Mercurio → 1𝑑𝑚3 tiene una masa de 13,6 kg.
NOTA
Aceite → 1 𝑑𝑚3 tiene una masa de 0,9 kg.
Aluminio → 1 𝑑𝑚3 tiene una masa de 11,4 kg.
8)¿Cuánto pesan 2,5l de mercurio si su densidad es
13,6 kg/l?
Planteamos una regla de tres:
Si 1l
𝑝𝑒𝑠𝑎
𝑝𝑒𝑠𝑎𝑟á𝑛
13,6 kg
2,5l
x kg
x = 2,5 · 13,6 = 34 kg.
Dos litros y medio de mercurio pesan 34 kg.
EJEMPLOS
7)Calcula la densidad de un trozo de galena que
tiene un volumen de 12 𝒅𝒎𝟑 y una masa de 87,6 kg.
D=
𝑚
𝑣
=
87,6
12
= 7,3kg/l
Decimos que la densidad de la galena es 7,3 kg/l.
8)Expresa la densidad anterior en g/𝒄𝒎𝟑 .
7,3 kg/l →
7,3·1.000
1·1.000
3
g/𝑐𝑚 =
7.300
1.000
g/𝑐𝑚3 = 7,3 g/𝑐𝑚3
También se puede decir que la galena tiene una
·Volumen de un ortoedro
El volumen de un
ortoedro cuyas aristas
miden a, b y c, es:
𝑉𝑂𝑅𝑇𝑂𝐸𝐷𝑅𝑂 = 𝑎 · 𝑏 · 𝑐
EJEMPLO
10)Calcula el volumen de un ortoedro de aristas 6
cm, 4 cm y 3 cm.
Dividimos el ortoedro en cubos de 1𝑐𝑚3 . Si
consideramos su volumen como el número de
·Principio de Cavalieri
Observa el montón de paquetes de folios apilados, y a la
derecha los mismo folios pero desordenados.
En los dos casos el volumen es igual, pues hay el mismo
número de folios; además, si cortamos las figuras con un
plano paralelo a la base, la sección es igual en los dos
montones.
Principio de Cavalieri
Si, en dos cuerpos de igual altura, las áreas de
las secciones producidas por planos paralelos a
la base son iguales, los cuerpos tienen el mismo
volumen.
Según el principio de Cavalieri, un prisma
recto y otro oblicuo que tengan la misma
altura y cuya área de la base sea idéntica,
tendrán igual volumen.
·Volumen del prisma
Según el principio de Cavalieri, el volumen de un
ortoedro y de un prisma con igual altura y cuyas
bases tengan la misma área será el mismo.
El volumen de un prisma con altura h y área de la
base 𝐴𝐵 , es:
𝑉
= 𝐴 ·ℎ
·Volumen del cilindro
En el caso del cilindro, tal y como ocurre con el
prisma, cualquier sección de un plano paralelo a
la base es idéntica a la base.
Por tanto, un cilindro y un prisma con la misma
altura y con bases de igual área tendrán también
el mismo volumen, aplicando el principio de
Cavalieri.
El volumen de un cilindro de radio r y altura h,
es:
𝑉𝐶𝐼𝐿𝐼𝑁𝐷𝑅𝑂 = 𝐴𝐵 · ℎ = 𝜋𝑟 2 · ℎ = 𝜋𝑟 2 ℎ
EJEMPLO
11)Calcula el volumen del prisma y el cilindro.
a)𝑉𝑃𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = 𝐴𝐵𝑎𝑠𝑒 · ℎ =
𝑉𝑃𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 =
5· 6 ·4,13
·
2
𝑃·𝑎
2
·ℎ
8 = 495,6 𝑐𝑚3
b)𝑉𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑟 2 ℎ = 𝜋 · 52 · 12 = 942 𝑐𝑚3
NOTA
·Volumen de la pirámide
Esta pirámide y este prisma tienen la misma
altura, h, e igual base ,B.
Si llenamos la pirámide con arena fina,
comprobamos que para llenar el prisma se
necesitaría el contenido de tres pirámides. El
volumen de la pirámide es la tercera parte del
volumen del prisma.
El volumen de una pirámide con altura h y área
de la base 𝐴𝐵 , es:
1
𝑉𝑃𝐼𝑅Á𝑀𝐼𝐷𝐸 = 𝐴𝐵 · ℎ
3
·Volumen del cono
Esto mismo ocurre entre el cono y el cilindro.
El volumen de un cono es la tercera parte del
volumen del cilindro con la misma altura e
idénticas bases.
El volumen de un cono de radio r y altura h, es:
1 2
𝑉𝐶𝑂𝑁𝑂 = 𝜋𝑟 ℎ
3
EJEMPLO
12)Calcula el volumen de un cono de 11 cm de
altura y 4 cm de radio.
1 2
𝜋 · 42 · 11
𝑉𝐶𝑂𝑁𝑂 = 𝜋𝑟 ℎ =
= 184,21 𝑐𝑚3
3
3
·Nota
Como un cono y una pirámide con la misma altura e
idéntica base tienen secciones de igual área.
Por el principio de Cavalieri, tienen el mismo volumen.
EJEMPLO
Calcula el volumen de un cono cuya altura mide
4 cm y el radio de la base es de 3 cm.
𝜋 · 32 · 4
V=
3
= 37,70𝑐𝑚3
El volumen de una esfera se determina a partir
de un cilindro que tiene la altura y el diámetro
de la base iguales que el diámetro de la esfera.
Diámetro esfera = Diámetro cilindro = Altura
cilindro = 2r
Si llenamos con arena fina la mitad de una
esfera y la vaciamos en el cilindro,
comprobamos que el contenido de este cuerpo
cabe tres veces en el cilindro.
El volumen de la mitad de la esfera es un tercio
del volumen del cilindro.
Luego el volumen de la esfera, que es el doble, es
dos tercios del volumen del cilindro.
2
2 2
2 2
𝑉𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 𝑉𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑟 ℎ = 𝜋𝑟 · 2𝑟
3
3
3
4 2
= 𝜋𝑟
3
El volumen de la esfera de radio r es:
4 2
𝑉𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 𝜋𝑟
EJEMPLO
Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua.
¿Cabría este agua en una esfera de 20 cm de
radio?
Vc = 203 = 8.000𝑐𝑚3
4
𝑉𝐸 = · 𝜋 · 203 = 3.351.032𝑐𝑚3
3
EJEMPLO
13)Calcula el volumen de un balón de 30 cm de
diámetro.
𝑑
2
r= =
30
2
= 15 𝑐𝑚
4 3
4
𝑉𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 𝜋𝑟 = · 𝜋 · 153
3
3
= 14.130 𝑐𝑚3
Nota