La estructura fina del átomo de hidrógeno
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Transcript La estructura fina del átomo de hidrógeno
Quantum Mechanics, Concepts and Applications
N. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second edition
V.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum Physics
F. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum Mechanics
Gary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum Mechanics
D. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second edition
R. Shankar 0306447908
Quantum physics
S. Gasiorowicz
Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la
ecuación de Schrödinger:
1. Corrección del movimiento del núcleo
Usando la masa reducida
2. Estructura fina
a) Correcciones relativistas
b) Correcciones por el acoplamiento spín-orbita
3. Corrimiento Lamb
Debido a la cuantización del campo coulombiano
4. Estructura hiperfina
Debida a la interacción magnética entre los momentos
dipolares del electrón y el protón
Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno
Energía de Bohr
mc
2
Estructura fina
mc
2
Corrimiento Lamb
mc
2
2
4
5
m
Estructura hiperfina
mp
mc
4
2
E l cam po m agnético en el centro de
una espira de radio r y con una
corriente I está dado com o
B
2 I
c r
I
r
D esde el sistem a de referencia en reposo en el
electrón se ve girar al núcleo, y eso co nstituye
una corriente eléctrica dada com o
I Z ef
Z ev
2 r
P or lo tanto, el electrón está en un cam po
m agnético de m agnit ud
B
Z ev
cr
2
C om o la m agnitud del m om ento angular es
L mrr v
y el cam po m agnético está en la direcció n Z ,
L
v
mrr
podem os poner
B
Z ev
cr
2
Ze
m r cr
3
L
D e las transform aciones relativistas de los cam pos
electrom agnéticos, tenem os
B v
E
c
A hora es claro que
E
V
r
rˆ
y por tanto
B
1
c
v
r V
r r
1
V
m r cr r
L
B
V
1
m r cr r
L
E n este caso el potencial escalar es
V r
Ze
r
y sustituido da
B
1
c
v
r V
r r
1
Ze
m r cr r
2
L
Ze
m r cr
3
L
Las partículas elem entales tienen un m om ento
angular intrínseco
E l m om ento angular intrínseco im plica ta m bién
un m om ento m agnético intrínseco
E l m om ento angular está cuantizado y tie ne un
valor igual a 1 / 2
Los núm eros cuánticos asociados con el e spín son
S s s 1
2
2
3
4
2
s
1
2
Sz ms
ms
1
2
S ms
2
1
2
3
4
2
m
s
S z ms m s ms
1
2
S ms
2
n lm m
l
s
3
2
4
ms
r , ,
S z ms m s ms
R n l r Ylm l , m s
D egeneración:
n
2
2n
2
E l m om ento m agnético intrínseco del elec trón,
asociado al espín, es
e
s gS
2mc
S
donde g S es la razón girom agnética dada po r
g S 2.002319304386
La energía de interacción entre el cam po m agnético B ,
producido por el núcleo, y el espín del electrón es
e
s B gS
2mc
Ze
L
S
3
m R cr
e
siendo s g S
2mc
del e lectrón y B
S el m om ento m agnético intrínseco
Ze
m R cr
3
L el cam po m agnético
producido por el núcleo en su m ovim iento orbital.
N o sea h a to m ad o en cu en ta q u e el sistem a d e
referen cia d el electró n n o es in ercial. S i se h ace
"co rrectam en te" ap arece u n efecto relati vista,
llam ad o p recesió n d e T h o m as, q u e h ace q u e la
en erg ía d e in ter acció n sea
1
2
s B gS
Ze
2
4 m R cr
3
S L
T enem os ahora un ham iltoniano perturbado
0
ˆ
ˆ
H H Hˆ S O
donde el potencial perturbador es
Hˆ S O
Ze2
s B gS
2 2 3
4mr c r
S L
H
(0)
H = H
(0)
Ek E
E
(1)
k
E
(0)
k
H
(1)
(0)
k
(0)
k
(0)
k
(0)
k
E
E
H
(1)
(1)
k
(0)
k
E l átom o de hidrógeno es altam ente degen erado,
y sin em bargo usam os la teoría de perturbaciones
independientes del tiem po para sistem as
no-degenerados.
E sto se p u ed e h acer p o rq u e la p ertu rb ació n
H1
1
pˆ
2
3
8 m c
2
2
tien e sim etría esférica, y p o r tan to ,
Hˆ 1 , L2 0
y
Hˆ 1 , L Z 0
L as fu n cio n es p ro p ias d e esto s o p erad o res tien en valo res p ro p io s
2
d iferen tes p ara lo s n estad o s q u e tien en la m ism a en erg ía E n .
P o r tan to las n lm p u ed en ser u tilizad as.
V er sección 6.2 D egenerate perturbation theory. P ágina 227
Introduction to quantum m echanics. D avid J. G riffiths. P rentice H all
S ea Aˆ un operador herm itiano que conm uta con Hˆ ´.
Si
0
a
y
0
b
son funciones propias de Aˆ con valores
0
0
propios diferentes, entonces a Hˆ ´ b 0
V er sección 6.2 D egenerate perturbation theory. P ágina 227
Introduction to quantum m echanics. D avid J. G riffiths. P rentice H all
Hˆ Hˆ
0
Hˆ SO ;
Hˆ SO
1) Hˆ , L 0
Ze2
s B gS
2 2 3
4mr c r
y
S L
Hˆ , S 0
P o r lo tan to L y S n o se co n servan
sep arad am en te
d Aˆ
dt
i
Hˆ , Aˆ
Aˆ
t
0
ˆ
ˆ
H H
Hˆ S O
;
Hˆ S O
Ze2
s B gS
S L
2 2 3
4mr c r
Hˆ , L 0
Hˆ , L Hˆ 0 Hˆ S O , L Hˆ 0 , L Hˆ S O , L Hˆ S O , L
P or tanto debem os calcular el conm utador L S , L
L S, L 0
L S , Lx
3
L
L
j 1
j
j 1
3
3
S j , L x
L
j 1
j
S j , Lx L j , Lx S j
3
j
S j , Lx
L
j 1
j
, L x S j
S j , L x 0 p ara to d a j 1, 2, 3
Lˆ x , Lˆ y i Lˆ z
L S , Lx
Lˆ y , Lˆ z i Lˆ x
3
L
j 1
i S y i S z i
j
Lˆ z , Lˆ x i Lˆ y
, L x S j L x , L x S x L y , L x S y L z , L x S z
S
z
Sy 0
Hˆ Hˆ
0
Hˆ S O
2
2) Hˆ , L 0
;
Hˆ S O
Ze2
s B gS
S L
2 2 3
4mr c r
Hˆ , S 2 0
Hˆ , J 0
donde J L S es el m om ento angular total
E
(1)
k
(0)
k
H
(1)
Ze L S
(0)
k
2
E S O n lm l m s
2
R
2
2m c r
3
n lm l m s
d o n d e h em o s to m ad o g S 2
E
(1)
k
(0)
k
H
(1)
Ze L S
(0)
k
2
E S O n lm l m s
Ze
2
R
2
R
2
2m c r
3
n lm l m s
2
2m c
2
lm l m s L S lm l m s
n
1
r
3
n
E
(1)
k
(0)
k
H
(1)
(0)
k
Ze L S
2
E S O n lm l m s
Ze
2
R
2
R
2
2m c r
3
n lm l m s
2
2m c
2
lm l m s L S l m l m s
n
1
r
3
n
E eo
J
2
Ze
2
R
2
2m c
2
lm l m s L S lm l m s
1
n
r
3
L S L S L S 2L S
LS
1
2
J L S
2
2
2
2
2
P or tanto,
LS
2
nlm l m s
1
2
J L S
2
2
2
nlm m
l
s
j j 1 l l 1 s s 1 nlm l m s
2
n
L S nlm m
l
2
s
j j 1 l l 1 s s 1 nlm l m s
2
P or tanto,
nlm l m s
L S nlm m
l
s
2
nlm l m s
j j 1 l l 1 s s 1 nlm l m s
2
2
j j 1 l l 1 s s 1 nlm l m s nlm l m s
2
2
j j 1 l l 1 s s 1
2
E eo
Ze
2
R
2
2m c
2
lm l m s L S lm l m s
1
n
r
n
3
Y a dem ostram os que
n
1
r
3
n
1
l l 1 / 2 l 1 n a
3
3
E eo
Ze
2
2
R
2m c
lm l m s L S lm l m s
2
Ze L S
n
1
r
3
n
2
E eo nlm l m s
Ze
2
R
2
R
2
2m c r
3
nlm l m s
2
2m c
2
lm l m s L S lm l m s
n
1
r
3
n
1
j j 1 l l 1 s s 1
2 2
3 3
2mRc
l l 1 / 2 l 1 n a
Ze
2
2
Ze L S
2
E eo nlm l m s
2
R
2
2m c r
3
nlm l m s
E eo
j j 1 l l 1 s s 1
2 2
3 3
2mR c
l l 1 / 2 l 1 n a
E eo
n j j 1 l l 1 s s 1
2
mRc
l l 1 / 2 l 1
Ze
E
2
2
n
2
Ze L S
2
E eo nlm l m s
E eo
2
R
2
2m c r
3
nlm l m s
n j j 1 l l 1 3 / 4
2
mR c
l l 1 / 2 l 1
E
2
n
La estructura fina del átomo de hidrógeno
(pequeño desdoblamiento de las líneas
espectrales) se debe a la interacción entre el
espín S del electrón y el momento angular
orbital L
n 3, l 0, m 0
n 2, l 1, s 1 / 2
n 2, l 1, s 1 / 2
O bservar dos efectos,
el efecto de la m asa del núcleo
y el acoplam iento espín-orbita
E rel
4n
3
2
2mRc l 1/ 2
E eo
n j j 1 l l 1 3 / 4
2
mRc
l l 1 / 2 l 1
E fs
4n
3
2
2mR c
j 1/ 2
E
E
E
2
n
2
n
2
n
4n
3
2
2mR c
j 1/ 2
2
E fs
En
P ersiste la d eg en eració n :
C on j l
1
2
co n el n ú m ero cu án tico m s
E jem p lo :
2 S 1/2 ( n 2, l 0, j 1 / 2 )
tien e la m ism a en erg í a q u e
2 P1 / 2 ( n 2, l 1, j 1 / 2 )
L a energía de los niveles del átom o
de hidrógeno es
E nj
E1 Z
n
2
2
n
3
1 2
n j 1/ 2 4
donde
J L S ; es decir,
j l 1/ 2
mRe Z
En
2
2
2
n
4
2
n 1, 2, 3...
La m asa reducidad m R
meM
me M
La constante de estructura fina
e / c 1 / 137
2
Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno
Energía de Bohr
mc
2
Estructura fina
mc
2
Corrimiento Lamb
mc
2
2
4
5
m
mp
Estructura hiperfina
1
137
mc
4
2
Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la
ecuación de Schrödinger:
1. Corrección del movimiento del núcleo
Usando la masa reducida
2. Estructura fina
a) Correcciones relativistas
b) Correcciones por el acoplamiento espín-orbita
3. Corrimiento Lamb
Debido a la cuantización del campo coulombiano
4. Estructura hiperfina
Debida a la interacción magnética entre los momentos
dipolares del electrón y el protón