Transcript attachment_id=81

Oleh: Nurul Saila
Senin, 10 Oktober 2011
Selasa, 11 Oktober 2011
SUB POKOK BAHASAN:
2.1 Hasil kali titik atau skalar
2.2 Hasil kali silang atau vektor
2.3 Hasil kali tripel
2.4 Himpunan vektor-vektor
reciprokal
2.1 Hasil Kali Titik atau Skalar
 Hasil kali titik atau skalar dari dua vektor A dan B,
dinyatakan dg A . B, didefinisikan sbg hasil kali antara
besarnya vektor A dan B dan cosinus sudut ɵ antara
keduanya.
A . B = |A||B| cos ɵ, 0 ≤ ɵ ≤ π
Contoh:
 A adalah vektor yg besarnya 3 satuan dg arah utara
dan B adalah vektor yg besarnya 5 satuan dg arah 30⁰
ke utara dari timur.
 Tentukan: A.B
Jawab:
A.B = |A||B| cos ɵ
= 3.5 cos 60⁰
= 15 . ½
A.B = 7,5
Hukum2 Perkalian Titik:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
A.B=B.A
A .(B . C) = (A . B) . C
m(A.B) = (mA).B = A.(mB) = (A.B)m , m skalar
i.i = j.j = k.k = 1, i.j = j.k = k.i = 0
Jika A = A₁i+A₂j+A₃k, B = B₁i+B₂j+B₃k maka:
A.B = A₁B₁ + A₂B₂ + A₃B₃
A.A = A₁² + A₂² + A₃² = |A|²
Jika A.B = 0 maka A  B
Contoh 1:
Buktikan: A.B = B.A
Bukti:
A.B = |A||B| cos ɵ (definisi)
= |B||A| cos ɵ (sifat komutatif perkalian)
= B.A (definisi)
Terbukti
Contoh 2
Buktikan proyeksi A pd B adalah A.b, b adl vektor
satuan searah B.
Bukti:
Misal proyeksi A pd B adl C, mk:
C =|A| cos ɵ, ɵ sudut antara A dan B
=|A| 1 cos ɵ
=|A||b| cos ɵ (b vektor satuan searah B)
= A.b
terbukti
Contoh 3
Tentukan a shg A = 2i + aj +k  B = 4i – 2j -2k
Jawab:
Jika A B maka :
A.B = 0
(2i + aj+k).(4i-2j-2k) = 0
8-2a-2= 0
2a = 6
 a= 3
Contoh 4
Tentukan sebuah vektor satuan yg  dg A = 2i – 6j -3k
dan B = 4i + 3j - k
Jawab:
Misal C= ai+bj+ck adalah vektor  A dan B,
maka vektor satuan yg  dg A = 2i – 6j -3k dan B = 4i +
3j – k adalah vektor satuan searah C.
 C= ai+bj+ck adalah vektor  A dan B, maka:
 C.A = 0  2a-6b-3c = 0 <1>
 C.B = 0  4a +3b-c = 0 <2>
Dari <1> dan <2> diperoleh:
a = ½ c, b = -⅓ c, shg C = c(½ i – ⅓j +k).
Vektor satuan searah C adalah:
1
1
𝑐 𝑖− 𝑗+𝑘
6 1
1
2
3
𝐶𝑐 =
=
𝑖− 𝑗+𝑘
2
2
7 2
3
1
1
𝑐
+ −
+ 12
2
3
3
2
6
= 𝑖− 𝑗+ 𝑘
7
7
7
Tugas
Untuk harga-harga a yg manakah A=ai-2j+k dan
B=2ai+aj-4k saling tegaklurus?
2. Carilah sudut-sudut yg dibentuk oleh A =3i-6j+2k dg
sumbu-sumbu koordinat.
3. Carilah proyeksi A =i–2j +k pada B=4i-4j+7k
1.
SELAMAT MENGERJAKAN
Nurul Saila
Jawaban Tugas
Untuk harga-harga a yg manakah A=ai-2j+k dan
B=2ai+aj-4k saling tegaklurus?
Jwb:
Jika AB, maka
A.B = 0
(ai-2j+k).(2ai+a-4k) = 0
2a² -2a-4 = 0
2(a²- a – 2) = 0
(a-2)(a+1) = 0
 a-2 = 0 atau a+1 = 0  a = 2 atau a = -1
1.
2. Carilah sudut-sudut yg dibentuk oleh
A =3i-6j+2k dg sumbu-sumbu koordinat.
Jawab:
𝐴 =
32 + (−6)2 + 22 = 7
Misal , ,  berturut-turut adalah sudut yg dibentuk
oleh A dg sumbu x, y dan z.
i adalah vektor-vektor satuan yg searah dg sumbu x,
maka:
A.i = 7 . 1 cos  <1>
A.i = (3i-6j+2k).i
=3
<2>
Dari <1> dan <2> diperoleh:
Cos  = 3/7
= 0,4286
 = 64,6⁰
Dengan cara yg sama diperoleh:
 Cos  = -6/7
 = 149⁰
 Cos  = 2/7
 = 73,4⁰
3. Carilah proyeksi A =i–2j +k pada B=4i4j+7k
Jawab:
Proyeksi A pada B = A.b, b vektor satuan searah B.
𝐵
𝑏 =
=
𝐵
=
4
9
𝑖−
4
9
4𝑖 − 4𝑗 + 7𝑘
42 + −4
𝑗+
7
9
2
+ 72
𝑘
Proyeksi A pada B = (i-2j+k).(4/9 i- 4/9 j +7/9 k)
= 4/9 + 8/9 + 7/9
= 19/9.