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Alessandro D.A.M. Spallicci
ESA G. Colombo Senior Research Fellow
Paris, 16 December 2003, ASSNA
Perturbation method for black holes binaries and stars capture
Département ARTEMIS d'Astrophysique Relativiste
Théories, Expériences, Mesures, Instrumentations, Signaux
Observatoire de la Côte d’Azur Nice
La capture d’étoiles par TN et coalescence TN
Régions centrales (plupart) galaxies
abritent TN sm (capture pour LISA).
Coalescence TN (pour VIRGO)
Intérêt (physique TN, champ fort,
énergie e.m.) et (plus) forte
probabilité de détection
Effort international (US - J - CA) pour la
forme des trains d’ondes perturbative
Lazarus né MPI mais Brownsville (US)
pN Faible V et Champ : TNs éloigné
Numérique GR
Perturbations depuis ~ 3 M (close limit)
But: coalescence et Kerr (VIRGO)
Effective 1-body (EOB) convergence ?
1994 PP
2M
3M
2M

1957 RW
1970 Z
State of the art of coalescence of comparable masses
(Baker J., Campanelli M., Lousto C.O., Takahashi R., 2002. Phys. Rev. D, 65, 124012)
Two BH Schwarzschild in coalescence = 1 BH Kerr perturbed
Initial separation 7.8 M
Interfaces pN-FN, FN-CL (+ 3 modules for pN + FN + CL )
1994
Résultats niçoises
Stratégie poursuivi : 1) l'acquisition des compétences (US, J, CA)
2) la production des contributions originelles
1 (contribution JYV): simulation capture étoile, chutant radialement, par
un TN Schwarzschild (domaines Laplace et temps)
Idéalisation mais:
acquisition graduelle des connaissances
mouvement Rel. Gen. (non adiabaticité)
plongement radial = dernière phase
2
Réaction de radiation: problème important RG (p. 2 c. ?) et gabarits:
l’erreur de phase entre signal et gabarit peut empêcher la détection.
2.1 Identification de la géodésique (1er ordre perturbations,
2em
déviation trajectoire):
2.2 Normalisation termes divergents (fonction z de Riemann-Hurwitz)
sur les modes
2.3 Corrections à des résultats et à des erreurs dans la littérature.
gr-qc/0309039 A. Spallicci, S. Aoudia
Amaldi 5th Class. Quantum Grav. (February, 2004)
Perturbation method in the assessment of radiation reaction in
the capture of stars by black holes
J.-Y.Vinet, A. Spallicci (in progress)
Numerical simulation of capture of stars by black holes and
merge of black holes of comparable masses
Artemis: 26 members
Projet: Perturbations of black holes and gravitational waves
Sofiane Aoudia
Alessandro Spallicci
Jean-Yves Vinet
Initial data
Long term simulations (BH collisions/coalescences) limited by
Available memory
Instabilities for implementation of fully non linear equations
Simulations start at late stage where BH separation is modest
Initial value problem: motion – gravitational waves
Apparent horizon
Conformal-imaging
Methods
Puncture
status
Standard 3+1 Hypersurfaces slices labeled by t
nm future-pointing timelike unit normal to the slice nm = - a m t
proper interval ds = a dt
a lapse
function
But in general time vector tm = a nm + bm
bmnm= 0
bm
shift vector
gij metric of the spacelike hypersurface induced by gmn (conformally
flat)
 ' ij( x' )  ij( x)
i
j
ds2 = - a dt2 + gij (dxi dxj + bi b
dt2 +x 2b
j lim
 0 dx dt)
x
Slice extrinsic curvature kij = - ½ L gij
L Lie derivative along nm
Lx
Minimal set initial data
gij and kij
6 evolution 4 constraint equations
Apparent horizon
k ii = 0
gij = -4 Gij
kij = -2
Kij
Conformal-imaging
Methods
Gij 3D flat space metric
Perturbations in time domain
Conformally flat gij and longitudinal kij (CFL) data = no reproduction
of (Lousto C.O., Price R.H., 1997. Phys. Rev. D, 56, 6439)
numerical results
differences of extrinsic curvature (numerical and CFL)
Failure CFL = near-field close to test mass
Solution 1 (Lousto C.O., Price R.H., 1998. Phys. Rev. D, 57, 1073)
convective metric time derivative proportional to 4v of test mass
Solution 2 (Martel K., Poisson E., 2002. Phys. Rev. D, 66, 084001)
parametrised time symmetric initial data
 dx dx  (1  2M / r)dt2  (1  2M / r)1 dr2  r 2d2
h dx dx  Y l ( )[(1  2M / r ) H l 0 (r , t )dt 2  2 H l 1 (r , t )dtdr 
1
(1  2 M / r ) H 2 (r , t )dr  r K (r , t )d ]
l
g      h
g



h

2
2
l
2
Polar perturbations
Tensorial harmonics
First paper Regge-Wheeler 1957
46 years of reliable results
2Z 2Z
 2  Vl (r )  Sl (r , t )
2
r *
t
Stability of BH
Regge-Wheeler-Zerilli
equation
r*  r  2M ln(r / 2M  1)
2
3
2
2
2
3
 2M  2 (  1)r  6 Mr  18M r  18M Close and far
Vl (r )  1 

3
2
BH V=0
r
r
(


3
M
)



 r (  1)  M 3MU 0 r (1  2M / r ) 2 
2(1  2M / r )  2
1
Sl (r , t )  

r
(
1

2
M
/
r
)

'
r

r
(
t
)



r

r
(
t
)


p
p


r (  1)(r  3M ) 
2U 0
2U 0
r  3M






3

r
r


r0
2M  ro  p
4M  r0 
p




 1
1


1

arctg
1





2M
r 0  2M  2M
r0 
r0   2M  
rp


t (rp )
1  (1  4M / r0 )(rp / 2M )  2 1  2M / r0 rp / 2M 1  rp / r0 

 ln 
(rp / 2M )  1


  8m (2l 1) / 4
1  2M / r0
U 
1  2M / r
0
t 
  (l  2)(l  1) / 2

Initial data (MP)
kij gij are specified on 3D spacelike hypersurface
but
must satisfy Hamiltonian and momentum non linear constraints
3difficulties (2 for nl): non trivial solutions hard to find, non-uniqueness,
physicality
(How to represent an initial amount of gravitational radiation)
Brill-Linquist
kij = 0 at t = 0
for time symmetry
(H1=0)
For H2
2
ds
t 0
= c K conformally flat metric (c=1)
r
2M
r  1  1 
4
r

 M  2 2 2
 1  Kl (r )Y 1  (d r  r d )
 2r 





2
Hamiltonian constraint r = r/2M
d2
l (l  1)
5
 d


 (1   ) 2 K    c  (3  c)  
K  1  c 
(1  c) K  0
d
2
2
 d


K  2m
Z (r , t ) 
4 /(2l  1)
(1  M / 2r 0 )(1  M / 2r ) r
r
l
l 1
t  h, r 
r 
(1  2M / r ) 
 
K

H

r
K 

2

 1 
  3M / r 
r  
Z(t-h,r*) = Z(t+h,r*) for t = 0

t, r  h
t0
for time simmetry.
This relation is valid if the cell is
not crossed by test mass.
t, r   h
t  h, r

Rayonnement
chute radial
Schwarzschild
JYV-AS
Analyse de bruit
LAL Orsay
Données
initiales
LUTH Paris
Mouvement étoile
chute radial
Schwarzschild
AS
Renormalisation
chute radiale
Schwarzschild
SA-AS
Gabarits
Applicabilité
M1 = M2
et plongeon
Kerr
Élaboration
signal
ECM FM
Développement pour Virgo
Conclusions
Petite équipe (modélisation des sources): besoin des
humains plus que des machines
Seule équipe en France-Europe (par contre ES, J,CA):
nécessité pour la détection
Autres méthodes (pN et numérique) déjà en France
En plus non compatibles avec petite équipe, inefficaces ou
faux pour la fusion
Perturbations utiles à comprendre physique
Recommandation ASSNA
Coopération LUTH et autres numériciens