Transcript Pengantar Logika

Logika Matematika
Pengenalan Logika Matematika dan Pengantar Logika
Proposisional
AMIK-STMIK Jayanusa
©2009
Pengantar Logika
Argumen
• Logika (logic) berasal dari kata bahasa Yunani logos, yang dalam
bahasa Inggris berarti word, speech, atau what is spoken.
• Definisi logika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari atau
berkaitan dengan prinsip-prinsip dari penalaran argumen yang
valid.
• Logika secara umum berhubungan dengan penalaran deduktif yang
hanya secara umum mengambil kesimpulan dari premis-premisnya
(pernyataan yang diberikan). Kesimpulan yang mengikuti premispremis tidak hanya nilainya, tetapi juga mengharuskan kesimpulankesimpulan diperoleh atau berasal dari premis-premisnya, atau
tidak dimungkinkan kesimpulan diambil bukan dari premispremisnya.
• Inilah yang disebut argumen, yakni suatu usaha untuk mencari
kebenaran dari suatu pernyataan berupa kesimpulan dengan
berdasarkan pada kebenaran dari suatu kumpulan pernyataan yang
disebut premis. Bentuk argumen artinya sekumpulan pernyataan
yang terdiri dari premis-premis dan diikuti satu kesimpulan.
Pengantar Logika
Argumen
Contoh
1. Semua mahasiswa pandai.
Badu adalah mahasiswa.
Dengan demikian, Badu pandai.
2. Semua manusia bermata empat.
Badu seorang manusia.
Dengan demikian, Badu bermata empat.
• Perlu dicatat, logika yang akan dibahas hanya berhubungan dengan
kesimpulan yang valid, dan diperoleh dari prinsip-prinsip penalaran
yang valid. Jadi, Contoh 2 tetap dapat dikatakan valid karena
kesimpulannya tetap mengikuti premis-premisnya.
• Aturan-aturan logika yang menggunakan kaidah-kaidah matematika
untuk membuktikan validitas suatu argumen disebut logika
matematika.
Pengantar Logika
Argumen
• Logika matematika merupakan dasar-dasar yang penting bagi
seseorang jika ingin belajar ilmu komputer dengan baik, terutama
untuk belajar algoritma, teknik-teknik pemrograman tersetruktur,
dan teknik pemrograman berorientasi objek yang dalam penulisan
programnya sangat erat berkaitan dengan logika. Pemahan logika
yang kuat akan membentuk kemampuan pemrograman yang kuat
pula.
• Validitas argumen adalah premis-premis yang diikuti oleh suatu
kesimpulan yang berasal dari premis-premisnya dan bernilai benar.
Tidak mungkin kesimpulan yang salah diperoleh dari premis-premis
yang benar, atau premis-premis yang benar tidak mungkin
menghasilkan kesimpulan yang salah.
Contoh
3. Semua mamalia adalah hewan berkaki empat.
Semua manusia adalah mamalia.
Dengan demikian, semua manusia adalah binatang berkaki empat
Pengantar Logika
Argumen
4. Ada jenis makhluk hidup berkaki dua.
Semua manusia adalah makhluk hidup.
Dengan demikian, semua manusia berkaki dua.
(Apa bedanya contoh 3 dan 4?)
• Jia suatu argumen valid, maka pokok pernyataan dapat digantikan
untuk semua yang bisa digantikannya dan validitas tidak terganggu.
Akan tetapi jika argumen tidak valid, maka akan mengganggu.
• Jika kesimpulan yang bernilai benar muncul dan terlepas dari
premis-premisnya maka ini bukan argumen yang kuat secara logis.
Contoh
5. Semua mahasiswa rajin belajar.
Badu seorang mahasiswa.
Dengan demikian, Dewi rajin belajar.
Pengantar Logika
Argumen
• Jadi suatu argumen logis dapat disebut kuat (sound) jika dan hanya
jika memenuhi dua persyaratan berikut:
a. Argumen valid
b. Semua premis-premisnya benar.
Pengantar Logika
Logika Klasik dan Logika Modern
Logika Klasik
• Logika klasik pertama kali diperkenalkan oleh Aristoteles, sehingga
disebut Logika Aristoteles.
• Aristoteles mengembangkan suatu aturan-aturan untuk penalaran
silogistik yang benar. Menurutnya, suatu silogisme adalah suatu
argumen yang terbentuk dari pernyataan-pernyataan dengan salah
satu atau keempat bentuk berikut:
(1) Semua A adalah B, atau Universal Affirmative
(2) tidak A adalah B, atau Universal Negative
(3) Beberapa A adalah B, atau Particular Affirmative
(4) Beberapa A adalah tidak B, atau Particular Negative
• Huruf A dan B di atas menggantikan suatu kata benda, misalnya
“manusia”, “hewan”, “berkaki dua”, dan sebagainya, yang disebut
terms of syllogism.
Pengantar Logika
Logika Klasik dan Logika Modern
• Suatu silogisme yang berbentuk sempurna disebut well-formed
syllogism jika ia memiliki dua buah premis dan satu kesimpulan,
dengan satu premis memiliki satu pokok (term) bersama dengan
kesimpulan dan satu lagi pokok bersama dengan premis lainnya.
Logika Modern
• Logika Modern atau Logika Simbolik dikembangkan dari logika
Aristoteles oleh Augustus De Morgan dan Goerge Boole.
• Dalam bentuk yang biasa, semua well-formed sentences di dalam
logika modern memiliki satu nilai saja dari dua nilai berikut, yaitu
benar (true, atau 1) atau salah (false, atau 0).
• Logika menjadi dasar pembuatan ajabar Boole dan menjadi dasar
teori tentang pengembangan komputer digital.
• Semua well-formed sentences akan diformulasikan dalam bentuk
suatu rumus sehingga dinamakan well-formed formulae (wff).
Pengantar Logika
Logika Klasik dan Logika Modern
• Logika matematika yang menangani masalah well-formed formulae
yang hanya memiliki nilai benar atau salah adalah:
(1) Logika Proposisional, dengan fokus utama pada pernyataanpernyataan yang dapat digolongkan dalam pengertian proposisiproposisi.
(2) Logika Predikat. Pernyataan-pernyataan yang tidak dapat
digolongkan sebagai proposisi, dan tidak dapat diproses dengan
logika proposisional akan ditangani logika predikat yang
memfokuskan diri pada predikat yang selalu menyertai suatu
pernyataan dalam bentuk kalimat.
Pengantar Logika
Logika Banyak Nilai
•
Titik utama pada logika banyak nilai bukan hanya nilai benar atau salah, tetapi
masih memiliki nilai ketiga yang bersifat netral. Di pihak lain, ada yang
diekspresikan seperti pada nilai probabilitas yang memiliki nilai antara 0 dan 1,
atau antara -1 dan 1.
• Logika banyak nilai diperkenalkan oleh Jan Lukosiewicsz, yang
memperkenalkan nilai ketiga di antara nilai 0 dan 1.
• Pada saat ini, logika banyak nilai sudah menangani nilai antara 0 dan 1 yang
disebut logika fuzzy.
• Logika juga dipakai di bidang pengembangan perangkat lunak terutama yang
mengimplementasikan kecerdasan buatan, sistem pakar, dan pemrograman
logika. Logika juga dipakai di bidang penulisan perangkat lunak, yakni untuk
menguji konsistensi dari penulisan perangkat lunak yang terstruktur dengan
baik.
• Untuk mempelajari logika dengan sempurna, ada beberapa ilmu yang
berkaitan, yaitu:
(1) Semantik atau Filsafat Bahasa. Tekanan utama semantik adalah pada arti kata
dan kalimat.
(2) Epistemologi atau Teori Pengetahuan. Tekanan utama pada kondisi di mana
pernyataan akan selalu bernilai benar.
(3) Psikologi Penalaran. Tekanan utama pada proses mental yang mempengaruhi
penalaran.
Pengantar Logika
Pengantar Logika Proposisional
• Setiap pernyataan yang hanya memiliki satu nilai benar atau salah
disebut proposisi.
• Logika yang menangani atau memroses atau memanipulasi
penarikan kesimpulan secara logis dari proposisi-proposisi disebut
logika proposisional (propositional logic atau propositional
calculus).
• Proposisi majemuk adalah gabungan dari berbagai proposisi
atomik, yaitu proposisi yang tidak dapat dipecah lagi.
Contoh proposisi majemuk
6. Anda harus belajar dengan rajin atau anda akan gagal ujian.
7. Ayah pergi ke Solo dan Ibu pergi ke Solo.
• Proposisi-proposisi yang nilainya selalu benar disebut tautologi.
• Tautologi menghasilkan implikasi-implikasi secara logis dan
ekivalen-ekivalen secara logis.
Pengantar Logika
Pengantar Logika Proposisional
Contoh argumen yang secara logis kuat
8. (1) Jika Anda rajin belajar maka Anda akan lulus ujian
(2) Jika Anda lulus ujian maka Anda akan senang
(3) Dengan demikian, jika Anda rajin belajar maka Anda senang.
Pernyataan (1) dan (2) merupakan premis-premis dari argumen,
sedangkan pernyataan (3) merupakan kesimpulan yang mengikuti
atau berasal dari premis-premisnya.
9. (1) Program komputer ini mempunyai bug, atau masukannya salah
(2) Masukannya tidak salah
(3) Dengan demikian, program komputer ini mempunyai bug
• Untuk memanipulasi logika dikembangkan suatu pola untuk
argumen yang bernilai benar atau salah. Untuk memudahkan
memanipulasi pola tersebut maka digunakan huruf-hruf A, B, C, dan
seterusnya untuk menggantikan satu proposisi.
Pengantar Logika
Pengantar Logika Proposisional
Contoh penggantian argumen dengan huruf
10. A = Anda rajin belajar
B = Anda lulus ujian
C = Anda senang
Maka bentuk argumen tersebut menjadi:
(1) Jika A maka B
(2) Jika B maka C
(3) Jika A maka C
Bentuk argumen di atas dinamakan silogisme hipotesis.
11. A = Program komputer ini mempunyai bug.
B = Masukannya salah
Maka bentuk argumen tersebut menjadi:
(1) A atau B
(2) Tidak B
(3) A
Argumen di atas dinamakan silogisme disjungtif.
Pengantar Logika
Pengantar Logika Proposisional
12. (1) Jika lampu lalu lintas menyala merah maka semua kendaraan
berhenti
(2) Lampu lalu lintas menyala merah
(3) Dengan demikian, semua kendaraan berhenti
Jika setiap proposisi pada argumen di atas diganti dengan huruf:
A = Lampu lalu lintas menyala merah
B = Semua kendaraan berhenti
Maka bentuk argumen di atas menjadi
(1) Jika A maka B
(2) A
(3) B
Argumen di atas dinamakan Modus Ponens (MP) atau Modus
Ponendo Ponens (MPP).
Pengantar Logika
Pengantar Logika Proposisional
13. (1) Jika Badu belajar rajin maka ia lulus ujian
(2) Badu tidak lulus ujian
(3) Dengan demikian, Badu tidak belajar rajin
Jika setiap proposisi pada argumen di atas diganti dengan huruf:
A = Badu belajar rajin
B = Badu lulus ujian
Maka bentuk argumen di atas menjadi
(1) Jika A maka B
(2) Tidak A
(3) Tidak B
Argumen di atas dinamakan Modus Tollens (MT) atau Modus
Tollendo Tollens (MTT).
• Anda harus berhati hati jika ingin mengubah susunan pernyataan
dalam argumen. Bisa saja terlihat sebagai argumen yang valid,
tetapi justru sebenarnya sudah tidak valid lagi.
Pengantar Logika
Pengantar Logika Proposisional
14. (1) Jika lampu lalu lintas menyala merah maka semua kendaraan
berhenti
(2) Semua kendaraan berhenti
(3) Dengan demikian, lampu lalu lintas menyala merah
• Sebuah pernyataan tidak dapat dipakai sebagai proposisi jika:
1.
2.
3.
Nilai benar atau salah dari sebuah pernyataan tidak dapat ditentukan dengan
pasti.
Berupa kalimat perintah
Berupa kalimat tanya
Contoh 15
a. Angka 13 adalah angka sial
b. Warna merah adalah warna bahagia
c. Badu, kerjakan tugas tersebut!
d. Badu, apakah engkau sudah mengerjakan tugas tersebut?
Pengantar Logika
Pengantar Logika Proposisional
• Suatu proposisi tidak boleh digantikan dengan proposisi lain yang
artinya sama.
Contoh 16
– Badu tidak lapar
– Badu kenyang
Pernyataan pertama dan pernyataan kedua memiliki arti kalimat
yang sama. Jika dijumpai contoh seperti pernyataan pertama dan
pernyataan kedua di atas, maka pemberian variabel proposisional
harus berlainan karena proposisi tidak diizinkan menafsir arti
kalimatnya.
Contoh 17
A = Badu lapar, maka “Tidak A” = Badu tidak lapar
B = Badu kenyang, maka “Tidak B” = Badu tidak kenyang
Jadi, tidak diperbolehkan mengganti “Tidak A” dengan B, walaupun
arti kalimatnya sama.
Pengantar Logika
Pemberian Nilai
• Huruf A, B, C, dan seterusnya digunakan untuk menggantikan
proposisi dan disebut variabel-variabel proposisional, dan hanya
memiliki nilai benar (True = T) atau salah (False = F).
• Jadi, pemberian nilai pada variabel-variabel proposisional hanya T
dan atau F. Simbol brupa huruf T dan F disebut konstantakonstanta proposisional.
• Variabel proposisional dan konstanta proposisional adalah proposisi
atomik.
Contoh 18 Proposisi majemuk
– A atau B
– A dan B
– Tidak A
• Kata “ atau (or)”, “ dan (and)”, dan “tidak (not)” pada proposisi
majemuk di atas berfungsi sebagai perangkai dari proposisiproposisi atomik dan disebut perangkai-perangkai logika.
Pengantar Logika