Transcript Distancia de un punto a una recta

Secciones cónicas
• Circunferencia:
1. Forma canónica de la ecuación de una
circunferencia
2. Forma general de la ecuación de una
circunferencia
3. Cálculo de los elemento de una circunferencia
4. Ecuación de la recta tangente a una
circunferencia
5. Problemas relacionados con la geometría plana
y espacial.
Secciones cónicas: Circunferencia
Definición: Conjunto de puntos en el plano
cartesiano que se encuentran a una distancia fija r, de
un punto fijo 𝑂 ℎ, 𝑘 . La distancia fija r es
denominada longitud del radio y el punto fijo 𝑂 ℎ, 𝑘
es el centro de la circunferencia.
𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 𝑑 𝑂, 𝑃 = 𝑟
Forma canónica de la ecuación de una
circunferencia
Recordatorio:
Distancia entre dos puntos de
un segmento de recta
𝑑 𝑃1, 𝑃2 =
𝑥1 − 𝑥2
2
+ 𝑦1 − 𝑦2
2
Por definición de circunferencia
𝒅(𝑶, 𝑷) = 𝒓
La distancia del punto 𝑂(ℎ, 𝑘) al punto
𝑃(𝑥, 𝑦) se define como:
𝑑(𝑂, 𝑃) = 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘
𝑥−ℎ 2+ 𝑦−𝑘 2 =𝑟
𝒙 − 𝒉 𝟐 + 𝒚 − 𝒌 𝟐 = 𝒓𝟐
2
• Forma general de la ecuación de una
circunferencia
Resolviendo la forma canónica
𝒙−𝒉
𝟐
+ 𝒚−𝒌
𝟐
= 𝒓𝟐
Se obtiene la forma general de la ecuación de la
circunferencia:
𝐴 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0;
𝐴, 𝐷, 𝐸, 𝐹 ∈ ℝ; 𝐴 ≠ 0
Ejemplos:
• Ejemplo de la ecuación de una
circunferencia
1) Determine la ecuación de la circunferencia
centrada en el punto 𝑶 𝟓, −𝟐 y cuya
longitud del radio es 3.
2) Determine la ecuación general de la
circunferencia de centro 𝑶 𝟏, 𝟏 y que
contiene 𝑷 −𝟐, 𝟑
3) Determine la ecuación de la circunferencia
que tiene centro en el punto 𝑶 𝟑, 𝟒 y es
tangente a la recta 𝑳: 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑 = 𝟎
2) Determine la ecuación general de
la circunferencia de centro 𝑶 𝟏, 𝟏 y
que contiene 𝑷 −𝟐, 𝟑
• 3) Determine
a) La forma canónica de la ecuación de la
circunferencia dada la forma general
𝐶: 𝑥 2 − 6𝑥 + 𝑦 2 + 14𝑥 − 6 = 0
b) La gráfica de la circunferencia
• AUTOEVALUACIÓN ( CUADERNO)
• Obtenga la forma canónica de la ecuación para cada
circunferencia dada en su forma general. Grafique
cada circunferencia:
• a) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 + 12𝑦 − 29 = 0
• b) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 14𝑥 + 16𝑦 + 13 = 0
• c) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 12𝑥 + 10𝑦 − 3 = 0
• d) 4𝑥 2 + 4𝑦 2 + 12𝑥 − 20𝑦 − 66 = 0
• e) 𝑥 2 +𝑦 2 + 5𝑥 + 12𝑦 + 2 = 0
4) Determine la ecuación de la circunferencia que tiene centro en
el punto 𝑶 𝟑, 𝟒 y es tangente a la recta 𝑳: 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑 = 𝟎
AUTOEVALUACIÓN ( CUADERNO)
a) Determine la ecuación de la
circunferencia que tiene centro en el
punto 𝑶 y es tangente a la recta 𝑳
• Autoevaluación (cuaderno)
5) Obtenga la forma canónica de la ecuación para
cada circunferencia dada en su forma general:
• a) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 20 = 0
• b) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 8𝑦 = 0
• c) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 10𝑥 − 6𝑦 − 15 = 0
6) Determine la ecuación general de la
circunferencia centrada en el punto 𝑶 y cuya
longitud del radio r. Realizar la gráfica
a) 𝑂 3, −2 ; 𝑟 = 3
b) 𝑂(−2, −5) ; 𝑟 = 5
4
c) 𝑂(0, ) ; 𝑟 = 9
d)
3
1
𝑂(− , 4)
4
;
𝑟=4
Deber N°03
1) Determine la distancia entre los siguientes pares de rectas
𝑳𝟏: 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟒 = 𝟎
𝑳𝟐: 𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟒 = 𝟎
𝑳𝟓: −𝟒𝒙 − 𝒚 − 𝟏𝟎 = 𝟎
c)
𝑳𝟔: 𝟖𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟔 = 𝟎
a)
𝑳𝟑: 𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎
𝑳𝟒: 𝟐𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟔 = 𝟎
𝑳𝟕: −𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟔 = 𝟎
d)
𝑳𝟖: 𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟏 = 𝟎
b)
2) Obtenga la forma canónica de la ecuación para
cada circunferencia dada en su forma general.
Grafique cada circunferencia:
a) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 + 12𝑦 − 29 = 0
b) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 14𝑥 + 16𝑦 + 13 = 0
c) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 12𝑥 + 10𝑦 − 3 = 0
d) 4𝑥 2 + 4𝑦 2 + 12𝑥 − 20𝑦 − 66 = 0
e) 2𝑥 2 + 2𝑦 2 + 2𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0
Recordatorio
• Ecuación de la circunferencia en su forma
general
• 𝑪: 𝑨𝒙𝟐 + 𝑨𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
• Si se divide todo para A
•
𝑨 𝟐
𝒙
𝑨
𝟐
+
𝑨 𝟐
𝒚
𝑨
•𝒙 +𝒚
𝟐
𝑫
+ 𝒙
𝑨
𝑫
+ 𝒙
𝑨
𝑫′
𝑬
+ 𝒚
𝑨
+
𝑭
𝑨
+ =𝟎
𝑬
𝒚
𝑨
𝑬′
𝑭
+
𝑨
𝑭′
=𝟎
Resolución de problemas
• 1) Determine la ecuación general de la
circunferencia que contiene a la siguiente terna
de puntos: 𝑷(𝟒, 𝟒) 𝑸(𝟖, 𝟐) 𝑹(𝟒, 𝟐)
• 2) Determine la ecuación general de la
circunferencia que contiene a la siguiente terna
de puntos: 𝑷(𝟑, 𝟐) 𝑸(𝟐, 𝟒) 𝑹(−𝟏, 𝟏)
• Autoevaluación en clase
• 3) Determine la ecuación general de
la circunferencia que contiene a la
siguiente terna de puntos:
𝑷(−𝟐, 𝟏) 𝑸(−𝟐, −𝟏) 𝑹(𝟐, −𝟏)
• 4) Determine la ecuación general de
la circunferencia que contiene a la
siguiente terna de puntos:
𝑷(𝟐, 𝟐) 𝑸(𝟖, 𝟐) 𝑹(𝟐, −𝟑)
Ecuación de la recta a una
circunferencia
• Caso II : Fuera de la circunferencia
Ecuación de la circunferencia cuyo
centro se encuentra sobre una recta L
Ejemplo: Determine la ecuación de la
circunferencia que contiene a los
puntos A(0,6) y B(1,5) y cuyo centro se
encuentra localizado sobre la recta
𝐿: 𝑥 + 𝑦 = −1
Problemas en clase:
• 1) Determine la ecuación de la
circunferencia que contiene a los puntos
A(-1,-3) y B(-5,3) y cuyo centro se
encuentra localizado sobre la recta 𝐿: 𝑥
− 2𝑦 + 2 = 0
2) Determine la ecuación de la circunferencia
que contiene a los puntos A(0,0) y B(6,2) y
cuyo centro se encuentra localizado sobre la
recta
𝐿: 2𝑥 − 𝑦 = 0
3)
Determine la ecuación de la
circunferencia que contiene a los
puntos A(8,2) y B(12,-2) y cuyo centro
se encuentra localizado sobre la recta
𝐿: −𝑥 − 3𝑦 = −18
3) Determine la ecuación de la
circunferencia que contiene a los puntos
A(8,2) y B(12,-2) y cuyo centro se
encuentra localizado sobre la recta
𝐿: −𝑥 − 3𝑦 = −18
Sección cónica: Parábola
Definición: Parábola
El conjunto de todos los puntos P(x,y) en el plano que
equidistan de un punto fijo 𝐹𝑜 y de una recta fija L. El
punto 𝐹𝑜 es denominado foco de la parábola; la recta
L es la directriz de la parábola.
𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 = 𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 𝑑 𝑃, 𝐹𝑜 = 𝑑 𝑃, 𝐿
Elementos de la parábola:
- Vértice
- Recta directriz
- Parámetro p
- Lado recto =4p
Forma canónica de la ecuación de una
parábola (Caso I)
• i) Parábola centrada en el origen dirigida hacia
arriba
𝑥 2 = 4𝑝𝑦
Datos
𝑢 = 𝑤
V(0,0)
F(0,p)
Recta directriz: 𝐿: 𝑦 = −𝑝
Lado recto 𝐿𝑅: 4𝑝
Forma canónica de la ecuación de una
parábola (Caso II)
• i) Parábola centrada en el origen dirigida hacia
abajo
𝑥 2 = −4𝑝𝑦
Datos
𝑢 = 𝑤
V(0,0)
F(0,-p)
Recta directriz: 𝐿: 𝑦 = 𝑝
Lado recto 𝐿𝑅: 4𝑝
Forma canónica de la ecuación de una
parábola (Caso III)
• i) Parábola centrada en el origen dirigida hacia
abajo
𝑦 2 = 4𝑝𝑥
Datos
𝑢 = 𝑤
V(0,0)
F(p,0)
Recta directriz: 𝐿: 𝑥 = −𝑝
Lado recto 𝐿𝑅: 4𝑝
Forma canónica de la ecuación de una
parábola (Caso IV)
• i) Parábola centrada en el origen dirigida hacia
abajo
𝑦 2 = −4𝑝𝑥
Datos
𝑢 = 𝑤
V(0,0)
F(-p,0)
Recta directriz: 𝐿: 𝑥 = 𝑝
Lado recto 𝐿𝑅: 4𝑝
Ejemplo:
• 1) Determine la ecuación en la forma
canónica de una parábola cuyo
vértice está en el origen y cuyo foco
es 𝑭(𝟑, 𝟎)
2) Determine la ecuación en la forma
canónica de una parábola cuyo
vértice está en el origen y cuyo foco
es 𝑭(𝟎, −𝟒)
Autoevaluación (en el cuaderno)
• Para cada literal encuentra la ecuación en su
forma canónica de una parábola con vértice en el
origen de coordenadas y con foco 𝐹.
• 𝑎) 𝐹0 −2,0
• b)
•
•
3
𝐹1 0,
2
4
c) 𝐹2 0, −
3
7
d) 𝐹3 , 0
3
Problema 3: Determine las coordenadas del
foco, y obtenga la ecuación de la recta
directriz de la parábola con vértice en el
origen y que pasa por los puntos P −3,3 y
Q 3,3
Problema 4: Determine las coordenadas del
foco, y obtenga la ecuación de la recta
directriz de la parábola con vértice en el
origen y que pasa por los puntos P 4, −5 y
Q 4,5
Problema 5: Encontrar la ecuación en
su forma canónica de una parábola
cuyo vértice V 3,4 y cuyo foco es
𝐹(−1,4).
Problema 6: Encontrar la ecuación en
su forma canónica de una parábola
cuyo vértice V −3, −2 y cuyo foco es
𝐹(−3, −4).
Autoevaluación en clase
• Para cada literal, encontrar la ecuación general
de la parábola dado su vértice y foco
a) 𝑉 −4,5 𝐹 −2,5
b) 𝑉 −4,3
c) 𝑉
d) 𝑉
4
, −1
3
3
,2
4
3
−4,
2
𝐹
𝐹 6, −1
𝐹
5
− ,2
4
Ecuación en la forma canónica de la
parábola con vértice cualquiera
Caso I
• Parábola dirigida hacia arriba
𝑥 − ℎ 2 = 4𝑝 𝑦 − 𝑘
Caso II
• Parábola dirigida hacia abajo
𝑥 − ℎ 2 = −4𝑝 𝑦 − 𝑘
Caso III
• Parábola dirigida hacia arriba
𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑝 𝑥 − ℎ
Caso IV
• Parábola dirigida hacia arriba
𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑝 𝑥 − ℎ
Problema 1: Encontrar la ecuación de
la parábola en su forma canónica cuyo
3
vértice es 𝑉 3, − y la recta directriz
es 𝐿: 𝑦 =
1
4
4
Problema 2: Encontrar la ecuación de
la parábola en su forma canónica cuyo
5
vértice es 𝑉 −3, y la recta directriz
es 𝐿: 𝑥 =
1
−
2
3
Problema 3: Encontrar la ecuación de
la parábola en su forma canónica cuyo
foco es F −5,2 y la recta directriz es
𝐿: 𝑥 − 1 =0
Autoevaluación en clase
• 1) Para cada literal, determine la gráfica y
ecuación de la parábola en su forma canónica
dado el valor del vértice y la recta directriz
a) 𝑉
3
−2,
4
b) 𝑉 7, −1
𝐿: 𝑦 = −4
𝐿: 𝑥 =
5
2
• 2) Para cada literal, determine la gráfica y
ecuación de la parábola en su forma canónica
dado el valor del foco y la recta directriz
a) F 9,1 𝐿: 𝑦 = 6
b) F −2, −5 𝐿: 𝑥 = −4
• Reconociendo los elementos de la parábola,
complete la tabla a continuación:
VÉRTICE
FOCO
RECTA
DIRECTRIZ
𝑉(−2,3) 𝐹(−2,5) L:y=1
3
𝐹(−1, −5) 𝐿: 𝑥 − 4 = 0
𝑉 , −5
2
3
𝑉 −2,
4
V(3,-4)
9
−2,
2
F(3,-1)
𝐿: 𝑦 + 3 = 0
ECUACIÓN DE LA
PARABOLA EN SU
FORMA CANÓNICA
𝑥+2 2 =8 𝑦−3
(𝑦 + 5)2
3
= −10 𝑥 −
2
𝑥+2
2
3
= 15 𝑦 −
4
L:y=-7
𝑥−3
2
= 12(𝑦 + 4)
𝑦+2
2
= 10(𝑥 − 5)
Ecuación de la parábola en su forma
general
• Caso I y II
𝐴𝑥 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Caso III y IV
𝐵𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Problema 1: Determine la ecuación de
la parábola en su forma general, dada
la ecuación en su forma canónica
2
𝑥 − 3 = 12 𝑦 + 2
Problema 2: Determine la ecuación de
la parábola en su forma general, dada
la ecuación en su forma canónica
2
𝑦 + 2 = 12 𝑥 − 6
Problema 3: Determine la ecuación de
la parábola en su forma canónica dada
la ecuación en su forma general 𝑥 2 +
10𝑥 + 3𝑦 + 31 = 0
Problema 4: Dada la ecuación de la
parábola en su forma general 𝑦 2 + 5𝑥
− 12𝑦 + 76 = 0 Determine:
a) La ecuación de la parábola en su
forma canónica
b) Vértice
c) Distancia del vértice al foco
d) Foco
e) Recta directriz
f) Valor del lado recto
Autoevaluación en clase
Dada la ecuación de la parábola en su
forma general, determine la ecuación
en su forma canónica, vértice, foco,
lado recto y la ecuación de la directriz
a)𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎
b) 𝒚𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟏𝟗 = 𝟎
c) 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟑 = 𝟎
d) 𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟏𝟎𝟖 = 𝟎
Secciones cónicas: Elipse
Definición. Conjunto de todos los puntos en
el plano cartesiano, tales que la suma de sus
distancia a dos puntos fijos, denominados
focos 𝐹1 𝑦 𝐹2 , es una constante.
𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 = 𝑃 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Elementos de la elipse
Elementos de la elipse
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Vértices V1 y V2
Focos F1 y F2
Centro de la elipse 𝑂(ℎ, 𝑘)
Eje menor: 2b
Eje mayor: 2a
Distancia focal: 2c
Semieje menor: b
Semieje mayor: a
Semidistancia focal: c
• Cálculo de la longitud del eje menor 2𝑏
• 𝑃𝐹1 = 𝑏 2 + 𝑐 2
• 𝑃𝐹2 = 𝑏 2 + 𝑐 2
𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 = 𝑃 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 2𝑎
𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 = 2𝑎 → 2 𝑏 2 + 𝑐 2 = 2𝑎
𝑏2 + 𝑐 2 = 𝑎 → 𝑏2 + 𝑐 2 = 𝑎2 → 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐 2
𝑏 = 𝑎2 − 𝑐 2 ( semieje menor)
Forma canónica de la ecuación de una
elipse (demostración)
𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎
• Ecuación de la elipse en su forma canónica
con centro en el origen (horizontal)
Vértices
𝑉1 −𝑎, 0
𝑉2 (𝑎, 0)
Focos
𝐹1 −𝑐, 0
𝐹2 (𝑐, 0)
𝑏=
𝑎2 − 𝑐 2
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
=1
• Ecuación de la elipse en su forma canónica
con centro en el origen (vertical)
Vértices
𝑉1 0, −𝑎
𝑉2 (0, 𝑎)
Focos
𝐹1 0, −𝑐
𝐹2 (0, 𝑐)
𝑏=
𝑎2 − 𝑐 2
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
=1
Problema 1:
Dada la ecuación de la elipse en su
𝑥2
36
𝑦2
9
forma canónica + = 1.
Determine:
a) Vértices
b) Focos
c) Gráfica de la elipse
Problema 2: Dada la ecuación de la
elipse en su forma canónica
𝑥2
49
𝑦2
100
+
= 1. Determine:
a) Los vértices
b) Focos
c) La gráfica de la elipse
Problema 3: Dado el foco 𝐹1 −3,0 y el
vértice 𝑉1 −5,0 de una elipse
centrada en el origen. Determine la
ecuación de la elipse en su forma
canónica
Problema 4: Dado el foco 𝐹1 0, 5 y el
vértice 𝑉1 0,4 de una elipse centrada
en el origen. Determine la ecuación de
la elipse en su forma canónica
Autoevaluación
• Para cada literal, encuentre los vértices, focos,
distancia focal, longitud del eje mayor y menor de
las ecuaciones de las elipses en su forma canónica.
Grafique:
• a)
𝑥2
𝑦2
+ = 1.
25
11
2
𝑥
𝑦2
+ = 1.
15
49
• b)
Para cada literal, encuentre la ecuación de la elipse en
su forma canónica. Dado uno de sus vértices y focos.
Grafique:
a) 𝑉1 0,7 𝑦 𝐹1 0, 8
b) 𝑉1 8,0 𝑦 𝐹1 10, 0
Ecuación de la elipse en su forma
canónica cuando el centro no es el origen
de coordenadas
Caso I (Elipse horizontal)
Ecuación de la elipse horizontal con
centro en 𝑂(ℎ, 𝑘)
•
𝑥−ℎ 2
𝑎2
+
𝑦−𝑘 2
𝑏2
=1 ;
𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐 2
Elementos de la elipse
𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐: 𝑂 ℎ, 𝑘
Vértices: 𝑉1 ℎ − 𝑎, 𝑘 𝑦 𝑉2 ℎ + 𝑎, 𝑘
Focos: 𝐹1 ℎ − 𝑐, 𝑘 𝑦 𝐹2 (ℎ + 𝑐, 𝑘)
Semieje mayor: a
Semieje menor: b
Semidistancia focal: c
Ecuación de la elipse en su forma canónica
cuando el centro no es el origen de
coordenadas
Caso II (Elipse vertical)
Ecuación de la elipse vertical con
centro en 𝑂(ℎ, 𝑘)
•
𝑥−ℎ 2
𝑏2
+
𝑦−𝑘 2
𝑎2
=1 ;
𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐 2
Elementos de la elipse
𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐: 𝑂 ℎ, 𝑘
Vértices: 𝑉1 ℎ, 𝑘 + 𝑎 𝑦 𝑉2 ℎ, 𝑘 − 𝑎
Focos: 𝐹1 ℎ, 𝑘 + 𝑐 𝑦 𝐹2 (ℎ, 𝑘 − 𝑐)
Semieje mayor: a
Semieje menor: b
Semidistancia focal: c
Problema 5: Dada la ecuación de la
elipse en su forma canónica
𝑥−3 2
36
𝑦−5 2
9
+
=1
Determine:
a) Centro
b) Vértices
c) Semieje menor
c) Focos
d) Distancia focal
e) Gráfica de la elipse
Problema 6: Dada la ecuación de la
elipse en su forma canónica
𝑥+4 2
49
𝑦+1 2
25
+
=1
Determine:
a) Centro
b) Vértices
c) Semieje menor
d) Focos
e) Distancia focal
f) Gráfica de la elipse
• Autoevaluación
Para cada literal, determine la gráfica de la elipse
dada su ecuación en su forma canónica
a)
b)
c)
d)
𝑥−8 2
𝑦−5 2
+
=
49
100
𝑥−1 2
𝑦+9 2
+
=
25
8
𝑥+3 2
𝑦 2
+
=1
50
36
𝑥 2
𝑦+6 2
+
=1
144
44
1
1
Ecuación de la elipse en su forma
general
• 𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎, donde A y B tienen el
mismo signo, además 𝐴, 𝐵, 𝐷, 𝐸, 𝐹 ∈ ℝ, siendo 𝐴 ≠ 0, 𝐵
≠ 0, ésta puede transformarse en otra del tipo
+
𝑦−𝑘 2
𝑏2
𝑥−ℎ 2
𝑎2
= 1.
• 𝐴 ≠ 𝐵 Condición importante para que sea elipse
EJEMPLO:
TRANSFORME LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE
DADA EN SU FORMA CANÓNICA A LA FORMA
𝑥+4 2
𝑦+1 2
GENERAL.
+
=1
49
25
EJEMPLO 1: Transformar la ecuación
de la elipse dada en su forma general
a la forma canónica
16𝑥 2 + 25𝑦 2 − 224𝑥 + 100𝑦 + 484 = 0
Ejemplo 2: Dada la ecuación de la
elipse en su forma general
2𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑥 − 4𝑦 − 20 = 0
• Determine:
• a) La ecuación de la elipse en su forma canónica
• b) La gráfica de la elipse indicando todos sus
elementos.
Autoevaluación
• Para cada literal transforme la ecuación de la
elipse dada en su forma general a la forma
canónica y grafique.
• a) 25𝑥² + 40𝑦² − 240𝑦 − 640 = 0
• b) 36𝑥² + 25𝑦² + +432𝑥 − 50𝑦 + 421 = 0
• C) 64𝑥² + 49𝑦² + 128𝑥 − 784𝑦 + 64 = 0
• D) 2𝑥² + 3𝑦² + 12𝑥 − 12𝑦 − 20 = 0
• E) 80𝑥² + 180𝑦² + 400𝑥 − 720𝑦 = −320
Resolución de problemas de referentes
a elipses
• Problema 1: Calcular las coordenadas de
los vértices 𝑽𝟏 𝒚 𝑽𝟐 los focos 𝑭𝟏 𝒚 𝑭𝟐
• A) 4𝑥 2 + 9𝑦 2 = 36
• B) 16𝑥 2 + 9𝑦 2 = 144
• C)16𝑥 2 + 9𝑦 2 = 144
• D) 9𝑥 2 + 25𝑦 2 = 225
Problema 2: Obtener la ecuación de
la elipse en su forma canónica cuyas
características se dan a continuación
a) Centro 𝑂 0,0 ejes sobre los ejes coordenados y
para por los puntos 𝐴 1,3 𝑦 𝐵 4,2
b) Centro 𝑂(0,0) ejes sobre los ejes coordenados y
pasa por los puntos 𝑆 4,3 𝑦 𝑇 6,2
c) Focos 𝐹1 4,0 𝑦 𝐹2 −4,0 y pasa por el punto
12
𝑃 3,
5
d) Centro 𝑂 0,0 , el eje principal es el eje y, la
distancia que separa a los focos es 24 y pasa por el
60
punto 𝑃
,5
13
Problema 3: Emplear la definición de
elipse para obtener una ecuación en la
forma canónica de la elipse cuyos focos
𝑭𝟏 𝒚 𝑭𝟐 están dados y para la cual está
dada la suma de la distancias que separan
a un punto de la elipse de los focos
•
•
•
•
a) 𝐹1 2,4 ,
b) 𝐹1 3,2 ,
c) 𝐹1 6,1 ,
d) 𝐹1 −2,4
𝐹2 (−2,4); 𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 6
𝐹2 (−3,2); 𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 8
𝐹2 (6, −1); 𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 4
, 𝐹2 (−2, −4); 𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 12
Problema 4: Dada la gráfica a
continuación.
Determine:
a)La ecuación de la
elipse en su forma
canónica
b)La ecuación de la
circunferencia en su
forma general
c)La ecuación de las
parábolas cuyos
focos es el mismo
foco de la elipse F1
¿ Fin ?