Transcript 1. Bilangan Real

LOGO
BILANGAN REAL
By Gisoesilo Abudi, S.Pd
BILANGAN REAL
A. OPERASI BILANGAN REAL
B. BILANGAN BERPANGKAT
C. BENTUK AKAR
D. LOGARITMA
UJIAN
AKHIR
BAB
Sistem Bilangan Real
Bilangan atau angka adalah alat bantu
untuk menghitung pada kehidupan seharihari. Oleh karena itu pengetahuan tentang
bilangan
orang.
harus
diketahui
oleh
setiap
Macam-macam Bilangan
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Bilangan kompleks
Bilangan imajiner
Bilangan real
Bilangan rasional
Bilangan irasional
Bilangan bulat
Bilangan prima
Operasi Pada Bilangan Real
Operasi + dan – pada Bilangan Real
sifat-sifat operasi penjumlahan :
1. Komutatif : a + b = b + a
2. Asosiatif : (a + b) + c = a + (b + c)
3. Elemen identitas : a + 0 = 0 + a = a
4. Invers : invers dari a adalah -a
Untuk operasi + dan – pada bil. Pecahan
1.
2.
𝒂
𝒄
𝒂
𝒃
±
±
𝒃
𝒄
𝒄
𝒅
=
=
𝒂±𝒃
𝒄
𝒂𝒅 ± 𝒃𝒄
𝒃𝒅
Atau dengan cara menyamakan penyebut
dari pecahan-pecahan tersebut terlebih
dahulu, yakni dengan mencari Kelipatan
Pesekutuan Terkecil (KPK) dari penyebutpenyebut tersebut.
Operasi Pada Bilangan Real
Operasi x dan : pada Bilangan Real
sifat-sifat operasi perkalian :
1. Komutatif : a . b = b . a
2. Asosiatif : (a . b) . c = a . (b . c)
3. Elemen identitas : a . 1 = 1 . a = a
𝟏
𝒂
4. Invers : invers dari a . = 1, dengan
disebut inver perkalian dari a
𝟏
𝒂
Pada Operasi x dan : pada Bilangan Real
Berlaku :
a . (-b) = - (ab)
a : (-b) = -
𝒂
𝒃
(-a) . b = - (ab)
(-a) : b = -
𝒂
𝒃
(-a) . (-b) = ab
(-a) : (-b) =
𝒂
𝒃
Contoh
1. Hitunglah
𝟐
𝟒
𝟓
+
𝟏
𝟐
𝟑
!
2. Ubahlah
bilangan
desimal
𝐚
2,020202… kedalam bentuk
3. Hitunglah :a). -3 .
𝟐
(
𝟓
-
𝟏
)
𝟑
𝐛
𝟐
b).
𝟓
∶
berulang
𝟏
𝟑
𝟑
𝟓
4. Untuk membuat benda kerja diperlukan
bagian dari sebatang besi yang panjangnya 4
meter. Jika dibuat sebanyak 50 unit benda
kerja, berapa panjang besi yang digunakan
seluruhnya ?
Konversi Bilangan
Konversi Pecahan ke Persen dan sebaliknya
Pecahan
𝐚
𝐛
dapat dikonversikan menjadi persen
dengan cara mengalikan
𝐚
𝐛
dengan 100%.
Sebaliknya, bilangan persen p% dikonversikan
menjadi pecahan dengan cara mengubahnya
𝐩
menjadi pecahan biasa
kemudian
𝟏𝟎𝟎
disederhanakan.
Contoh
1. Konversikan
𝟏
persen : a).
𝟖
pecahan
𝟓
b).
berikut
kedalam
𝟒
2. Konversikan bentuk persen
pecahan : a). 2,5%
b). 6%
berikut
ke
Aktivitas kelas
1. Hitunglah
a. 7 + 12 – 20
𝟑
𝟓
b. 𝟐 − 𝟏
𝟐
𝟑
− −𝟑
c. 40 : 5 . (-2)
d. 24 . (-2) : 3
e.
f.
𝟏
. 42 : (-3)
𝟐
𝟓
𝟐
𝟏
+
− . (−𝟖)
𝟕
𝟓
𝟐
−
3
Aktivitas kelas
2. Konversikan
bilangan
kepersen atau sebaliknya :
a. 50%
b.
𝟐
𝟓
c. 12,5%
pecahan
berikut
Aktivitas kelas
3. Konversikan bilangan pecahan berikut ke
desimal atau sebaliknya :
a.
𝟑
𝟏𝟎
b.
𝟕
𝟑
c. 0,482
d. 0,0135
Latihan
Coba Anda kerjakan latihan halaman 9 –
10 no 1-10 Buku Matematika SMK
Erlangga Kelompok Teknologi.
Perbandingan
Kita dapat membuat perbandingan dari
dua besaran yang sejenis, misalnya :
tinggi badan, panjang dan lebar.
Hasil bagi kedua besaran dapat ditulis
𝒂
dalam bentuk atau a : b, dengan a dan
𝒃
b merupakan bilangan asli.
1. Perbandingan Senilai
Suatu perbandingan dikatakan senilai
jika dua perbandingan nilainya sama.
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
atau a . d = c. b.
Misal
Panjang kabel (m)
Harga per meter (Rp)
1
2
3
3.000
6.000
9.000
Dengan mengamati tabel di atas dapat
kita simpulkan :
“Perbandingan panjang kabel pada
baris ke-1 dan baris ke-2 = 1 : 2”
“Perbandingan harga kabel per meter
pada baris ke-1 dan baris ke-2 = 1 : 2
Jika kita perhatikan perbandingan
panjang kabel dan harganya pada baris
yang bersesuaian adalah sama.
Contoh 1
Dalam suatu perjalanan sejauh 40 km, sebuah
mobil memerlukan bahan bakar sebanyak 8 liter
bensin. Jika mobil itu menempuh perjalanan
sejauh 120 km, berapa banyak bahan bakar
yang diperlukan ?
Penyelesaian
Cara I
Perhitungan berdasarkan satuan
Bahan bakar untuk jarak tempuh 40 km =
8 liter.
Bahan bakar untuk jarak tempuh 1 km =
𝟖
𝟏
𝐥𝐢𝐭𝐞𝐫 = 𝐥𝐢𝐭𝐞𝐫.
𝟒𝟎
𝟓
Jadi, bahan bakar untuk jarak tempuh 120
𝟏
km = 120. 𝐥𝐢𝐭𝐞𝐫 = 𝟐𝟒 𝐥𝐢𝐭𝐞𝐫.
𝟓
Penyelesaian
Cara II
Perhitungan berdasarkan perbandingan.
Banyak bahan bakar (liter)
Jarak tempuh (Km)
8
40
X
120
Diperoleh perbandingan :
 40. x = 8 . 120
 40x = 960
 x = 24
𝟖
𝟒𝟎
=
.
𝐱
𝟏𝟐𝟎
Jadi, bahan bakar yang diperlukan 𝟐𝟒 𝐥𝐢𝐭𝐞𝐫.
Contoh 2
Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan tetap
60 km/jam dari kota A ke kota B. jika jarak yang
ditempuh mobil tersebut sejauh 300 km, maka
waktu yang diperlukan untuk sampai di kota B
adalah … jam
Penyelesaian
Cara II
Perhitungan berdasarkan perbandingan.
Jarak tempuh (km)
Waktu (jam)
60
1
300
t
Diperoleh perbandingan :
 60. t = 1 . 300
 60t = 300
t=5
𝐭
𝟑𝟎𝟎
=
.
𝟏
𝟔𝟎
Jadi, waktu yang diperlukan 5 jam.
Aktivitas kelas
1. Harga 5 buah kapasitor dengan kapasitas
tertentu adalah Rp30.000,00. berapa rupiahkah
Ghafar harus membayar jika ia menginginkan 50
buah kapasitor ?
2. Waktu yang diperlukan seorang teknisi untuk
men-tune-up sebuah mobil adalah 4 jam. Jika
dalam satu hari ia bekerja selama 9 jam, berapa
mobil yang dapat diselesaikan selama satu
bulan (asumsi teknisi itu beristirahat selama 1
jam setiap hari)?. Jika biaya tune-up adalah Rp
150.000,00, berapa pendapatan yang diperoleh
selama 1 bulan ?
Aktivitas kelas
3. Arus (I) yang mengalir pada suatu hambatan
tetap adalah 2 ampere. Jika pada ujungujung hambatan tersebut diberi beda
potensial 220 volt (V), berapakah arus yang
mengalir jika beda potensialnya diturunkan
menjadi 110 V ? Hubungan antara kuat arus,
hambatan, beda potensial pada rangkaian
tertutup dirumuskan V = I . R
2. Perbandingan Berbalik nilai
Suatu
perbandingan
dikatakan
perbandingan berbalik nilai jika dua
perbandingan
nilainya
saling
berbalikan.
𝒂
𝒃
=
𝒅
𝒄
atau a . c = b . d
Misal
Kecepatan (km/jam)
Waktu tempuh (jam)
80
60
40
3
4
6
Dengan mengamati tabel di atas dapat
kita simpulkan :
“Perbandingan kecepatan pada baris
ke-1 : baris ke-2 = 80 : 60 = 1 : 2”
“Perbandingan kecepatan pada baris
ke-2 : baris ke-3 = 60 : 40 = 1 : 2
Jika kita perhatikan perbandingan
kecepatan dan waktu tempuh pada
pada baris yang bersesuaian adalah
terbalik.
Contoh 1
Kereta Api “Cirebon Express” jurusan
Jakarta-Cirebon dalam keadaan normal
menempuh perjalanan selama 3,5 jam dari
Jakarta ke Cirebon dengan kecepatan
rata-rata 80 km/jam. Karena suatu hal,
pada suatu perjalanan kereta berangkat
dari Jakarta pukul 10.00 tetapi tiba di
tempat tujuan pukul 15.00. berapakah
kecepatan rata-rata perjalanan kereta
tersebut ?
Penyelesaian
Lama perjalanan dari pukul 10.00 sampai pukul
15.00 adalah 5 jam.
Diperoleh :
𝟑,𝟓
𝟓
Waktu
Jarak tempuh (Km)
3,5
80
5
x
=
𝐱
𝟖𝟎
 3,5 . 80 = x . 5
 280 = 5x
 x=
𝟐𝟖𝟎
𝟓
= 𝟓𝟔 𝐤𝐦/𝐣𝐚𝐦
Contoh 2
Seorang petani mempunyai persediaan
makanan untuk 80 ekor ternaknya selama
satu
bulan.
Jika
petani
tersebut
menambah 20 ekor ternak lagi, berapa
hari persediaan makanan itu akan habis ?
Penyelesaian
Dengan perbandingan, diperoleh :
Banyak ternak
Hari
80
30
(80 + 20) = 100
x
Diperoleh :
𝟖𝟎
𝟏𝟎𝟎
=
𝟑𝟎
𝐱
 30. 80 = x . 100
 100x = 2400
 x=
𝟐𝟒𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟐𝟒 𝐡𝐚𝐫𝐢
Aktivitas kelas
1. Erni melakukan perjalanan Jakarta – Bogor
mengendarai sepeda motor selama 2 jam
dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam. Jika
kecepatan rata-ratanya menjadi 80 km/jam,
berapa lamakah ia sampai di Bogor ?
2. Dua kantong berisi coklat dengan jumlah yang
sama akan dibagi-bagikan dalam pesta ualng
tahun Rita. Kantong pertama dibagikan pada 25
anak dan tiap anak memperoleh jumlah yang
sama, yaitu 6 coklat. Jika kantong kedua
dibagikan pada 30 anak, berapakah banyak
coklat yang diperoleh masing-masing anak ?
Latihan
Coba Anda kerjakan latihan halaman 14 no
1-10 Buku Matematika SMK Erlangga
Kelompok Teknologi.
Skala
Jika kita membaca suatu peta, maka
disana akan tertulis skala peta.
Misalnya 1 : 2.000.000, artinya jarak 1
cm pada peta tersebut sama dengan
2.000.000 cm pada jarak sebenarnya.
Contoh 1
Jarak dua kota pada peta 12,5
cm. Jika skala peta tersebut
1:500.000, berapakah jarak kedua
kota itu sesungguhnya ?.
Penyelesaian
Jarak pada peta (cm)
Jarak sebenarnya (cm)
1
500.000
12,5
x
Diperoleh perbandingan senilai :

𝟏
𝟏𝟐,𝟓
=
𝟓𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎
𝒙
 1 . X = 12,5 . 500.000
 x = 6.250.000 cm
 x = 62,5 km
Jadi, jarak kedua kota tersebut adalah
62,5 km
Contoh 2
Jarak Jakarta-Yogyakarta 600 km.
jika di dalam peta jarak keduanya
adalah
15
cm,
tentukanlah
skalanya !
Penyelesaian
Skala
= 15 cm : 600 km
= 15 cm : 60.000.000 cm
= 1 : 4.000.000
Jadi, skala peta tersebut adalah 1 :
4.000.000
Aktivitas kelas
1. Jarak kota A dan kota B pada peta
adalah 5 cm. Jika jarak sebenarnya
dari kedua kota itu adalah 350 km,
berapakah skala yang digunakan ?
2. Skala pada peta 1:2.500.000.
Apabila jarak dari Surabaya ke
Semarang 150 km, tentukan jarak
pada peta.
Latihan
Coba Anda kerjakan latihan halaman 16 no
1-10 Buku Matematika SMK Erlangga
Kelompok Teknologi.
Contoh 1 Aplikasi Bil. Real
Seorang pria mewariskan harta sebesar
Rp120.000.000 kepada emapat anaknya.
Ketiga anaknya yang pertama masing𝟏 𝟏
𝟏
masing mendapatkan
, , 𝐝𝐚𝐧
dari
𝟑 𝟒
𝟓
seluruh harta warisan. Sedangkan sisanya
diberikan
kepada
anak
keempat.
Berapakah
warisan
yang
diperoleh
masing-masing anak ?
Penyelesaian
 Warisan yang diterima anak I
𝟏
𝟑
. Rp120.000.000 = Rp40.000.000
 Warisan yang diterima anak II
𝟏
𝟒
. Rp120.000.000 = Rp30.000.000
 Warisan yang diterima anak III
𝟏
𝟓
. Rp120.000.000 = Rp24.000.000
Penyelesaian
 Warisan yang diterima anak IV
=
=
=
𝟏
𝟑
𝟏 𝟏
(1- - - ) . Rp120.000.000
𝟒 𝟓
𝟔𝟎
𝟐𝟎
𝟏𝟓
𝟏𝟐
( − −
− ).Rp120.000.000
𝟔𝟎
𝟔𝟎
𝟔𝟎
𝟔𝟎
𝟏𝟑
. Rp120.000.000
𝟔𝟎
= Rp26.000.000
Contoh 2 Aplikasi Bil. Real
Neni akan menjual beras sebanyak 75
karung dengan berat tiap-tiap karung 60
kg. Melalui seorang komisioner bernama
Husni, mereka menyepakati ketentuan
sebagai berikut : tara 1%, rafaksi 5%, dan
komisi 10%. Jika harga beras Rp4.000,00
tiap kg, tentukan :
a. Komisi yang diterima Husni
b. Hasil penjualan yang diterima Neni
Penyelesaian
a. bruto = 75 . 60kg = 4.500 kg
tara
= 1% . 4.500kg = 45 kg
netto = bruto – tara
= 4.500 – 45 = 4.455 kg
Rafaksi = 5% . 4.455 kg = 222,75 kg
Berat bersih setelah rafaksi
= netto – rafaksi
= 4.455 – 222,75
= 4.232,25 kg
Penyelesaian
 hasil penjualan sebelum komisi
= 4.232,25 . Rp4.000,00
= Rp16.929.000,00
Komisi yang diperoleh Husni
= 10% .Rp16.929.000,00
= Rp1.692.900,00
Penyelesaian
b. Hasil penjualan yang diterima Neni
= Rp16.929.000,00 – Rp1.692.900,00
= Rp15.236.100,00
Contoh 3 Aplikasi Bil. Real
Untuk membuat speaker aktif diperlukan
modal sebesar Rp200.000,00. Jika
speaker aktif tersebut dijual dengan
harga
Rp260.000,00,
berapakah
keuntungan dan persentase keuntungan
dari hasil penjualan tersebut ?
Penyelesaian
 keuntungan
= Rp260.000,00 – Rp200.000,00
= Rp60.000,00
% keuntungan
=
𝟔𝟎.𝟎𝟎𝟎
.
𝟐𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎
100% = 30%
Contoh 4 Aplikasi Bil. Real
Paramita mendapatkan untung 6% dari
harga pembelian sebuah mobil. Jika
besarnya
keuntungan
tersebut
Rp7.500.000,00,
berapakah
harga
penjualan mobil tersebut ?
Penyelesaian
 Keuntungan 6% = Rp7.500.000,00
 Harga pembelian
=
𝟏𝟎𝟎
.
𝟔
Rp7.500.000,00
= Rp125.000.000,00
 Harga penjualan
= Rp125.000.000,00 + Rp7.500.000,00
= Rp132.500.000,00
Latihan
Coba Anda kerjakan latihan halaman 18 - 19
no 1-15 Buku Matematika SMK Erlangga
Kelompok Teknologi.
LOGO
Materi ini bisa Anda download di
soesilongeblog.wordpress.com