Transcript Diagrama de árbol y Teorema de Bayes

Estadística Administrativa I
Período 2014-2
DIAGRAMA DE ÁRBOL
TEOREMA DE BAYES
1
Diagrama de árbol
Especial para generar probabilidades
conjuntas con la regla general de la
multiplicación.
2
Diagrama de árbol
Son figuras que se distribuyen desde un punto común
y se van generando ramas de acuerdo con la
información proporcionada. Son útiles al organizar
datos que vienen en una tabla de contingencia y se
desean calcular las probabilidades conjuntas.
El diagrama se genera dependiendo del número de
variables que se estén manejando en el estudio que
se está realizando.
3
Ejemplo 1…
En una escuela mixta, para participar en dos concursos
sobre oratoria, se han definidos dos grupos, los que son
mayores de 8 años y los que no lo son. Además, los
grupos se distribuirán por sexo.
Construir el diagrama de árbol.
Niñas
La Flor
Niños
Menores de 8
años
Mayores de 8
años
Menores de 8
años
Mayores de 8
años
4
Ejemplo 2…
En una tienda de ropa, durante el año pasado, se vendió el
producto que se trajo de Estados Unidos y los resultado
fueron:
TIPO DE
MASCULINO FEMENINO
ROPA
NIÑOS
875
1024
ADULTOS
720
900
Construir el diagrama de árbol.
Masculino
Niños
875
Femenino
1024
Tienda
Masculino
Adultos
720
Femenino
900
5
Ejemplo 2…
En una tienda de ropa, durante el año pasado, se vendió el
producto que se trajo de Estados Unidos y los resultado
fueron:
TIPO DE
MASCULINO FEMENINO
ROPA
NIÑOS
875
1024
ADULTOS
720
900
Construir el diagrama de árbol.
Masculino
Niños
875
1899
Femenino
1024
Tienda
Masculino
Adultos
720
1620
Femenino
900
6
Ejemplo…3
Se aplicó una encuesta en el centro comercial “La
Musiquera” para conocer las preferencias de los visitantes
en la compra de zapatos infantiles, la encuesta se aplicó
para dos marcas, obteniendo una muestra de 300 familias
con los siguientes resultados.
MARCA
OshKosh
Stride Rite
Tajadas
NIÑOS NIÑAS TOTAL
90
85
175
55
70
125
29
90
300
Construir el diagrama de árbol y determinar las
probabilidades conjuntas en base a su probabilidad
condicional
7
… Ejemplo
Diagrama de árbol
8
Ejemplo…
El 5% de la población de Umen, un país ficticio del tercer
mundo, tiene una enfermedad propia del país. La
probabilidad de que un habitante tenga la enfermedad es
de 0.05; existe una técnica de diagnóstico que no es muy
precisa.
Se han hecho estudios de su efectividad y se ha
descubierto que la probabilidad de que un habitante
elegido al azar tenga la enfermedad después de haber
hecho el examen es de 0.9 y que la probabilidad de que
no la tenga, aunque se haya hecho la prueba es de 0.15.
9
… EJEMPLO
Diagrama de árbol
10
Teorema de Bayes
Fórmula creada por un reverendo para
saber matemáticamente si Dios existe.
11
Teorema de Bayes
El teorema de Bayes es una fórmula desarrollado por el
Reverendo Thomas Bayes, un ministro presbiteriano que
tenía interés en demostrar, matemáticamente que Dios
existía, basándose en la información que veía en la tierra.
Más tarde, Pierre-Simon Laplace perfeccionó el trabajo y lo
aplicó a asuntos más terrenales.
12
Teorema de Bayes
Sea B un evento simple y A1 y A2 eventos que son
mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, el
teorema de Bayes calcula la probabilidad de que el evento A1
ocurra, dado que el evento B ya ocurrió.
𝑃 𝐴1 𝑃(𝐵 𝐴 )
𝐴1
1
𝑃
𝐵 =
𝑃 𝐴1 𝑃 𝐵 𝐴 + 𝑃 𝐴2 𝑃(𝐵 𝐴 )
1
2
13
Ejemplo…
A está formado por dos eventos y B es un evento simple,
suponer:
P(A1)= 0.05,
P(B/A1)=0.80,
P(A2)=0.95
P(B/A2)= 0.50
Calcular P(A1/B).
𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐵 𝐴 )
𝐴
1
𝑃 1 𝐵 =
𝑃 𝐴1 𝑃 𝐵 𝐴 + 𝑃 𝐴2 𝑃(𝐵 𝐴 )
1
2
(0.05)(0 .80)
0.04
=
=
0.05 0.80 + (0.95)(0.50) 0.04 + 0.475
=
0.04
0.515
=0.0776699=0.078
La probabilidad
es de 0.078 14
… Ejemplo
Diagrama de árbol:
La probabilidad
es de 0.078 15
… Ejemplo
Tabla de contingencia
16
Ejemplo…
Los trabajadores despedidos que se volvieron empresarios
porque no encontraron empleo en otra empresa se conocen
como “empresarios por necesidad”.
El Wall Street Journal reporta que estos empresarios tienen
menos posibilidad de crecimiento en los grandes negocios que
los “empresarios por elección”.
Este artículo establece que el 89% de los empresarios en USA
lo son por elección y que el 11% son empresarios por
necesidad.
17
… Ejemplo
Solo el 2% de los empresarios por necesidad esperan que su
nuevo negocio dé empleo a 20 o más personas dentro de los
siguientes cinco años, mientras que el 14% de los empresarios
por elección esperan emplear por lo menos a 20 personas
dentro de los siguientes cinco años.
Si se selecciona al azar a un empresario y éste espera que su
nuevo negocio emplee a 20 o más personas dentro de los
siguientes 5 años. ¿Cuál es la probabilidad de que esté
individuo sea un empresario por elección?
18
… Ejemplo
A1
:
Empresarios por elección
P(A1) =
0.89
A2
:
Empresarios por necesidad
P(A2) =
0.11
B
:
Esperanza de crecer
B1
:
Espera crecer
B2
:
No espera crecer
P(B/A1) = 0.14
P(B/A2) = 0.02
¿P(A1/B)?
19
… Ejemplo
20
… Ejemplo
Probabilidad Procabilidad probabilidad
Evento
simple
condicional
conjunta
Empresario por elección (A1)
0.89
0.14
0.1246
Empresario por necesidad (A2)
0.11
0.02
0.0022
0.1268
𝑃
𝐴1
𝐵 =
𝑃 (𝐴 1 )𝑃 𝐵 𝐴
1
𝑃 (𝐴 1 )𝑃 𝐵 𝐴 +𝑃 (𝐴 2 )𝑃 𝐵 𝐴
1
2
(0.89)(0.14)
𝐴1
𝑃( 𝐵 ) =
(0.89)(0.14) + (0.11)(0.02)
0.1246
𝐴1
𝑃( 𝐵) =
= 0.9826
0.1268
21
Ejemplo…
El 5% de la población de Umen, un país ficticio del tercer
mundo, tiene una enfermedad propia del país. La
probabilidad de que un habitante tenga la enfermedad es
de 0.05.
Existe una técnica de diagnóstico que no es muy precisa.
Se han hecho estudios de su efectividad y se ha
descubierto que la probabilidad de que un habitante
elegido al azar tenga la enfermedad después de haber
hecho el examen es de 0.9 y que la probabilidad de que
no la tenga, aunque se haya hecho la prueba es de 0.15.
22
… Ejemplo
Elija al azar a una persona de Umen y aplique la prueba. Los
resultados de la prueba indican que la enfermedad está
presente.
¿Cuál es la probabilidad de que la persona en realidad
padezca la enfermedad?
𝐴1 = 𝑃𝑎𝑑𝑒𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑓𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑎𝑑
𝐴2 = 𝑁𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑒𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑓𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑎𝑑
𝐵 = 𝐿𝑎 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡ó 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑃 𝐴1 = 0.05
𝑃 𝐴2 = 0.095
𝐿𝑎 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡ó 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑃 𝐵 𝐴 =𝑃
= 0.9
𝑃𝑎𝑑𝑒𝑐𝑒
𝑙𝑎
𝑒𝑛𝑓𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑎𝑑
1
𝐿𝑎 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡ó 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃(
) = 0.15
𝑁𝑜
𝑝𝑎𝑑𝑒𝑐𝑒
𝑙𝑎
𝑒𝑛𝑓𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑎𝑑
2
23
… Ejemplo
Diagrama de árbol:
24
… Ejemplo
Probabilidad Procabilidad probabilidad
Evento
simple
condicional
conjunta
Padece la enfermedad (A1)
0.05
0.9
0.045
No padece la enfermedad (A2)
0.95
0.15
0.1425
0.1875
𝑃
𝐴1
𝐵 = 𝑃(
𝑃𝑎𝑑𝑒𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑓𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑎𝑑
𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎)
𝑃 𝐴1 𝑃(𝐵 𝐴 )
𝐴
1
𝑃 1 𝐵 =
𝑃 𝐴1 𝑃 𝐵 𝐴 + 𝑃 𝐴2 𝑃(𝐵 𝐴 )
1
2
𝑃
𝐴1
(0.05)(0.9)
0.45
𝐵 = (0.05)(0.9) + (0.95)(0.15) = 0.1875 = 0.24
25
26