Transcript Mathematics III

MATHEMATICS III
TS 4353
CLASS B
Integral Rangkap
Herlina Setiyaningsih
Civil Engineering Department
Petra Christian University
INTEGRAL RANGKAP DUA

Integral garis
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
Integrannya merupakan suatu fungsi f(x) yang
terdefinisikan untuk semua x di dalam selang a ≤
x ≤ b pada sumbu x.
 Integral rangkap dua, integrannya adalah suatu
fungsi f(x,y) yang terdefinisikan untuk semua
(x,y) di dalam suatu daerah D yang terbatas dan
tertutup pada suatu bidang xy.

Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
INTEGRAL RANGKAP DUA
Y
Q
d
Z = F(Xk, Yk)
D
A
c
ΔXk
a
ΔAk = ΔXkΔYk
B
ΔYk
P
b
X
D dibagi n daerah bagian ΔDk dengan luas ΔAk (k=1, 2,
3, …, n). Diambil titik Z misalkan (xk, yk).
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
𝑛
𝑓 𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ∆𝐴𝑘
𝑘=1
𝑛
lim
𝑛→∞
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 → ∞
𝑓 𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ∆𝑋𝑘 ∆𝑌𝑘 𝑑𝑖𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛
𝑘=1
=
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐷
D = daerah integrasi
 D dicakup oleh pertidaksamaan:
 a ≤ x ≤ b, APB ≤ y ≤ AQB  f1(x) ≤ y ≤ f2(x)
 c ≤ y ≤ d, QBP ≤ x ≤ QAP  g1(y) ≤ x ≤ g2(y)

Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
𝑏
𝑓2 (𝑥)
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑥=𝑎 𝑦=𝑓1 (𝑥)
Diintegralkan terhadap y
dengan menganggap x konstan
𝑑
𝑔2 (𝑦)
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑦=𝑐 𝑥=𝑔1 (𝑦)
Diintegralkan terhadap x
dengan menganggap y konstan
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE 1
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE 3
1

𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑥
Diketahui 𝐼 =
a/. Hitung I dan gambarkan daerah integrasinya
b/. Ubah urutan integrasinya & hitung nilai I
y
y=x
y = x3/2
x=y
x=y2/3
1
0
𝑥 3/2
1
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
x
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE 3
1
𝑥
𝑥=1
𝑦=𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
0 𝑥 3/2
𝑦
𝑥=0
=
=
𝑦=𝑥 3/2
𝑥=0
1
=
𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑥
𝑥
3/2
1
𝑥 − 𝑥 3/2 𝑑𝑥
𝑑𝑥 =
1 2 2 5/2
𝑥 − 𝑥
2
5
𝑥=0
1 2
1
=
− − (0 − 0)
0
2 5
1
10
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
1𝑦
2/3
𝑦 =1 𝑥=𝑦 2/3
𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
0 𝑦
𝑦 =0
𝑦=1
=
𝑥
𝑦=0
=
=
𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑦
2/3
𝑦
𝑥=𝑦
1
𝑦 2/3 − 𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
3 5/3 1 2
𝑦
− 𝑦
5
2
𝑦=0
3 1
1
=
−
− (0 − 0)
0
5 2
1
10
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Diketahui:
Y
x=y
2
y=2
y=x
1
0
x=0
y =1
1
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA

Perhitungan Luas
Y
dx
dy
Elemen luas
dL = dx dy
Luas:
D
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung luas daerah yang dibatasi y=2-x2 dan y=1
Y
Titik-titik potong
y = 2-x2
2-x2 = 1
y=1
1-x2 = 0
x = -1 or x = 1
D
y=1
-1
1
y=2-x2
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x = y2 dan
x+y = 2
Titik-titik potong
x = y2
y2=2-y
x= 2-y
y2+y-2 = 0
(y-1)(y+2)=0
y=1 or y=-2
Y
x = y2
1
X
-2
x + y =2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Perhitungan Massa
Y
ρ= ρ(x,y)
dx
dy
X
Rapat massa
(untuk pelat tipis  tidak punya ketebalan)
Elemen massa dM= ρ dx dy
Massa :
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Tentukan massa pelat tipis yang dibatasi y=2√x,
sumbu x dan garis x=4 jika rapat massanya
sebanding dengan jaraknya terhadap sumbu x.
Y
y = 2√x
y
k = konstanta kesebandingan
ρ = ky
X
x=4
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat
Y
ρ= ρ(x,y)
x
dx
dy
y
X
• Elemen momen terhadap sumbu x: dMx = y ρ dx dy
• Momen terhadap sumbu x:
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Elemen momen terhadap sumbu y: dMy = x ρ dx dy
Momen terhadap sumbu y:

Pusat Massa

Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Tentukan pusat massa lamina (lapisan tipis
(pelat)) homogen (rapat massanya konstan) yang
dibatasi kurva y=x dan y=x2
Y
Titik-titik potong
y = x2
x2=x
y= x
x2-x = 0
x(x-1)=0
x=0 or x=1
y=x2
y=x
D
0
ρ = c (konstan)
1
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
1
𝑀𝑥 =
𝑥
𝑦 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑐
𝐷
𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
0 𝑥2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
1
𝑀𝑦 =
𝑥
𝑥 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑐
𝐷
𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥
0 𝑥2
Pusat massa : (1/2, 2/5)
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Perhitungan Momen Inersia
Y
Elemen momen inersia thd sumbu x:
dIx= y2 ρ dx dy
Momen inersia thd sb x:
ρ= ρ(x,y)
dx
r
dy
y
x
D
X
Elemen momen inersia thd sumbu y:
dIy= x2 ρ dx dy
Momen inersia thd sb y:
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Momen Inersia thd titik pusat O
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Tentukan momen inersia terhadap:
a/. Sumbu x
b/. Sumbu y
c/. Titik pusat O
yang dibatasi oleh kurva y=x dan y=x2
y=x2
Y
y=x
D
Titik-titik potong:
y=x2
x2=x
y=x
x2-x=0
ρ = c (konstan)
x(x-1)=0
x=0 or x=1
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Perhitungan Volume
Z
Z= f(x,y)
Elemen volume dV = z dx dy
Volume:
Y
D
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
X
Y
Z
Oktan
(ruang)
+
+
+
I
-
+
+
II
-
-
+
III
+
-
+
IV
+
+
-
V
-
+
-
VI
-
-
-
VII
+
-
-
VIII
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung volume benda yang dibatasi 2x+3y+z = 6 di oktan
pertama!
Z
6
z = 6 – 2x – 3y
3
2
Y
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
= 18 − 18 + 6 = 6
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung volume benda di oktan pertama yang dibatasi z=y,
y=x2 dan x=y2
Y
Z
y=x2
x=y2
z=y
y=x1/2
y=x2
x=0
x=1
X
Y
z=y
x=y2
X
x=y2
y=x2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
y=x2
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Perhitungan Luas Permukaan Kulit
Z
Z= f(x,y)
Elemen luas
permukaan/ kulit:
k=?
Luas permukaan/ kulit:
Y
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung luas permukaan bidang 3x + 2y + z = 6 di oktan I
Z
Y
3
z = 6 - 3x – 2y
Y
3x + 2y = 6
y = (6-3x)/2
2
X
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
dx
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
SISTEM KOORDINAT POLAR/ KUTUB
Y
x
r
θ
O

P(x,y) = P(r,θ)
y
X
Transformasi sistem koordinat kartesius ke sistem
koordinat polar:
x = r cos θ
y = r sin θ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
NILAI JACOBIAN
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung luas daerah yang dibatasi x2 + y2 = 4
Y
Sistem Koordinat Kartesius
2
X
-2
Sistem Koordinat Polar
b
2π
2
r
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE


Hitung momen inersia terhadap titik pusat dari lamina
homogen x2 + y2 = a2 di atas sumbu x
Sistem koordinat kartesius:
x2+y2=a2
-a
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
a
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
INTEGRAL RANGKAP TIGA
Z
∆zk
f(x,y,z)
∆yk
∆xk
Y
Diintegralkan thd z dengan
menganggap x,y konstan
X
Diintegralkan thd y dengan
menganggap x konstan
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
APLIKASI INTEGRAL LIPAT TIGA

Perhitungan Volume
Z
Elemen volume: dV = dx dy dz
Volume:
∆zk
∆yk
∆xk
V
Y
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung volume benda yang dibatasi tabung x2 + z2 = 4,
bidang XOZ, bidang y=x, bidang XOY yang terletak di
oktan I.
Z
Y
Tabung x2 + z2 =4
 z=√4-x2
Bid Y=X
y=x
Bidang XOZ  y = 0
X
X
2
Y
Bid XOY  z =0
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
2
𝑉 =
4−𝑥 2
𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =
𝐷
𝑥 =0 𝑦 =0 𝑧=0
2 𝑥
=
2 𝑥
𝑧
0 0
4 − 𝑥 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
0
2
4 − 𝑥2
=
0
1
= −
2
=−
𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑥
𝑦
𝑑𝑥 =
0
4 − 𝑥 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥
0 0
2
𝑥
4 − 𝑥 2 𝑑𝑥
0
2
4 − 𝑥2 𝑑 4 − 𝑥2
0
= −
1 2
2
. (4 − 𝑥 2 )3/2
0
2 3
1
8
0−8 =
3
3
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Perhitungan Massa
Z
ρ = ∫(x, y, z)
= rapat massa
Elemen massa: dM= ρ dx dy dz
Massa:
dz
dy
M
dx
Y
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat
 Momen terhadap bidang:
Titik Berat:

𝑋𝑂𝑌 → 𝑀𝑋𝑂𝑌 →
𝜌 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝐷
𝑋𝑂𝑍 → 𝑀𝑋𝑂𝑍 →
𝜌 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝐷
𝑌𝑂𝑍 → 𝑀𝑌𝑂𝑍 →
𝜌 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝐷
𝑀𝑌𝑂𝑍
𝑥=
=
𝑀
𝐷
𝑀𝑋𝑂𝑍
𝑦=
=
𝑀
𝐷
𝑀𝑋𝑂𝑌
𝑧=
=
𝑀
𝐷
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
𝐷
𝐷
𝐷
𝜌 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝜌 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝜌 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung titik berat benda homogen yang dibatasi z=1-x2, bid
XOY, bid YOZ, bid XOZ dan bid y=2 yang terletak di oktan
I!
Z
𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
M=
𝐷
1 2 1−𝑥 2
z = 1-x2
=
Bidang
XOZ
y=0
0 0 0
1 2
y=2
1
2
𝜌 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
Y
=𝑐
=𝑐
X
Bidang
XOY
z=0
2
1
−
𝑥
𝑧
𝑑𝑦 𝑑𝑥
0
2
1
0 0
(1 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑦 𝑑𝑥
0 0
1
1 2
= 𝑐 𝑥 − 𝑥3
𝑦
0 0
3
1
4
=𝑐 1−
2−0 = 𝑐
3
3
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
𝑀𝑌𝑂𝑍 =
𝑥 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝐷
1
2 1−𝑥 2
= 𝑐
2
𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑐
0
0
1
0
0
2
𝑥 − 𝑥 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑐
= 𝑐
0
0
1
1
−
2
4
= 𝑐
𝑀𝑋𝑂𝑍 =
2−0
=
0
2
𝑥𝑧 1 − 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥
0
1 2
1
𝑥 − 𝑥4
2
4
1
2
𝑦
0
0
1
𝑐
2
𝑦 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝐷
1 2 1−𝑥 2
=𝑐
1 2
𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑐
0 0
1 2
0
0 0
0 0
2
𝑦𝑧 1 − 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥
0
1 2 2
1 3
𝑦 1 − 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑦
𝑥− 𝑥
0
2
3
2
=𝑐
=
1
𝑐
4−0
2
1−
1
0
1
4
= 𝑐
3
3
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
𝑀𝑋𝑂𝑌 =
𝑧 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝐷
1 2 1−𝑥 2
=𝑐
=
𝑐
2
1 2
0 0
0
2
1
−
𝑥
𝑧
𝑑𝑦 𝑑𝑥
0
2
𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑐
0 0
=
1 2
0 0
𝑐 2
2
1
1 − 2𝑥 2 + 𝑥 4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦
𝑥 − 𝑥3 + 𝑥5
2 0
3
5
𝑐
2−0
2
1
0
2 1
8
1− +
=
𝑐
3 5
15
1
𝑐 3
𝑀𝑌𝑂𝑋
2
𝑥=
=
=
4
𝑀
8
𝑐
3
4
𝑐
𝑀𝑋𝑂𝑍
3
𝑦=
=
=1
4
𝑀
3𝑐
𝑧=
𝑀𝑋𝑂𝑌
𝑀
8
𝑐 2
15
=
=
4
5
𝑐
3
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Perhitungan Momen Inersia
Z
ρ = ∫(x, y, z)
= rapat
massa
dz
dy
Momen inersia thd sb x:
Momen inersia thd sb y:
dx
Y
Momen inersia thd sb z:
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung momen inersia thd sb x dari balok homogen dgn
panjang p, lebar l dan tinggi t, jika ρ = 2!
𝑝
𝑡
𝑦 2 + 𝑧 2 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =
𝐼𝑥 =
𝐷
𝑦 2 + 𝑧 2 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝑥=0 𝑦=0 𝑧=0
𝑝 𝑙
=2
0 0
= 2𝑥
=
𝑙
1
𝑦2𝑧 + 𝑧3
3
1
𝑝 1 3
𝑦 𝑡 + 𝑡3
0 2
3
𝑡
𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2
0
𝑝 𝑙
0 0
𝑙
= 2 𝑝−0
0
1
𝑦 2 𝑡 + 𝑡 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥
3
1 3
1
𝑙 𝑡 + 𝑡3𝑙
3
3
2𝑝𝑙𝑡 2
(𝑙 + 𝑡 2 )
3
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
SISTEM KOORDINAT TABUNG
Z
P(x,y,z)= P(r,θ,z)
O
θ
x
X
r
Transformasi Koordinat:
x = r cos θ
y = r sin θ
z=z
Y
y
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
NILAI JACOBIAN
Dengan demikian
=
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung momen inersia terhadap sb z dari tabung
homogen x2 + y2 = 4 dan tingginya 3.
Z
Y
x2 + y2 = 4
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Sistem koordinat polar
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
SISTEM KOORDINAT BOLA
Transformasi Koordinat:
x = r cos θ sin Ø
y = r sin θ sin Ø
z = r cos Ø
Z
P(x,y,z)= P(r,θ,Ø)
Ø
r
Z
O
θ
Y
r
P(x,y,z)= P(r,θ,Ø)
Ø
X
θ
r
Y
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
NILAI JACOBIAN
Dengan demikian
=
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung volume benda yang dibatasi x2 + y2 + z2 = a2 di
oktan pertama!
Z
a
Ø
θ
X
a
Y
a
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
SELESAIKAN SOAL-SOAL DI BAWAH INI!






Tentukan luas daerah yang dibatasi y = x2 – 2x dan y = x.
Hitung luas daerah yang dibatasi kurva y = 5 – x2 dan
garis y = 1, x = -1 dan x = 2.
Tentukan titik berat pelat tipis homogen yang dibatasi
kurva y = 2x – x2 dan sumbu x.
Tentukan titik berat pelat tipis homogen yang dibatasi
kurva y = 1 – x2 dan sumbu x.
Tentukan momen inersia terhadap sumbu y dari lamina
homogen yang dibatasi kurva y = x2 dan y = x3.
Tentukan momen inersia terhadap sumbu x dari lamina
homogen yang dibatasi kurva y2 = 4x dan y = x.
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2





Hitung volume benda yang dibatasi z =x, y = x2 dan y = x
yang terletak di oktan pertama.
Hitung luas permukaan benda yang dibatasi x+2y+3z = 6
di oktan pertama.
Tentukan massa piringan tipis berbentuk lingkaran
dengan persamaan x2 + y2 = 4 jika kerapatan massa
piringan tersebut ρ = x2 + y2
Tentukan massa piringan tipis berbentuk lingkaran
dengan persamaan x2 + y2 = 4 jika kerapatan massa
piringan tersebut ρ = (x2 + y2)^0,5.
Hitung volume dan titik berat benda homogen yang
dibatasi z=1-x2, bid XOY, bid XOZ dan bid y=3 yang
terletak di oktan I!
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Hitung volume dan titik berat benda homogen
yang dibatasi z=9-y2, bid YOZ, bid XOY dan bid
y=x yang terletak di oktan I!
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2