Chapter II Lesson I
Download
Report
Transcript Chapter II Lesson I
MATHEMATICS III
TS 4353
CLASS B
Integral Rangkap
Herlina Setiyaningsih
Civil Engineering Department
Petra Christian University
INTEGRAL RANGKAP DUA
ο’
Integral garis
π
π π₯ ππ₯
π
Integrannya merupakan suatu fungsi f(x) yang
terdefinisikan untuk semua x di dalam selang a β€
x β€ b pada sumbu x.
ο’ Integral rangkap dua, integrannya adalah suatu
fungsi f(x,y) yang terdefinisikan untuk semua
(x,y) di dalam suatu daerah D yang terbatas dan
tertutup pada suatu bidang xy.
ο’
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
INTEGRAL RANGKAP DUA
Y
Q
d
Z = F(Xk, Yk)
D
A
c
ΞXk
a
ΞAk = ΞXkΞYk
B
ΞYk
P
b
X
D dibagi n daerah bagian ΞDk dengan luas ΞAk (k=1, 2,
3, β¦, n). Diambil titik Z misalkan (xk, yk).
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
π
π π₯π , π¦π βπ΄π
π=1
π
lim
πββ
π’ππ‘π’π π β β
π π₯π , π¦π βππ βππ ππππ¦ππ‘ππππ ππππππ
π=1
=
π π₯, π¦ ππ₯ ππ¦
π·
D = daerah integrasi
ο’ D dicakup oleh pertidaksamaan:
ο’ a β€ x β€ b, APB β€ y β€ AQB ο f1(x) β€ y β€ f2(x)
ο’ c β€ y β€ d, QBP β€ x β€ QAP ο g1(y) β€ x β€ g2(y)
ο’
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
π
π2 (π₯)
π(π₯, π¦) ππ₯ ππ¦ =
π·
π π₯, π¦ ππ¦ ππ₯
π₯=π π¦=π1 (π₯)
Diintegralkan terhadap y
dengan menganggap x konstan
π
π2 (π¦)
π(π₯, π¦) ππ₯ ππ¦ =
π·
π π₯, π¦ ππ₯ ππ¦
π¦=π π₯=π1 (π¦)
Diintegralkan terhadap x
dengan menganggap y konstan
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE 1
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE 3
1
ο’
π₯
ππ¦ ππ₯
Diketahui πΌ =
a/. Hitung I dan gambarkan daerah integrasinya
b/. Ubah urutan integrasinya & hitung nilai I
y
y=x
y = x3/2
x=y
x=y2/3
1
0
π₯ 3/2
1
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
x
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE 3
1
π₯
π₯=1
π¦=π₯
ππ¦ ππ₯ =
0 π₯ 3/2
π¦
π₯=0
=
=
π¦=π₯ 3/2
π₯=0
1
=
ππ¦ ππ₯
π₯
π₯
3/2
1
π₯ β π₯ 3/2 ππ₯
ππ₯ =
1 2 2 5/2
π₯ β π₯
2
5
π₯=0
1 2
1
=
β β (0 β 0)
0
2 5
1
10
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
1π¦
2/3
π¦ =1 π₯=π¦ 2/3
ππ₯ ππ¦ =
0 π¦
π¦ =0
π¦=1
=
π₯
π¦=0
=
=
ππ₯ ππ¦
π¦
2/3
π¦
π₯=π¦
1
π¦ 2/3 β π¦ ππ¦
ππ₯ =
3 5/3 1 2
π¦
β π¦
5
2
π¦=0
3 1
1
=
β
β (0 β 0)
0
5 2
1
10
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
ο’
Diketahui:
Y
x=y
2
y=2
y=x
1
0
x=0
y =1
1
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA
ο’
Perhitungan Luas
Y
dx
dy
Elemen luas
dL = dx dy
Luas:
D
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE
ο’
Hitung luas daerah yang dibatasi y=2-x2 dan y=1
Y
Titik-titik potong
y = 2-x2
2-x2 = 1
y=1
1-x2 = 0
x = -1 or x = 1
D
y=1
-1
1
y=2-x2
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE
ο’
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x = y2 dan
x+y = 2
Titik-titik potong
x = y2
y2=2-y
x= 2-y
y2+y-2 = 0
(y-1)(y+2)=0
y=1 or y=-2
Y
x = y2
1
X
-2
x + y =2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
ο’
Perhitungan Massa
Y
Ο= Ο(x,y)
dx
dy
X
Rapat massa
(untuk pelat tipis ο tidak punya ketebalan)
Elemen massa dM= Ο dx dy
Massa :
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE
ο’
Tentukan massa pelat tipis yang dibatasi y=2βx,
sumbu x dan garis x=4 jika rapat massanya
sebanding dengan jaraknya terhadap sumbu x.
Y
y = 2βx
y
k = konstanta kesebandingan
Ο = ky
X
x=4
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
ο’
Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat
Y
Ο= Ο(x,y)
x
dx
dy
y
X
β’ Elemen momen terhadap sumbu x: dMx = y Ο dx dy
β’ Momen terhadap sumbu x:
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
ο’
Elemen momen terhadap sumbu y: dMy = x Ο dx dy
Momen terhadap sumbu y:
ο’
Pusat Massa
ο’
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE
ο’
Tentukan pusat massa lamina (lapisan tipis
(pelat)) homogen (rapat massanya konstan) yang
dibatasi kurva y=x dan y=x2
Y
Titik-titik potong
y = x2
x2=x
y= x
x2-x = 0
x(x-1)=0
x=0 or x=1
y=x2
y=x
D
0
Ο = c (konstan)
1
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
1
ππ₯ =
π₯
π¦ π ππ₯ ππ¦ = π
π·
π¦ ππ¦ ππ₯
0 π₯2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
1
ππ¦ =
π₯
π₯ π ππ₯ ππ¦ = π
π·
π₯ ππ¦ ππ₯
0 π₯2
Pusat massa : (1/2, 2/5)
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
ο’
Perhitungan Momen Inersia
Y
Elemen momen inersia thd sumbu x:
dIx= y2 Ο dx dy
Momen inersia thd sb x:
Ο= Ο(x,y)
dx
r
dy
y
x
D
X
Elemen momen inersia thd sumbu y:
dIy= x2 Ο dx dy
Momen inersia thd sb y:
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
ο’
Momen Inersia thd titik pusat O
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE
ο’
Tentukan momen inersia terhadap:
a/. Sumbu x
b/. Sumbu y
c/. Titik pusat O
yang dibatasi oleh kurva y=x dan y=x2
y=x2
Y
y=x
D
Titik-titik potong:
y=x2
x2=x
y=x
x2-x=0
Ο = c (konstan)
x(x-1)=0
x=0 or x=1
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
ο’
Perhitungan Volume
Z
Z= f(x,y)
Elemen volume dV = z dx dy
Volume:
Y
D
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
X
Y
Z
Oktan
(ruang)
+
+
+
I
-
+
+
II
-
-
+
III
+
-
+
IV
+
+
-
V
-
+
-
VI
-
-
-
VII
+
-
-
VIII
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE
ο’
Hitung volume benda yang dibatasi 2x+3y+z = 6 di oktan
pertama!
Z
6
z = 6 β 2x β 3y
3
2
Y
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
= 18 β 18 + 6 = 6
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE
ο’
Hitung volume benda di oktan pertama yang dibatasi z=y,
y=x2 dan x=y2
Y
Z
y=x2
x=y2
z=y
y=x1/2
y=x2
x=0
x=1
X
Y
z=y
x=y2
X
x=y2
y=x2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
y=x2
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
ο’
Perhitungan Luas Permukaan Kulit
Z
Z= f(x,y)
Elemen luas
permukaan/ kulit:
k=?
Luas permukaan/ kulit:
Y
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE
ο’
Hitung luas permukaan bidang 3x + 2y + z = 6 di oktan I
Z
Y
3
z = 6 - 3x β 2y
Y
3x + 2y = 6
y = (6-3x)/2
2
X
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
dx
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
SISTEM KOORDINAT POLAR/ KUTUB
Y
x
r
ΞΈ
O
ο’
P(x,y) = P(r,ΞΈ)
y
X
Transformasi sistem koordinat kartesius ke sistem
koordinat polar:
x = r cos ΞΈ
y = r sin ΞΈ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
NILAI JACOBIAN
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE
ο’
Hitung luas daerah yang dibatasi x2 + y2 = 4
Y
Sistem Koordinat Kartesius
2
X
-2
Sistem Koordinat Polar
b
2Ο
2
r
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE
ο’
ο’
Hitung momen inersia terhadap titik pusat dari lamina
homogen x2 + y2 = a2 di atas sumbu x
Sistem koordinat kartesius:
x2+y2=a2
-a
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
a
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
INTEGRAL RANGKAP TIGA
Z
βzk
f(x,y,z)
βyk
βxk
Y
Diintegralkan thd z dengan
menganggap x,y konstan
X
Diintegralkan thd y dengan
menganggap x konstan
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
APLIKASI INTEGRAL LIPAT TIGA
ο’
Perhitungan Volume
Z
Elemen volume: dV = dx dy dz
Volume:
βzk
βyk
βxk
V
Y
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE
ο’
Hitung volume benda yang dibatasi tabung x2 + z2 = 4,
bidang XOZ, bidang y=x, bidang XOY yang terletak di
oktan I.
Z
Y
Tabung x2 + z2 =4
ο z=β4-x2
Bid Y=X
y=x
Bidang XOZ ο y = 0
X
X
2
Y
Bid XOY ο z =0
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
2
π =
4βπ₯ 2
π₯
ππ₯ ππ¦ ππ§ =
π·
π₯ =0 π¦ =0 π§=0
2 π₯
=
2 π₯
π§
0 0
4 β π₯ 2 ππ¦ ππ₯ =
0
2
4 β π₯2
=
0
1
= β
2
=β
ππ§ ππ¦ ππ₯
π₯
π¦
ππ₯ =
0
4 β π₯ 2 ππ¦ ππ₯
0 0
2
π₯
4 β π₯ 2 ππ₯
0
2
4 β π₯2 π 4 β π₯2
0
= β
1 2
2
. (4 β π₯ 2 )3/2
0
2 3
1
8
0β8 =
3
3
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
ο’
Perhitungan Massa
Z
Ο = β«(x, y, z)
= rapat massa
Elemen massa: dM= Ο dx dy dz
Massa:
dz
dy
M=
π·
π ππ₯ ππ¦ ππ§
dx
Y
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat
ο’ Momen terhadap bidang:
Titik Berat:
ο’
πππ β ππππ β
π π§ ππ₯ ππ¦ ππ§
π·
πππ β ππππ β
π π¦ ππ₯ ππ¦ ππ§
π·
πππ β ππππ β
π π₯ ππ₯ ππ¦ ππ§
π·
ππππ
π₯=
=
π
π·
ππππ
π¦=
=
π
π·
ππππ
π§=
=
π
π·
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
π·
π·
π·
π π₯ ππ₯ ππ¦ ππ§
π ππ₯ ππ¦ ππ§
π π¦ ππ₯ ππ¦ ππ§
π ππ₯ ππ¦ ππ§
π π§ ππ₯ ππ¦ ππ§
π ππ₯ ππ¦ ππ§
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE
ο’
Hitung titik berat benda homogen yang dibatasi z=1-x2, bid
XOY, bid YOZ, bid XOZ dan bid y=2 yang terletak di oktan
I!
Z
π ππ₯ ππ¦ ππ§
M=
π·
1 2 1βπ₯ 2
z = 1-x2
=
Bidang
XOZ
y=0
0 0 0
1 2
y=2
1
2
π ππ§ ππ¦ ππ₯
Y
=π
=π
X
Bidang
XOY
z=0
2
1
β
π₯
π§
ππ¦ ππ₯
0
2
1
0 0
(1 β π₯ 2 ) ππ¦ ππ₯
0 0
1
1 2
= π π₯ β π₯3
π¦
0 0
3
1
4
=π 1β
2β0 = π
3
3
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
ππππ =
π₯ π ππ₯ ππ¦ ππ§
π·
1
2 1βπ₯ 2
= π
2
π₯ ππ§ ππ¦ ππ₯ = π
0
0
1
0
0
2
π₯ β π₯ 3 ππ¦ ππ₯ = π
= π
0
0
1
1
β
2
4
= π
ππππ =
2β0
=
0
2
π₯π§ 1 β π₯ ππ¦ ππ₯
0
1 2
1
π₯ β π₯4
2
4
1
2
π¦
0
0
1
π
2
π¦ π ππ₯ ππ¦ ππ§
π·
1 2 1βπ₯ 2
=π
1 2
π¦ ππ§ ππ¦ ππ₯ = π
0 0
1 2
0
0 0
0 0
2
π¦π§ 1 β π₯ ππ¦ ππ₯
0
1 2 2
1 3
π¦ 1 β π₯ ππ¦ ππ₯ = π π¦
π₯β π₯
0
2
3
2
=π
=
1
π
4β0
2
1β
1
0
1
4
= π
3
3
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
ππππ =
π§ π ππ₯ ππ¦ ππ§
π·
1 2 1βπ₯ 2
=π
=
π
2
1 2
0 0
0
2
1
β
π₯
π§
ππ¦ ππ₯
0
2
π§ ππ§ ππ¦ ππ₯ = π
0 0
=
1 2
0 0
π 2
2
1
1 β 2π₯ 2 + π₯ 4 ππ¦ ππ₯ = π¦
π₯ β π₯3 + π₯5
2 0
3
5
π
2β0
2
1
0
2 1
8
1β +
=
π
3 5
15
1
π 3
ππππ
2
π₯=
=
=
4
π
8
π
3
4
π
ππππ
3
π¦=
=
=1
4
π
3π
π§=
ππππ
π
8
π 2
15
=
=
4
5
π
3
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
ο’
Perhitungan Momen Inersia
Z
Ο = β«(x, y, z)
= rapat
massa
dz
dy
dx
Y
Momen inersia thd sb x:
π¦ 2 + π§ 2 π ππ₯ ππ¦ ππ§
πΌπ₯ =
π·
Momen inersia thd sb y:
π₯ 2 + π§ 2 π ππ₯ ππ¦ ππ§
πΌπ¦ =
π·
Momen inersia thd sb z:
X
π₯ 2 + π¦ 2 π ππ₯ ππ¦ ππ§
πΌπ§ =
π·
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE
ο’
Hitung momen inersia thd sb x dari balok homogen dgn
panjang p, lebar l dan tinggi t, jika Ο = 2!
π
π‘
π¦ 2 + π§ 2 π ππ₯ ππ¦ ππ§ =
πΌπ₯ =
π·
π¦ 2 + π§ 2 2 ππ₯ ππ¦ ππ§
π₯=0 π¦=0 π§=0
π π
=2
0 0
= 2π₯
=
π
1
π¦2π§ + π§3
3
1
π 1 3
π¦ π‘ + π‘3
0 2
3
π‘
ππ¦ ππ₯ = 2
0
π π
0 0
π
= 2 πβ0
0
1
π¦ 2 π‘ + π‘ 3 ππ¦ ππ₯
3
1 3
1
π π‘ + π‘3π
3
3
2πππ‘ 2
(π + π‘ 2 )
3
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
SISTEM KOORDINAT TABUNG
Z
P(x,y,z)= P(r,ΞΈ,z)
Y
Transformasi
Koordinat:
x = r cos ΞΈ
y = r sin ΞΈ
z=z
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
NILAI JACOBIAN
ππ₯
ππ
ππ¦
π½=
ππ
ππ§
ππ
ππ₯ ππ₯
ππ ππ§
cos π
ππ¦ ππ¦
= π sin π
ππ ππ§
0
ππ§ ππ§
ππ ππ§
βπ sin π
π cos π
0
0
0 =π
1
Dengan demikian
π π₯, π¦, π§ ππ₯ ππ¦ ππ§ =
π·
πΉ(π, π, π§) π½ ππ ππ ππ§
π·
=
π·
πΉ π, π, π§ π ππ ππ ππ§
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE
ο’
Hitung momen inersia terhadap sb z dari tabung
homogen x2 + y2 = 4 dan tingginya 3.
Z
π₯ 2 + π¦ 2 π ππ₯ ππ¦ ππ§
πΌπ§ =
π·
2
4βπ₯ 2
3
π₯ 2 + π¦ 2 π ππ₯ ππ¦ ππ§
=
π₯ =β2 π¦ = 4βπ₯ 2 π§ =0
Y
x2 + y2 = 4
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
ο’
Sistem koordinat polar
2π
2
3
2
πΌπ§ =
π 3 ππ ππ§ ππ
π π π ππ ππ ππ = π
π·
π =0 π =0 π§ =0
2π 2
π3 π§
=π
0
0
3
ππ ππ = π
0
2π
3π 3 π
0
2
ππ
0
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2