Transcript Lesson V - WordPress.com

Herlina Setiyaningsih
Civil Engineering Department
Petra Christian University
PD Serentak (Simultan)
 f1(D)y + g1(D)z = h1(x)
 f2(D)y + g2(D)z = h2(x)
 PD: ∆y = ∆1 dan ∆z = ∆2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 1
Example 1
 PD: Dy – z = ex
y + (D+2)z = 0
 Δy = Δ1  (D2 + 2D +1) y= 3ex
yc = e-x(c1+c2x)
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 1
Example 1 (Lanjutan)
PUPD: y = yc + yp  y = e-x (c1 + c2x) + ¾ ex
Δz = Δ2  (D2 + 2D +1)z = -ex
zc = e-x(c3+c4x)
PUPD: z = zc + zp  z = e-x (c3 + c4x) -1/4ex
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 1
Example 1 (Lanjutan)
 y dan z masuk ke PD
D[e-x (c1 + c2x) + ¾ ex]- [e-x (c3 + c4x) -1/4ex]=ex
-e-x (c1 + c2x) + e-x c2 + ¾ ex -e-x c3 - e-x c4x + 1/4ex = ex
e-x x (-c2 - c4) + e-x (-c1 + c2 - c3) = 0
-c2 - c4 = 0  c2 = - c4
-c1 + c2 - c3 = 0  c3 = -c1 + c2
 PUPD: y = yc + yp  y = e-x (c1 + c2x) + ¾ ex
 PUPD: z = zc + zp  z = e-x ((-c1 + c2 ) – c2x) -1/4ex
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 1
Example 2
 PD: (D+2)y = z
(D+1)z = 2y
(D+2)y – z = 0
-2y + (D+1)z = 0
= D2 + 3D
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 1
Example 2 (Lanjutan)
 Δy = Δ1  (D2 + 3D) y= 0
yc = c1+c2e-3x
 Δz = Δ2  (D2 + 3D) z= 0
zc = c3+c4e-3x
 y dan z masuk ke PD
(D+2)y – z = 0
(D+2) (c1+c2e-3x) – (c3+c4e-3x) = 0
D(c1+c2e-3x) + 2c1 + 2c2e-3x– c3- c4e-3x = 0
0 - 3c2e-3x + 2c1 + 2c2e-3x– c3- c4e-3x = 0
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 1
e-3x(-3c2+ 2c2 - c4) + (2c1 – c3) = 0
-c2 - c4= 0  c2 = -c4
2c1 – c3 = 0  2c1 = c3
 PUPD: y = c1 + c2e-3x
 PUPD: z = 2c1- c2e-3x
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 1
PD Euler
 (ax+b)2 y” + p(ax+b)y’ + qy = f(x); a, b, p, q konstan
 Substitusi: ax+b = et  t = ln (ax+b)
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 1
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 1
Example 1
 (2x+1)2y” – 2(2x+1)y’ – 12y = 6x
 Subst: 2x+1 = et  t=ln(2x+1)
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 1
Example 1 (Lanjutan)
 (4D2 – 8D – 12)y = 3et - 3
 PR: (4D2 – 8D – 12)y = 0
 PK : 4k2 – 8k – 12 = 0
k2 – 2k – 3 = 0
(k-3)(k+1) = 0
k = 3 dan k = -1
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 1
 yc = c1 e-t + c2 e3t
 PUPD: y = yc + yp
= c1 e-t + c2 e3t -3/16et + ¼
= c1 (2x+1)-1 + c2 (2x+1)3 - 3/16(2x+1) + ¼
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 1
Aplikasi Bidang T. Sipil
 Pada struktur dinamik dikenal adanya getaran.
Persamaan umum getaran pada struktur dinamik :
- perpindahan (x)
- kecepatan
- percepatan
 Sistem getaran dibagi menjadi 4:
1. Getaran bebas
2. Getaran bebas dan teredam
3. Getaran terpaksa
4. Getaran teredam & terpaksa
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 1
 Sistem getaran dibagi menjadi 4:
1. Getaran bebas
2. Getaran bebas dan teredam
3. Getaran terpaksa
4. Getaran teredam & terpaksa
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 1
Getaran Terpaksa
my” + ky = Fo cos ωt
yc = e0t(c1 cos ω0t + c2 sin ω0t )
yp = B1 cos ωt + B2 sin ωt
y’p = -B1 ω sin ωt + B2 ω cos ωt
y”p = -B1 ω2 cos ωt - B2 ω2 sin ωt
m (-B1 ω2 cos ωt - B2 ω2 sin ωt) + k (B1 cos ωt + B2 sin ωt) =
Fo cos ωt
B1 (k-m ω2) cos ωt + B2(k-m ω2) sin ωt = Fo cos ωt
B1 (k-m ω2) = Fo
B1 = Fo/ k-m ω2
B2(k-m ω2) = 0
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 1
 PUPD:
y = c1 cos ω0t + c2 sin ω0t + (Fo/ k-m ω2)cos ωt
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 1
Getaran Terpaksa & Teredam
my” + cy’ + ky = Fo sin ωt
yc = ??
yp = B1 cos ωt + B2 sin ωt
y’p = -B1 ω sin ωt + B2 ω cos ωt
y”p = -B1 ω2 cos ωt - B2 ω2 sin ωt
m(-B1 ω2 cos ωt - B2 ω2 sin ωt)+c(-B1 ω sin ωt + B2 ω cos ωt )
+ k (B1 cos ωt + B2 sin ωt) = Fo sin ωt
B1 = [(k-m ω2 ) Fo] / [(k-m ω2)2 + (c ω) 2]
B2 = [-c ω Fo] / [(k-m ω2)2 + (c ω) 2]
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 1
Finish!!!!
Bertemu di Integral Rangkap